南京市2021一2022学年度第一学期期末学情调研试卷高一数学试卷解析版
展开南京市2021-2022学年高一上学期期末调研测试数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
- 已知 且 ， 若集合 ， 则
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】
- 命题 “ ” 的否定是
A． B．
C． D．
【答案】 C
【解析】
- 已知 ， 若 ， 则 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】 B
【解析】结合指数函数和对数函数性质可知，，，.
- 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个 “圆材埋壁” 的问题： “今有圆材埋在壁中， 不知大小， 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺， 问径几何？” 现有一类似问题，
不确定大小的圆柱形木材， 部分埋在墙壁中， 其截面如图所示． 用锯去锯这木材， 若锯
口深 ，锯道 ， 则图中 的长度为
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】设 , 由勾股定理 , 且 , 解得 , ,即 的长度为
- 要得到函数 的图象， 则需
A． 将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变）
B． 将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）
C． 将函数 图象上所有点向左平移 个单位．
D． 将函数 图象上所有点向左平移 个单位
【答案】D
【解析】略
- 已知 ， 关于 的不等式 的解集为 ， 则关于 的不等式 的解集为
A． B．
C． D．
【答案】 A
【解析】由题方程 的两根为 和 1 , 根据韦达定理得，
所以,
同理， 的两根为 和 1 ,
0 的解集为
- 函数 的图象如图所示， 则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】定义域: ,
观察图象可知 即 , 故 , 且 故 .
- 设函数 ， 则不等式 的解集是
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】 为奇函数, 为偶函数, 故 为奇函数, , 取 可知 , 排除 BC, 且 时 时 排除D（排除法）
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
- 已知 ， 则
A． B．
C． D．
【答案】 BCD
【解析】 A.： 在 上不单调, 取 , 故 A 错.
B. 在 上单调递增
C.
D. .
- 已知函数 ， 对于任意 ， 则
A． 的图象经过坐标原点 B．
C． 单调递增 D．
【答案】 ABD
【解析】 A. 令 , 得 , 故 A 对. B. 令 , 得 , 再令 , 得 , 故 B 对. C. 易知 满足此关系, 而 单调递减, 故 C 错. D. 令 , 得 , 故 D 对
- 已知函数 ， 则
A． 函数 的图象关于点 对称
B． 函数 的图象关于直线 对称
C． 若 ， 则函数 的值域为
D． 函数 的单调递减区间为
【答案】
【解析】A. 代入 , 得 , 故 A 对.
B. 代入 , 得 , 故 B 错.
C. 的值域为 , 故 C 错. D. 令 , 解得 , 故 D 对
- 已知 是定义域为 的奇函数， 满足 ， 且当 时， ， 则
A．
B． 函数 是周期函数
C． 不等式 的解集是
D． 当关于 的方程 恰有二个不同的解时，
【答案】 BC
【解析】A. 由 得 , 故 A 错, B 对.
C. 的图像类似正弦函数, 且 时, , 由周期性, 的解集是 ,, 故 C 对.
D. 易知当 时, 也恰有三个不同的解, 实际上此时的 是一个区间而不是一个值, 故 D 错.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
- 已知角 的终边经过点 ， 且 ． 则 的值为________．
【答案】
【解析】 角 终边经过 , 所以 , 又 , 所以 .
- 著名数学家、物理学家牛顿曾提出： 物体在空气中冷却， 如果物体的初始温度为 ， 空气温度为 ， 则 分钟后物体的温度 (单位： ) 满足： ． 若当 空气温度为 时， 某物体的温度从 下降到 用时 14 分钟． 则再经过 28 分 钟后， 该物体的温度为 ________．
【答案】 37．5
【解析】已知 , 且 , 所以 .
- 设函数 ________．最小值， 且无最大值， 则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】, 所以 .
时, 时, .
因为函数 有最小值, 无最大值, 所以 , 且 , 解得 .
