初中数学浙教版八年级下册2.3 一元二次方程的应用精练

2023年浙教版数学八年级下册

《一元二次方程的应用》拓展练习

一              、选择题

1.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(     )

A.x2－6＝(10－x)2          B.x2－62＝(10－x)2

C.x2＋6＝(10－x)2          D.x2＋62＝(10－x)2

2.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是(　　)

A.300(1－x)2=243           B.243(1－x)2=300   

C.300(1－2x)=243          D.243(1－2x)=300

3.据某旅游局最新统计 “五一”期间，某景区旅游收入约为11.3亿元，而前年“五一”期间，该景区旅游收入约为8.2亿元，假设这两年该景区旅游收入的平均增长率为x，根据题意，所列方程为(     )

A.11.3(1－x％)2=8.2           B.11.3(1－x)2=8.2

C.8.2(1＋x％)2=11.3           D.8.2(1＋x)2=11.3

4.我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积(矩形面积)，八百六十四(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步)，问阔及长各几步.”如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是(　 　)

A.x(x＋12)=864           B.x(x－12)=864    

C.x2＋12x=864            D.x2＋12x－864=0

5.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(　　)

A.(32－2x)(20－x)＝570

B.32x＋2×20x＝32×20－570

C.(32－x)(20－x)＝32×20－570

D.32x＋2×20x－2x2＝570

6.某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率.设月平均增长率为x，根据题意列方程为(　　)

A.400(1+x2)=900            B.400(1+2x)=900   

C.900(1﹣x)2=400           D.400(1+x)2=900

7.学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是(　  　)

A.x2=21      B.x(x-1)=2×21          C.x2=2×21     D.x(x-1)=21

8.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(　　)

A.1+x+x(1+x)=100      B.x(1+x)=100       C.1+x+x2=100     D.x2=100

9.如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为3的四个小正方形，制成一个无盖箱子．若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为2x2＋17x，则无盖箱子的外表面积为(    )

A.48        B.64         C.72　      D.96

10.如图所示为两条互相垂直的街道，且A到B，C的距离都是7 km，现甲从B地走向A地，乙从A地走向C地，若两人同时出发且速度都是4 km/h，则两人之间的距离为5 km时是出发后(    )

A.1 h                    B.0.75 h

C.1.2 h或0.75 h         D.1 h或0.75 h

二              、填空题

11.如图所示为邻边不等的长方形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若长方形的面积为4m2，则AB的长度是      m(可利用的围墙长度超过6m)．

12.如图是一块长方形的土地，宽为120 m，建筑商把它分为甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形．现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200 m2的公园．若这块长方形土地的长为x(m)，则根据题意列出的方程是          [将答案写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式]．

13.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x的方程为　   　        .

14.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，设航空公司共有x个飞机场，列方程           .

15.一个容器盛满了纯药液20 L，第一次倒出若干升，用水加满，第二次倒出同样多的液体，这时容器内只剩下纯药液5 L，则每次倒出的液体是       L.

16.如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠B＝60°，动点P，Q分别从点A，B同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，点P，Q的速度分别为2 cm/s和1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t(s)，当t＝      时，△PBQ是直角三角形．

三              、解答题

17.如图，已知甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点C，B同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，甲的速度为100 m/min，乙的速度为200 m/min.若正方形广场的周长为8 km，则几分钟后，两人相距1 km?

18.某商店以20元/千克的价格购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y(kg)与销售单价x(元)之间为一次函数关系，如图所示．

(1)求一次函数的表达式．

(2)要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

19.将一条长为32 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)如果要使这两个正方形的面积之和等于34 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？

(2)两个正方形的面积之和可能等于30 cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

(3)这两个正方形的面积之和的最小值是多少？

20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm.

(1)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，则经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm2?

(2)点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

(3)若点P从点A出发，沿射线AB方向以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿射线CB方向以2 cm/s的速度移动，点P，Q同时出发．问：经过几秒后，△PBQ的面积为1 cm2?

21.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm.

(1)甲运动4 s后经过的路程是多少？

(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？

(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？

答案

1.D

2.A

3.D

4.B.

