安徽省安庆市2023届高三下学期模拟考试（二模）数学试卷（含答案）

安徽省安庆市2023届高三下学期模拟考试（二模）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、若复数z满足(i是虚数单位)，z的共轭复数是，则的模是(   )

A. B.4044 C.2 D.0

3、为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为(   )

A.43.5分钟 B.45.5分钟 C.47.5分钟 D.49.5分钟

4、已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为(   )

A. B. C. D.

5、已知第二象限角满足，则的值为(   )

A. B. C. D.

6、已知等差数列满足，则不可能取的值是(   )

A.-3 B. C. D.

7、已知函数，若函数恰有3个零点，则实数k的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

8、一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且，则点B到底面的距离是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象.则下列说法中正确的是(   )

A.函数的最小正周期为

B.函数的图象有一条对称轴为

C.函数的单调递增区间为

D.函数在区间上的值域为

10、在三棱锥中，G，E，P，H分别是，，，的重心.则下列命题中正确的有(   )

A.平面ABD

B.

C.四条直线AG，BE，CP，DH相交于一点

D.

11、牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛.其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是(   )

A.  B.

C.是等比数列  D.

12、已知A、B为抛物线上两点，以A，B为切点的抛物线的两条切线交于点P，设以A，B为切点的抛物线的切线斜率为，，过A，B的直线斜率为，则以下结论正确的有(   )

A.，，成等差数列；

B.若点P的横坐标为，则；

C.若点P在抛物线的准线上，则不是直角三角形；

D.若点P在直线上，则直线AB恒过定点；

三、填空题

13、设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为_________.

14、在棱长为4的正方体中，点E是棱上一点，且.过三点E、、的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为_________.

15、已知双曲线，(，)的两个焦点分别为，，过x轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于M，N两点，以为直径的圆经过点M，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为__________.

16、已知函数，其中，若不等式对任意恒成立，则a的最小值为____________.

四、解答题

17、已知公差不为0的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)若角，求角A的大小；

(2)若，，求b.

19、如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，侧面SCD是等边三角形，侧面SBC是等腰直角三角形，.

(1)求证：平面ABCD；

(2)若P是棱SC上的一点，且平面PBD.求平面PBD与平面ABCD所成二面角的余弦值.

20、为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.

(1)设小A每天获得的得分为X，求X的分布列、数学期望和方差；

(2)若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否贏得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A贏得多少局的比赛概率最大?

21、如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B、C分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线AB与直线CF相交于点T.

(1)若点T在直线上，求椭圆E的离心率；

(2)设直线CF与椭圆E的另一个交点为D，M是线段CD的中点，椭圆E的离心率为，试探究的值是否为定值(与a，b无关)，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

22、已知函数，...

(1)若曲线在点处的切线方程是，求a和b的值；

(2)若，且的导函数恰有两个零点，求b的取值范围.

参考答案

1、答案：A

解析：，，所以，故选A.

2、答案：B

解析：，，，.模是4044.故选B.

3、答案：C

解析：由频率之和为1得：，解得，

由，，故第25百分位数位于内，

则第25百分位数为.可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5，故选C.

4、答案：C

解析：由有，，即，因此.由于，所以，于是夹角为的最小值为.故选C.

5、答案：D

解析：因为，且为第二象限角，所以，

于是

.故选D.

6、答案：A

解析：法1：设，，则，

所以.故选A.

法2：因为，所以.

因此，故选A.

7、答案：A

解析：方法1.由题意得，方程有三个不等的实数根.

，分别作出函数和的图象，可得k的取值范围是.故选A.

方法2.取，作图检验可得.

8、答案：C

解析：圆柱半径为1，截面与底边所成角为，作于M，则，.截面椭圆是以为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为，短轴长为2，作于C，利用解析几何知识易得，，过C作，则，，由于BC，CD均平行于底面，故B点到底面的距离是.故选C.

9、答案：ABD

解析：因为与的图象振幅相等，所以，而，因此.所以函数.将函数的图象上的点的横坐标缩短为原来的倍，然后将所得图象向右平移个单位得到函数的图象，所以，由于，从而.于是，即，从而，.因此，，函数的最小正周期为.A正确.是函数的一条对称轴，故B正确；单调递增区间为，

C不正确.函数在区间的值域为，D正确.故选ABD.

10、答案：ABC

解析：由于G，E分别是，的重心，所以分别延长BG，AE交CD于中点F.

