艺考生高考数学一轮专题辅导讲义

这是一份艺考生高考数学一轮专题辅导讲义，共312页。

艺考生数学辅导
2019





























目录
高中数学板块网络 1
近6年高考考点一览表 2
专题一 集合与常用逻辑用语 3
第一节 集合 3
第二节 命题及其关系、充要条件 6
专题二 复数 8
专题三 函数 11
第一节 函数基本概念 11
第二节 函数性质 14
第三节 指数与指数函数 20
第四节 对数与对数函数 22
第五节 函数图像 25
第六节 函数的零点与方程 28
第七节 导数计算与简单应用 31
专题四 三角函数 35
第一节 基本概念、同角关系式及诱导公式 35
第二节 三角恒等变换 38
第三节 三角函数的图像性质 42
第四节 正余弦定理及解三角形 45
大题专练（一）三角函数 48
专题五 平面向量 53
专题六 数列 57
第一节 基本概念及求通项公式 57
第二节 等差数列及其前n项和 59
第三节 等比数列及其前n项和 62
第四节 数列求和 64
大题专练（二）数列 68
专题七 不等式
第一节 不等式的性质及解法 72
第二节 基本不等式 73
第三节 线性规划 74
专题八 统计 77
专题九 概率 86
大题专练（三）统计概率 87
专题十 立体几何 92
第一节 空间几何体的体积表面积 92
第二节 空间点线面的位置关系 98
大题专练（四）立体几何证明 99
专题十一 解析几何 118
第一节 直线与圆的方程 118
第二节 圆锥曲线 122
圆锥曲线的综合问题 128
专题十二 极坐标与参数方程 150
导数在研究函数中的应用 155
第二篇 小题专练15套 174
高中数学板块网络














近6年（2013~2018）考点一览表


2013
2014
2015
2016
2017
2018
选择
1
集合
集合
集合
集合
集合
集合
2
复数
三角函数
向量
复数
统计
复数
3
概率
复数
复数
概率
复数
统计
4
圆锥曲线
圆锥曲线
概率
解三角形
概率
圆锥曲线
5
逻辑
函数性质
圆锥曲线
圆锥曲线
圆锥曲线
体积表面积
6
数列
向量
体积表面积
三角函数
立体几何
导数应用
7
框序图
三角函数
数列
体积表面积
线性规划
平面向量
8
圆锥曲线
三视图
三角函数
不等式
函数图像
三角函数
9
函数图像
框序图
框序图
函数图像
函数性质
三视图
10
解三角形
圆锥曲线
分段函数
框序图
框序图
体积表面积
11
体积表面积
线性规划
体积表面积
立体几何
解三角形
三角函数
12
不等式
导数应用
函数值
导数应用
圆锥曲线
函数+不等式
填空
13
向量
概率
数列
向量
向量
函数计算
14
线性规划
逻辑
导数应用
三角函数
导数应用
线性规划
15
体积表面积
函数不等式
线性规划
圆与直线
三角函数
圆锥曲线
16
导数应用
解三角形
圆锥曲线
线性规划
体积表面积
解三角形
必做
17
数列
数列
三角函数
数列
数列
数列
18
统计
统计
立体几何
立体几何
立体几何
立体几何
19
立体几何
立体几何
统计
统计概率
统计
统计
20
函数综合
圆锥曲线
圆锥曲线
圆锥曲线
圆锥曲线
圆锥曲线
21
圆锥曲线
函数综合
函数综合
函数综合
函数综合
函数综合
选作
（选1个）
22
几何证明
几何证明
几何证明
几何证明
参数方程
参数方程
23
参数方程
参数方程
参数方程
参数方程
不等式
不等式
24
不等式
不等式
不等式
不等式




