- 已知正实数 满足 ， 则 的最小值为________．
【答案】
【解析】,（十字相乘）
设 ,（构造函数）
由基本不等式得 , 当且仅当 时取等号.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
- (本小题满分 10 分)
已知集合．
(1) 当 时， 求 ；
(2) 在①充分条件，②必要条件 这两个条件中任选一．个， 补充在下面问题中． 若问题 中的 存在， 求出 的取值范围； 若问题中的 不存在， 请说明理由．
问题： 是否存在正实数 ， 使得 “ ” 是 “ ” 的 ________ ?
注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分．
【答案】
【解析】
解： ，
当 时， ； 当 时， ，
(1) 当 时， ， 故 ．
(2) 选择①充分条件， 则有 ， 则 解得 ，
在正实数 ， 使得 “ 是 “ ” 的充分条件，
的取值范围为 ．
选择②必要条件， 则有 ，
时， 不成立，
所以不存在正实数 ， 使得 “ ”是 “ ” 的必要条件．
- (本小题满分 12 分)
已知函数 ．
(1) 求 值；
(2) 若 ， 求 的值．
【答案】
【解析】
解：函数 ，
(1) ，
(2) ，
故 ．
- (本小题满分 12 分)
如图， 有一块半径为 1 的半圆形钢板， 计划裁剪成等腰梯形 的形状， 它的下底 是半圆的直径， 上底 的端点在圆周上． 记梯形 的周长为 ．
(1) 设 ， 将 表示成 的函数；
(2) 求梯形 周长的最大值．
【答案】
当 时， 有最大值 5
【解析】
解：(1) 由 是直径， 得 ， 所以 ，
过 作 交 于 ， 连接 ， 则 ，
所以 ，
所以 ．
(2) 设 ， 则 ， 对称轴 ，
所以当 时， 有最大值 5 ．
- (本小题满分 12 分)
已知 ， 且 ．
(1) 若 ， 求 的值；
(2) 求 的最小值．
【答案】 或 2
【解析】解： (1) 由题意， ， 即 ， 解得 或 2 ．
(2) 因为 ， 所以 ，
所以 ，
因此 ， 即 ，
解得 或 ，
因为 ， 所以 ，
故 ，
当 时取等号，
所以 的最小值为 ．
- (本小题满分 12 分)
已知函数 ．
(1) 利用函数单调性的含义， 证明： 函数 在区间 上是减函数；
（2）若存在实数 ， 使得函数 在区间 上的值域为 ， 求实数 的取值范围．
【答案】
【解析】解：(1)f(x) ，
任取 ， 且 ， 则 ，
则 ，
所以 ，所以 在区间 上是减函数．
(2)由(1)知 在区间 上是减函数， 所以当 时， 在区间 上单调递减， 所以函数 在区间 上的值域为，
所以
所以 在 上有 2 解，
所以 在 上有 2 解，
令 ， 则关于 的方程 在 上有 2 解，
即 在： 上有 2 解，
所以 解得 所以 ，
所以 的取值范围为 ．
- (本小题满分 12 分)
已知函数 ．
（1）讨论函数 的奇偶性；
(2) 设集合 ， 若 ， 求实数 的取值范围．
【答案】 既不是奇函数也不是偶函数．
【解析】解：(1) 时， ，
对 ，
所以 是 上的奇函数；
当a≠0时，f(1)＝3＋3a，f(－＋f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，
所以 既不是奇函数也不是偶函数．
(2) 因为 ， 所以 ，
即(x＋1)3＋2(x＋1)＋3a|x＋1|≥＋2x＋3a|x|，
化简得 ，
因为 ， 所以 ，
所以 ，
当 时， ， 所以 ，
所以 ；
当 时， ，
即 ，
设 ，
， 所以 ，
时， ，
的对称轴 方程为 ，
当 时， 即 时，
在： 上单调递增，
所以 成立；
当 ， 即 时， 成立，
所以 恒成立；
当 ， 即 时，
在 上单调递减， ， 综上 的取值范围为
江苏省南京市2022-2023学年高一上学期期末学情调研测试数学试卷(原卷版)： 这是一份江苏省南京市2022-2023学年高一上学期期末学情调研测试数学试卷(原卷版)，共8页。
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