6.D.

7.B

8.A.

9.B

10.D

11.答案为：1.

12.答案为：x2－360x＋32000＝0.

13.答案为：x(5﹣x)=6.

14.答案为：x(x-1)=10.

15.答案为：10.

16.答案为：或.

17.解：设x(min)后，两人相距1 km，

则CF＝0.1x(km)，CE＝(2－0.2x)km.

由勾股定理，得(0.1x)2＋(2－0.2x)2＝12,

解得x1＝6，x2＝10.

当x＝6时，CF＝0.6 km，CE＝2－0.2×6＝0.8(km)，符合题意；

当x＝10时，CF＝1 km，CE＝2－0.2×10＝0(km)，符合题意．

答：6 min或10  min后，两人相距1 km.

18.解：(1)设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，

把点(20，60)，(80，0)的坐标代入，得

解得

∴y关于x的函数表达式为y＝－x＋80(20＜x≤80)．

(2)由题意，得(x－20)(－x＋80)＝800，

解得x1＝40，x2＝60.

答：销售单价应定为每千克40元或60元．

19.解：(1)设其中一个正方形的边长为x(cm)，则另一个正方形的边长为(8－x)cm.

由题意，得x2＋(8－x)2＝34.

整理，得x2－8x＋15＝0，

解得x1＝3，x2＝5，

∴3×4＝12(cm)，32－12＝20(cm)；

5×4＝20(cm)，32－20＝12(cm)，

∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是12 cm，20 cm.

(2)两个正方形的面积之和不可能等于30 cm2.理由如下：

由(1)可知x2＋(8－x)2＝30.

化简，得2x2－16x＋34＝0.

∵Δ＝(－16)2－4×2×34＝－16＜0，

∴方程无实数解，

∴两个正方形的面积之和不可能等于30 cm2.

(3)设两个正方形的面积之和为y(cm2)，

则y＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，

∴当x＝4时，y的最小值为32，

∴这两个正方形的面积之和的最小值是32 cm2.

20.解：(1)设经过x(s)后，△PBQ的面积等于8 cm2，

由题意，得(6－x)·2x＝8，

解得x1＝2，x2＝4.

经检验，x1，x2均符合题意，

故经过2 s或4 s后，△PBQ的面积等于8 cm2.

(2)不能．理由如下：设经过y(s)，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分，

由题意，得S△ABC＝×6×8＝24(cm2)，

∴(6－y)·2y＝12，∴y2－6y＋12＝0.

∵Δ＝b2－4ac＝36－4×12＝－12＜0，

∴此方程无实数根，

∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．

(3)由题意得，在6 s内，点P在线段AB上，超过6 s，点P在线段AB的延长线上；

在4 s内，点Q在线段CB上，超过4 s，点Q在线段CB的延长线上．

分三种情况讨论：

①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上，即运动时间不超过4 s时，

设经过m(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－m)(8－2m)＝1，

解得m1＝5＋(不合题意，舍去)，m2＝5－.

②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过4 s，不超过6 s时，

设经过n(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(6－n)(2n－8)＝1，

解得n1＝n2＝5.

③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上，即运动时间超过6 s时，

设经过k(s)后，△PBQ的面积为1 cm2，由题意，得(k－6)(2k－8)＝1，

解得k1＝5＋，k2＝5－(不合题意，舍去)．

综上所述，经过(5－)s或5 s或(5＋)s后，△PBQ的面积为1 cm2.

21.解：(1)当t＝4 s时，

l＝t2＋t＝8＋6＝14(cm)．

答：甲运动4 s后经过的路程是14 cm.

(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时经过的路程为半圆，为21 cm，

甲经过的路程为t2＋t，乙经过的路程为4t，

则t2＋t＋4t＝21，解得t1＝3，t2＝－14(不合题意，舍去)．

答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.

(3)由图可知，甲、乙第二次相遇时经过的路程为3×21＝63(cm)，

则t2＋t＋4t＝63，解得t1＝7，t2＝－18(不合题意，舍去)．

答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s.