专题一 集合与常用逻辑语言
第一节 集合
一、知识点
1、 集合
（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。
集合中的元素具有：确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。
（2）、集合的表示法：列举法、描述法、图示法；
（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；
（4）、元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；
（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N；整数集：Z ；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。
2、子集
（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集 ；记作：AB，
注意：AB时，A有两种情况：A＝与A≠
（2）、性质：①、；②、若，则；③、若则A=B ；
3、真子集
（1）、定义：A是B的子集 ，且B中至少有一个元素不属于A；记作：；
（2）、性质：①、；②、若，则；
4、 补集
①、定义：记作：；
②、性质：；
5、 交集与并集
（1）、交集：
性质：①、 ②、若，则
（2）、并集：
性质：①、 ②、若，则
6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）
判别式：△=b2-4ac



二次函数

的图象




一元二次方程
的根
有两相异实数根

有两相等实数根

没有实数根

一元二次不等式
的解集

“＞”取两边

R
一元二次不等式
的解集

“＜”取中间


不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax＋b x＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋b x＋c>0的解集是R；
其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

7.(2015·天津，4)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8.(2015·重庆，2)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的 (　　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

9.(2015·福建，12)“对任意x∈，k sin x cos x＜x”是“k＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10.(2015·安徽，3)设p：x1的x的取值范围是________.


二、高考真题体验
1.(2017山东，9)设,若,则 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

2.(2015·重庆，3)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(　　)
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)


3.(2015·湖北，6)函数f(x)＝＋lg的定义域为(　　)
A．(2,3) B．(2,4] C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]


4.(2015·全国Ⅰ，10)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)
A.－ B．－ C．－ D．－


5.(2015·山东，10)设函数f(x)＝若＝4，则b＝(　　)
A．1 B. C. D.


6.(2015·陕西，4)设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)
A．－1 B. C. D.


7.(2014·山东，3)函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)



8.(2014·江西，4)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝(　　)
A. B. C．1 D．2


9.(2015·全国Ⅱ，13)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.



答案1~4CDCA 5~8DCCA 9， －2

第二节 函数性质
附表：基本初等函数的图像性质
种类
解析式
可能图像
单调性
奇偶性

一次函数







二次函数







反比例函数






指数函数






对数函数










幂
函
数































正弦函数






余弦函数






正切函数





一、知识点
（一）．函数的单调性
(1)单调函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x11)；
0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
01；当xb>0)的离心率为，点P(1，)在椭圆E上，直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆相交于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)在x轴上是否存在定点M，使得·为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．















考点2　圆锥曲线中的定值问题
例2 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N(3,2)，记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2定值．





















名师点拨
求定值问题常见的方法
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
〔变式训练2〕
已知△ABC的三个顶点(均异于坐标原点O)都在抛物线y2＝2px(p>0)上，且抛物线的焦点F满足
＋＋＝0，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx＋ny－m＝0(m，n为常数且m≠0).
(1)求p的值；
(2)记△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，求证：S＋S＋S为定值．




















考点3　圆锥曲线中的探索性问题
例3 (2015·新课标全国Ⅱ，12分)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点(，m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．















名师点拨
解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
〔变式训练3〕
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(，1)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－.
若动点P满足＝＋2，试探究是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？
若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，请说明理由．





















三个问题：有关弦的三个问题
涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解．
两种方法：求解与弦有关问题两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y )成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
两点防范：判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．



一个关键：求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．
两类问题：圆锥曲线中常见最值问题及解题方法
(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题．
(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
两点防范：1.求范围问题要注意变量自身的范围．
2．利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系，注意特殊关系，特殊位置的应用．




两种方法：求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
两种策略：定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
三点防范：1.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．
2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．
3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法．




参考答案：考点1　直线与圆锥曲线的位置关系
例1 [解析]　(1)结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)，故选C．
(2)由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.
设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则，解得－＜k＜－1.
(3)∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，
∴＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，
∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B．
考点2　直线与圆锥曲线的弦长问题
例2 [解析]　(1)由椭圆定义知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组
消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1. 即＝－1，∴＝－1，得c＝3，
∴2b2－b2＝9，即b2＝9，从而a2＝18.故椭圆E的方程为＋＝1.
〔变式训练1〕[解析]　(1)由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)方法1：由得(k2＋2)y2＋4ky－2k2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1＋y2＝，y1y2＝，|y1－y2|＝＝，
∴△AMN的面积S＝|AB|·|y1－y2|＝×1×＝∴＝，解得k＝±1

方法2：由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝＝＝.
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1.