因为，，

所以，故.平面ABD，

平面ABD，因此平面ABD.A正确.

因为G是的重心，所以显然线段AG，BE的交点分AG，BE为3：1，同理线段AG，CP和线段AG，DH的交点分AG为，因此四条直线AG，BE，CP，DH相交于一点.C正确.

因为，所以.因此.D错误.故选ABC.

11、答案：ACD

解析：由得，，解得.

就是.

由得，.一方面，.

另一方面，.因此，

于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.故选ACD.

12、答案：AD

解析：设，，由，得，故，，所以切线PA的方程为，即，同理，切线PB的方程为，设P点坐标为，所以，，

从而，为方程的两根，故，，，故，，成等差数列，A正确；若，则，B不正确；若点P在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直，则为直角三角形，C不正确；

若点P在直线上，则，直线AB的方程为，即，由于，故直线AB的方程为，即，从而过定点，故D正确.选AD.

13、答案：5%

解析：A表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，由全概率公式得

，

而，故.

14、答案：

解析：由条件知正方体的内切球半径大小为2，设球心到平面的距离为d，则得到，解得.于是截面圆的半径大小为，故截面圆的面积大小为.

15、答案：

解析：由双曲线的定义，

，，

，，令，

在中，，，，

，，，又在中，，，

又，，，.

16、答案：

解析：因为，所以不等式就是，即.两边是同构式.构造函数，，则就是.因为，所以在上单增.而，，因此由得，，，.

故正实数a的最小值为.

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)由条件知，故.

设数列的公差为d，则.

因，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以.

(2)由(1)知，所以，

故.

18、答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)由于，有，

即，，，

，所以.

由于，且，故.

(2)由(1)知.

，，.

当A为锐角时，，，.

当A为钝角时，，，.

19、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)如图①，在梯形ABCD中，作于点E.

因为，，，

所以四边形ADEB是正方形，且，，

所以，.

在中，，，，

所以，所以.

在四棱锥中，由，，得平面ABCD.

(2)解法一、如图②，连接AC交BD于点F，连接PF.

因为平面PBD，平面SAC经过SA与平面PBD相交于PF，所以.

因为，所以，所以.

由，得.

由，，可知.又由于(1)平面ABCD，

故BC、BD、BS两两垂直，故可以点B为原点，

以BD、BC、BS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图③所示.

则，，，

由，可得，所以，.

设平面PBD的一个法向量为，则，

取，，，则.

又平面ABCD的一个法向量为，设平面PBD与平面ABCD所成二面角大小为，则.

故平面PBD与平面ABCD所成二面角的余弦值为.

解法二：由(1)平面ABCD，所以.

因为，，所以是直角三角形，，

所以平面SBC.又PB在平面SBC内，所以.

由，，平面，平面PBD，平面平面，

所以就是平面PBD与平面ABCD所成二面角的一个平面角.

如图④，连接AC交BD于点F，连接PF，作垂足为点G.

因为平面PBD，平面SAC经过SA与平面PBD相交于PF，所以.

因为，所以，故.

由，得.

在中，，，

所以，所以，，

所以，.

在中，，

.

所以平面PBD与平面ABCD所成二面角的余弦值为.

20、答案：(1)分布列见解析，数学期望为，方差为

(2)在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大

解析：(1)由条件知X的可能值为5，4，3，2.

其分布列为

，

.

(2)设小A每天贏得的局数为Y，则，

于是.

根据条件得，

解得，

又因为，所以，

因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大.

21、答案：(1)

(2)，为定值

解析：(1)由题意可知点A，B，C的坐标分别为，，，

所以直线AB的方程为：，直线CF的方程为：.

由和，消除y得，，即为点T的横坐标.

因为点T在直线上，所以.

整理得，所以离心率.

(2)当椭圆E的离心率为时，，，

所以椭圆E的方程为，即，

直线CF的方程为：.

，消去y，化简整理得，

所以点D的横坐标为，纵坐标为.

因为点C的坐标为，所以CD中点M的坐标为，

又由(1)知点T的横坐标为，

所以点T的纵坐标为，

所以，

，

故，为定值.

22、答案：(1)，

(2)b的取值范围是

解析：(1)因为，所以.

因为曲线在点处的切线方程是，

所以，，即，，

解得，.

(2)由得，.显然，.

因此.

令，且，则.

解方程得，，，

因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.

由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.

故b的取值范围是.