2022-2023学年人教版数学九年级下册第二十七章相似培优专练

 2022-2023学年人教版数学九年级下册第二十七章相似培优专练

一、选择题

1.  [2022重庆中考B卷]如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶9

2.  [2022扬州中考]如图,在△ABC中,AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点D在BC边上,DE交AC于点F.给出下列结论:①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD.其中所有正确结论的序号是 (　　)

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

3. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=9,E为线段AD上的点,且DE=2AE,G是线段AB上的动点,EF⊥EG交BC所在直线于点F,连接GF,则GF的最小值是 (　　)

A.3  B.6  C.6    D.3

二、填空题

4.  [2022白银中考]如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=9 cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2 cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点,则BG的长为 　　　　cm. 

5. [2022河北中考]如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则

(1)AB与CD是否垂直?　　　　(填“是”或“否”); 

(2)AE=　　　　　. 

6.  如图,在平面直角坐标系中,已知点A,B的坐标分别为(8,0),(0,2),点C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D.动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP,EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为　　　　. 

7. [利用点对称构造相似三角形解决双动点问题]如图,已知正方形ABCD的边长为3,点E在AB边上,且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD上的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是　　　　. 

三、解答题

8.  [2022陕西中考]小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.

9.  [2022杭州中考]如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,=.

(1)若AB=8,求线段AD的长.

(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.

10.  如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为(20,0),(0,15),动点P从点A出发在线段AO上以每秒2个单位长度的速度向原点O运动,动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动(即EF∥x轴),分别与y轴、线段AB交于点E,F,连接EP,FP,设动点P与动直线EF同时出发,运动时间为t s.

(1)当t=9时,求△PEF的面积;

(2)在直线EF、点P的运动过程中,是否存在这样的t,使得△PEF的面积等于40?若存在,请求出此时t的值,若不存在,请说明理由;

(3)当t为何值时,△EOP与△BOA相似?

11.  [2021郑州外国语中学期中]如图,已知AC为正方形ABCD的对角线,P是平面内不与点A,B重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接AE,BP,CE.

(1)求证:△APE∽△ABC.

(2)当线段BP与CE相交时,设交点为M,求的值及∠BMC的度数.

12.  [利用三角形相似探究图形旋转问题]如图1,点P在正方形ABCD的对角线AC上,正方形ABCD的边长是a,Rt△PEF的两条直角边PE,PF分别交边BC,DC于点M,N.

(1)操作发现:如图2,固定点P,使△PEF绕点P旋转,当PM⊥BC时,四边形PMCN是正方形.

填空:①当AP=2PC时,四边形PMCN的边长是　　　　; ②当AP=nPC(n是正实数)时,四边形PMCN的面积是　　　 ; 

(2)猜想论证:如图3,将四边形ABCD的形状改变为矩形,AB=a,AD=b,点P在矩形ABCD的对角线AC上,Rt△PEF的两条直角边PE,PF分别交边BC,DC于点M,N,固定点P,使△PEF绕点P旋转,则的值为　　　　; 

(3)拓展探究:如图4,当四边形ABCD满足条件:∠B+∠D=180°,∠EPF=∠BAD时,点P在对角线AC上,PE,PF分别交边BC,CD于点M,N,固定点P,使△PEF绕点P旋转,请探究的值,并说明理由.

13.  某中学平整的操场上有一根旗杆(如图),一数学兴趣小组欲测量其高度,现在测量工具有皮尺、标杆,请你用所学的知识,帮助他们设计测量方案.

(1)画出你设计的测量平面图;

(2)简述测量方法,并写出测量的数据.(长度用a,b,c,…表示)

参考答案

一、选择题

1.  A

2.  D　 ∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,

AB=AD,∠E=∠C,∴∠B=∠ADB,∴∠ADE=∠ADB,∴DA平分∠BDE,∴②符合题意;∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,∴△AFE∽△DFC,∴①符合   题意;∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠FAE,∵△AFE∽△DFC,∴∠FAE=∠CDF,

∴∠BAD=∠CDF,∴③符合题意.

3.  D　如图,过点F作FM⊥AD于点M,则四边形ABFM为矩形,∴∠A=∠EMF=90°,MF=AB=6,∴∠AGE+∠AEG=90°.∵EF⊥GE,∴∠AEG+∠MEF=90°,∴∠AGE=∠MEF,∴△AEG∽△MFE,∴=.设AG=x,∵AD=9,DE=2AE,∴AE=3,∴=,

∴ME=2x,∴BF=AM=3+2x.在Rt△GBF中,GF2=GB2+BF2=(6-x)2+(3+2x)2=5x2+45,∵点G在线段AB上,∴0≤x≤6,∴当x=0时,GF2有最小值,为45,∴GF的最小值为3.

二、填空题

4.  　 ∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=6 cm,∠ABC=∠C=90°,AB∥CD,∴∠ABD=

∠BDC,∵AE=2 cm,∴BE=AB-AE=6-2=4(cm),∵G是EF的中点,∴EG=BG=EF,∴∠BEG=

∠ABD,∴∠BEG=∠BDC,∴△EBF∽△DCB,∴=,

∴=,∴BF=6,∴EF===2(cm),∴BG=EF=×2=(cm).

5.  (1)是;(2)　(1)如图1,在△ACM和△CFD中,

∴△ACM≌△CFD(SAS),∴∠CAM=∠FCD,∵∠CAM+∠CMA=90°,∴∠FCD+∠CMA=90°,∴∠CEM=90°,∴AB⊥CD.(2)如图2,在Rt△ABH中,AB==2,∵AC∥BD,

∴∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE,∴△ACE∽△BDE,∴==,∴=,∴AE=.