考点3　中点弦问题
角度1　由中点弦确定直线方程
例3[解析]　设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
角度2　由中点弦确定曲线方程
例4 [解析]　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；
同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.
由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，
解得p＝1或p＝2.
角度3　由中点弦解决对称问题
例5 [解析]　由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2.因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x，y2＝2x，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1b>0)，直线被椭圆所截弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意，可得弦AB的中点坐标为(，)，且＝，＝－.
将A，B两点坐标代入椭圆方程中，得
两式相减并化简，得＝－×＝－2×＝3，所以a2＝3b2.
又c2＝a2－b2＝50，所以a2＝75，b2＝25. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

第二课时　最值、范围、证明问题
考点1　圆锥曲线中的最值问题
例1[解析](1)解法一：如图，设M(0，m)，N(0，n)，∵MF⊥NF，∴m·n＝－1.
∵S△MFN＝|MF|·|FN|＝·.＝＝≥＝1.
当且仅当|m|＝1，|n|＝1，且mn＝－1时等号成立．
∴△MFN的面积的最小值为1.
解法二：设M(0，m)，N(0，n)，∵MF⊥NF，∴m·n＝－1，
∵S△MFN＝|MN|·|OF|＝|MN|，
且|MN|2＝|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝m2＋n2＋2≥2|mn|＋2＝4，
当且仅当|m|＝1，|n|＝1且mn＝－1时等号成立，
∴|MN|min＝2，∴(S△MFN)min＝|MN|＝1. 故△MFN的面积的最小值为1，
(2)∵A(－，0)，M(0，m)，∴直线AM的方程为y＝x＋m，
由得(1＋m2)x2＋2m2x＋2(m2－1)＝0，
设E(xE，yE)，D(xD，yD)，由－·xE＝，得xE＝，①
同理可得xD＝，
∵m·n＝－1，∴xD＝＝.②
由①②可知xE＝－xD，代入椭圆方程可得y＝y.
∵MF⊥NF，∴N，M分别在x轴两侧，∴yE＝－yD，∴＝，故E，O，D三点共线．

〔变式训练1〕
[解析]　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，
由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，
最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，
此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8,12，故选C．
考点2　圆锥曲线中的范围问题
例2 [解析]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．

〔变式训练1〕[解析]　(1)由题意，知＝，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝，b＝1，
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由直线AB过椭圆的右焦点F(1,0)，当直线AB不与x轴重合时，可设直线AB：x＝my＋1，
代入椭圆方程，并整理得(2＋m2)y2＋2my－1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
设M(t,0)，
若·＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝(my1＋1－t)(my2＋1－t)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋m(1－t)(y1＋y2)＋(1－t)2
＝－－＋(1－t)2＝为定值，
则2t2－4t＋1＝2(t2－2)，解得t＝.
故存在定点M(，0)，使得·为定值－，
经检验，当直线AB与x轴重合时也成立，所以在x轴上存在一个定点M(，0)，使得·为定值．
考点2　圆锥曲线中的定值问题
例2[解析]　(1)依题意，由已知得c＝，则a2－b2＝2，
由已知易得b＝|OM|＝1，所以a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，不妨设A(1，)，B(1，－)，则k1＋k2＝＋＝2为定值．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得(3k2＋1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
依题意知，直线l与椭圆C必相交于两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以k1＋k2＝＋＝
＝
＝
＝＝＝2，综上，得k1＋k2为定值2.

