2022届河北省石家庄市高三下学期教学质量检测（一）（一模） 数学 PDF版

2022年石家庄市质检一数学答案

一、单选题

1.A  2.D  3.B  4.A  5.C  6.D  7.B  8.A

二、多选题

9.ABC   10.BD    11.AD    12.AC

三、填空题

 13.   -5                    14.         

 15.                     16.  

四、解答题：（其他答案请参照本标准，教研组商讨决定）

17.(本小题10分）

解：(1)由题意可知，数列为递增数列，.............................2分

又公差， 所以，.............................4分  

 .    ............................5分

（2），..............7分

，........................9分

.      .......................10分

说明：第（1）问若得出数列没有舍，两问均得到两种结果，则第（1）（2）问各扣掉2分

18.解：（1）因为,

所以.........................................................2分

因为                                               

所以   

 .........................................................4分

所以       

因为

所以·因为，所以·  ...................................................6分

（2）在中，由余弦定理得，

所以， ①

因为为边上的中线，

所以，

所以， ②

..................................................8分

由①得,  ③

代入②得,  ④........................................9分

由 ③得,所以,     

当且仅当,即时取等号, ..................................................11分

代入④得,所以,的长的最小值为.  .............12分

19解：（1）列联表如下：

...........................................................................................................................2分

.......................................4分

.........................5分

...............................................................................................................................11分

（以上五种情况，每种1分）

..........................................12分

20.（1）方法一：

证明：由已知△PBD为等腰直角三角形，PB⊥PD，PB=PD=

所以，BD=4，又∠DBC=45°，BC=，在△BCD中，由余弦定理得，CD=4

所以，，所以，        --------------------------------2分

又因为，平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD平面BCD=BD

所以，CD⊥平面PBD，所以，CD⊥PB            ---------------------------------4分

PB⊥PD

所以，PB⊥平面PCD，所以，PB⊥PC            ---------------------------------5分                   

方法二：

证明：由已知△PBD为等腰直角三角形，PB⊥PD，PB=PD=

所以，BD=4， 又∠DBC=45°，BC=

在△BCD中，由余弦定理得CD=4

所以，，所以，

取BD中点Q，连接CQ，在Rt△CDQ中，------------2分

连接PQ，则PQ=2，且PQ⊥BD

又因为，平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD平面BCD=BD

所以，PQ⊥平面BCD，所以，PQ⊥CQ

在Rt△PQC中，，            ---------------------------4分

又，所以，在△PBC中，所以，PB⊥PC ------------5分

（2）方法一：

解：设、分别是、的中点，连接、，则,,所以是二面角的平面角.

在平面上过做，如图以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．-----------------------------7分

则 ，，               设,

则，

．

设平面的法向量为，

则    取，

得．                       ------------------------------9分

显然平面的一个法向量为             -----------------------------10分

因为，二面角为， 所以

整理得  ，解得，所以

所以，二面角的大小为              ------------------------------12分

方法二：

解：由（1）中方法二可知PQ⊥BD

取BC的中点F，连接QF，则QF∥CD且QF=CD=2

所以，QF⊥BD

所以，∠PQF为二面角P-BD-C的平面角              --------------------------7分

且BD⊥平面PQF

连接PF，交BE于M，连接QM，QM平面PQF

所以，BD⊥QM

所以，∠MQF为二面角E-BD-C的平面角，∠MQF=30° -------------------------9分

由作图过程可知，M是△PBC的重心

所以，

即

所以，∠PQM=90°，∠PQF=120°                   -------------------------11分

所以，二面角P-BD-C的大小是120°                 -------------------------12分

21. （1）设，

由题意，直线，即……………………….2分

由消去得，

，抛物线的方程为：. ………………………4分

（2）设，，则点坐标为，

易知直线得斜率不为0，设直线的方程为：.

联立直线与抛物线的方程：，…………………………….6分

消去，得到关于的二次方程：，

因为方程有两个不等实根，故或

由韦达定理可知：，…………………………….7分

因为，即，而四点共线，在线段上；

所以，…………………………….9分

化简整理可得：.

即，

所以：，，消去参数，得：……………….11分

由或，可得：.

从而点的轨迹方程为：.…………………………….12分

22.（1）当时，，

设切点坐标为，则切线方程为：

…………………………2分

因为切线过原点，代入原点坐标可得：

令，则，

当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，……………………4分

所以，且当时，，所以的解唯一，即，

所以切点坐标为，切线斜率为，切线方程为：.……………………5分

（2）设点是函数上一点，且在点处的切线为，

则

令，所以

                    ，

①当，即时，，

则时，，所以在单调递减，故，即：，不满足，所以时，不是函数在上的好点. ……………………6分

②当，即时，

i）若，即，此时：

当时，，所以在单调递减，

不满足，所以当时，不是函数在上的

好点. ………………..…………8分

ii) ，即，此时：

当时，，所以在单调递减，

不满足，所以当时，不是函数在上的好点.

……………………………10分

iii）当，即，此时：

时，恒成立，所以在单调递增，

故当时，，即，所以时：

当时，，即，所以时，

即对任意，，所以当时， 是函数在上

的好点.

综上所述，在上存在好点，横坐标.……………………12分

备注：若学生先猜出“好点”的横坐标为，只论证满足题意，得4分；若再论证其他点不满足，也得满分.