6.  (1,)　∵点A,B的坐标分别为(8,0),(0,2),∴OA=8,OB=2,∵CD⊥OB,

AO⊥OB,∴CD∥AO,∴△BDC∽△BOA,∴==,∵点C是AB的中点,∴BD=OD=,CD=4.∵当BP所在直线与EC所在直线垂直时,易得∠DBP=∠PCE,

∴△BDP∽△CPE,∴=,∴=,∴DP=1或3,∴当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为(1,).

　如图,作点E关于BC的对称点E',点A关于DC的对称点A',连接A'E',分别与BC,DC相交于点P,Q,连接AQ,EP,此时四边形AEPQ的周长最小.∵A'D=AD=3,BE'=BE=1,∴AA'=6,AE'=4.∵DQ∥AE',点D是AA'的中点,∴DQ是△AA'E'的中位线,∴DQ=AE'=2,∴CQ=DC-DQ=3-2=1.∵BP∥AA',∴△BE'P∽△AE'A',

∴=,即=,∴BP=,∴CP=BC-BP=3-=,∴S四边形AEPQ=S正方形ABCD-S△ADQ-S△PCQ-S△BEP=9-AD·DQ-CQ·CP-BE·BP=9-×3×2-×1×-×1×=.

三、解答题

8.  解:∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,

∵∠AOD=∠EFG=90°,

∴△AOD∽△EFG,∴=,

即=,∴AO=15.

同理可得△BOC∽△AOD,

∴=,即=,∴BO=12,

∴AB=AO-BO=15-12=3.

答:旗杆的高AB是3米.

9. 解:(1)∵四边形BFED是平行四边形,

∴DE∥BF,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴==.

∵AB=8,∴AD=2.

(2)∵△ADE∽△ABC,

∴=()2=()2=.

∵△ADE的面积为1,∴△ABC的面积是16.

∵四边形BFED是平行四边形,

∴EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,

∴=()2=()2=,

∴△EFC的面积是9,

∴平行四边形BFED的面积是16-9-1=6.

10.  解:(1)∵EF∥OA,∴△BEF∽△BOA,∴=,

当t=9时,OE=9,∵OB=15,∴BE=6,

又OA=20,∴=,∴EF=8,

∴S△PEF=EF×OE=×8×9=36.

(2)不存在.理由如下:

由题意,知OE=t,∴BE=15-t,

由(1)知=,即=,∴EF=(15-t),

当△PEF的面积等于40时,即×(15-t)t=40,

整理,得t2-15t+60=0,

∵Δ=152-4×1×60=-15<0,∴方程没有实数根.

∴不存在t值,使得△PEF的面积等于40.

(3)分两种情况:

当∠EPO=∠BAO时,△EOP∽△BOA,

∴=,即=,解得t=6;

当∠EPO=∠ABO时,△EOP∽△AOB,

∴=,即=,解得t=.

综上,当t=6或时,△EOP与△BOA相似.

11.  解:(1)∵AC是正方形ABCD的对角线,

∴∠ABC=90°,∠BAC=∠BCA=45°.

由旋转的性质,知PA=PE,∠APE=90°,∴∠PAE=∠PEA=45°.

∴∠APE=∠ABC,∠PAE=∠BAC,∴△APE∽△ABC.

(2)在Rt△ABC中,AB=CB,∴AC=AB.

由(1)知△APE∽△ABC,∴=,

∵∠BAC=∠PAE=45°,∴∠PAB=∠EAC,∴△PAB∽△EAC,

∴==,∠ABP=∠ACE,

∴∠BCE+∠CBM=∠BCE+∠ABP+∠ABC=∠BCE+∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠ABC=135°,

∴∠BMC=180°-(∠BCE+∠CBM)=45°.

12 解:(1)①a  ∵PM⊥BC,AB⊥BC,∴PM∥AB,∴△PMC∽△ABC,∴=,∵AP=2PC,

∴CP=AC,∴=,即=,

∴PM=a,∵四边形PMCN是正方形,∴四边形PMCN的边长是a.

②

当AP=nPC时,PC=AC,∴=,∴PM=,∴四边形PMCN的面积为()2=.

(2)

如图,过点P作PG⊥BC于点G,PH⊥CD于点H,则∠PGM=∠PHN=90°,∴∠GPH=90°,又∠FPE=90°,∴∠GPM+∠MPH=∠HPN+∠MPH,∴∠GPM=∠HPN,∴△PGM∽△PHN,

∴=.由PG∥AB,PH∥AD,得==,∵AB=a,AD=b,∴=,即=,∴=.

(3)=.理由如下:

如图,过点P作PG∥AB交BC于点G,PH∥AD交CD于点H,则∠HPG=∠DAB.

∵∠EPF=∠BAD,∴∠EPF=∠GPH,

即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM,

∴∠HPN=∠GPM.

∵∠B+∠D=180°,∴∠PGC+∠PHC=180°,

又∠PHN+∠PHC=180°,∴∠PGC=∠PHN,

∴△PGM∽△PHN,∴=.

由PG∥AB,PH∥AD,得△PCG∽△ACB,△PCH∽△ACD,

∴==,即=,∴=.

13.  解:(1)如图,沿着旗杆的影子竖立标杆,使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合.

(2)用皮尺测量旗杆的影长BE=a m,标杆CD的影长DE=b m,标杆高CD=c m.

易得△EDC∽△EBA,

所以=,即=,所以AB= m,

所以旗杆的高度为 m.