2023年中考数学复习之一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2023年中考复习之 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【学习目标】

1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；

2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程根的判别式

1.一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.

2. 一元二次方程根的判别式的逆用    

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.

【典型例题】

类型一、一元二次方程根的判别式的应用

1．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

举一反三：

【变式】1.不解方程，判别方程根的情况：

2.关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m为最大负整数，求此时方程的根．

3.关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．

2．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　      　．

【变式】1.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.

2.已知关于x的方程mx2+（m+1）x+1＝0（m为常数）

（1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根；

（2）若该方程有一个根是，求m的值．

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系   

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根同为正数；

当△≥0且，时，两根同为负数．

②当△＞0且时，两根异号．

     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点诠释：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；

（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．

类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用

3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

【变式】1.已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．
 

2.已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．

3.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．

4.已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+﹣2＝0．

（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣，求m的值．

5.已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若m为（1）中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为α，β，求代数式β﹣3α的值．

6.关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）设x1，x2分别是方程的两个根，且满足x12+x22＝x1x2+10，求实数m的值．

7.已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）﹣m2＝0

（1）请说明对于任意实数m方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝3﹣x1x2，求m的值．

课后练习：

1．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1

2．已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（　　）

A．0 B．﹣10 C．3 D．10

3．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．12

4．将一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0化成（x+m）2＝n的形式，则n等于（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2

5．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＜2 B．a≤2 C．a＜2且a≠1 D．a≤2且a≠1

6．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝　   　．

7．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．