〔变式训练2〕
[解析]　(1)∵抛物线的焦点F满足＋＋＝0，∴＝＋，
取BC边上的中点M，连接FM，则＝2，故点F在直线l上，
在mx＋ny－m＝0中，令y＝0，得x＝1，得抛物线的焦点F(1,0)，于是＝1，p＝2.
(2)证明：记A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由＋＋＝0知：x1＋x2＋x3＝3，
且y＝4xi(i＝1,2,3)，
于是S＋S＋S＝(y＋y＋y)＝x1＋x2＋x3＝3，∴S＋S＋S为定值3.
考点3　圆锥曲线中的探索性问题
例3[解析]　(1)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
(2)四边形OAPB能为平行四边形．
因为直线l过点(，m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.
由(1)得OM的方程为y＝－x.
设点P的横坐标为xP.由得x＝，即xP＝.
将点(，m)的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.
于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.
因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，
所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．

〔变式训练3〕
[解析]　(1)∵e＝，∴＝，又椭圆C经过点(，1)，∴＋＝1，解得a2＝4，b2＝2，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝＋2得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，
∵点M，N在椭圆＋＝1上，∴x＋2y＝4，x＋2y＝4，
故x2＋2y2＝(x＋4x1x2＋4x)＋2(y＋4y1y2＋4y)＝(x＋2y)＋4(x＋2y)＋4(x1x2＋2y1y2)
＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，
kOM·kON＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，∴x2＋2y2＝20，故点P是椭圆＋＝1上的点，
∴由椭圆的定义知存在点F1，F2满足|PF1|＋|PF2|＝2＝4，为定值，
又|F1F2|＝2＝2，
∴F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)．
高考真题
1,2018年全国1第20题，12分
设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．


















2.(2017课标1，20)设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．













3,（2016全国1，第20）（本小题满分12分）
在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求；（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.













4.(2015·全国Ⅰ，20)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；[来源:学科网ZXXK]
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.













5.(2014·新课标全国Ⅰ，20)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
















1，2018年真题，解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=或．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为．①
将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．
2，2017年真题

3，2016年真题（Ⅰ）由已知得，.又为关于点的对称点，故，
的方程为，代入整理得，
解得，，因此. 所以为的中点，即.
（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：
直线的方程为，即.代入得，
解得，即直线与只有一个公共点，
所以除以外直线与没有其它公共点.


4.2015年真题解　(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以0)
(t为参数)
3．直线的参数方程的几何意义
过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为__(t为参数)__，
其中t表示直线上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的__数量__.
当t＞0时，的方向向上；当t＜0时，的方向向下；当t＝0时，M与M0重合．

二、高考真题体验
1.(2017课标1，22)在直角坐标系xOy中，
曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为．
（1）若，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．























2.【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）：坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.
（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．






















3，2015全国1第23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求的极坐标方程.
（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.










（I）的极坐标方程为，的极坐标方程为. ……5分
（II）的面积为. ……10分
4．[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．






















5，（2013全国1第23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）








（1）所以极坐标方程为：。
（2）交点的极坐标为.
6．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．


























参考答案
1解: (1)曲线C的普通方程为x29+y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,
由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为

当时，的最大值为．由题设得，所以；
当时，的最大值为．由题设得，所以．综上，或．
2解：⑴ （均为参数）,∴ ①
∴为以为圆心,为半径的圆．方程为
∵,∴ 即为的极坐标方程
⑵ ,两边同乘得
,即 ②
：化为普通方程为,由题意：和的公共方程所在直线即为
①—②得：,即为 ∴,∴
4.解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到直线l的距离d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
6．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（1）由，得的直角坐标方程为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．

导数在研究函数中的应用(一)——单调性
Z
函数的单调性
(1)设函数y＝f(x)在某个区间内__可导__，若f′(x)__>__0，则f(x)为增函数，若f′(x)____0(或f′(x)__0__时，f(x)在相应区间上是增函数，当__f′(x)0恒成立，则下列不等式成立的是(　 　)
A．f(－3)g(x2)⇔[f(x1)]max>[g(x2)]min；
⑦∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域是g(x2)值域的子集；
⑧∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)＝g(x2)⇔f(x1)的值域与g(x2)值域的交集不为Ø.
〔变式训练5〕
已知函数f(x)＝x2＋(1－x)ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝x－(1＋a)lnx－，ag(x2)成立，求实数a的取值范围．

























导数在研究函数中的应用(三)
——函数的零点或方程的根、不等式
Z
1．利用导数研究函数零点的方法
方法一：(1)求函数f(x)的单凋区间和极值；
(2)根据函数f(x)的性质作出图象；
(3)判断函数零点的个数．
方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)分类讨论，判断函数零点的个数．
2．利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略
(1)利用导数证明不等式
若证明f(x)ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.














(2)已知f(x)＝xlnx
①求f(x)的最小值；
②证明：对一切x∈(0，＋∞)都有lnx>－.




















角度2　不等式恒成立或有解问题
例3 已知函数f(x)＝xex－a(x－1)(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝0处有极值，求a的值及f(x)的单调区间
(2)若存在实数x0∈(0，)，使得f(x0)1，
则不等式exf(x)>ex＋1的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
名师点拨☞
(1)利用导数解不等式的思路
已知一个含f′(x)的不等式，可构造和f(x)有关的函数g(x)，利用g(x)的单调性，然后可利用函数单调性解不等式．
(2)利用导数证明不等式的方法
①构造法：证明f(x)0的右焦点为F1,0,且离心率为12，∆ABC的三个顶点都在椭圆r上，
设∆ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，
且k1、k2、k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1.则1k1+1k2+1k3= ．











参考答案
一、选择题1-5: CBCDA 6-10:DBCDA 11、12：DC
二、填空题13. -25 14.-3 15. 14π 16.-43

第14套
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.
1. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知复数满足，则的虚部是（ ）
A．-1 B． 1 C． D．
3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，
圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.
若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．

4.已知等差数列的前15项和，则（ ）
A．7 B． 15 C. 6 D．8
5. 已知双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
6. 函数 (其中，)的部分图象如图所示,
将函数的图象（ ）可得的图象
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．


8. 若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． 5 B． 4 C. D．

9.函数的大致图像是（ ）
A． B． C. D．
10.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人,
他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，
至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了
利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为3，
每次输入的值均为4,输出的值为484，则输入的值为（ ）
A． 6 B． 5 C. 4 D．3

11. 已知函数，其中是自然对数的底数.
则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
B． C. D．
12. 设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C. D．


二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13.在等腰直角三角形中，为斜边的中点，且，为的中点，
则 ．

14.在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，
则角的值 ．

15.如图，在四面体中，平面，是边长为的等边三角形.
若，则四面体外接球的表面积为 ．


16.已知函数，，
若与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是 ．


参考答案
一、选择题1-5: CACCB 6-10: DCDAC 11、12：BA
二、填空题13. -2 14. 15. 16.
第15套
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．

2.已知复数的实部与虚部的和为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．

3.在区间上随机取一个数，使的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数是定义在上周期为的奇函数，且当时，，
则的值为（ ）
A． B． C． D．

5.执行下列程序框图，若输入的等于，则输出的结果是（ ）

A． B． C． D．
6.已知点是抛物线（为坐标原点）的焦点，
倾斜角为的直线过焦点且与抛物线在第一象限交于点，
当时，抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．

7.将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍
（纵坐标不变），得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．


8.已知实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9.某底面为正方形的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）

A． B． C． D．
10.已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．

11.设数列满足，，且（且），则（ ）
A． B． C． D．


12.已知、是双曲线：的左、右焦点，若直线与双曲线在第一象限交于点，过向轴作垂线，垂足为，且为（为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．


二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，，若向量与垂直，则的值是 ．

14.等比数列的公比为，若，则 ．

15.已知三棱锥中，底面，，，，，
则该三棱锥的内切球的体积为 ．


16.已知函数（为自然对数的底数），
若，则实数的取值范围是 ．













参考答案
一、选择题1-5: CCABD 6-10: BCABD 11、12：BD
二、填空题13. 14. 15. 16.