2021-2022学年上海市杨浦高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市杨浦高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．函数的定义域是           .

【答案】

【分析】利用真数大于零列不等式求解即可.

【详解】要使函数有意义，

则，解得，

即函数的定义域是，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于基础题.

2．已知，则______.

【答案】2

【分析】先求出反函数的表达式，然后代入求值即可.

【详解】令，由于，则，所以，得，

所以.

故答案为：2

3．无穷等比数列的首项为，公比为，且，则________.

【答案】1

【分析】根据无穷等比数列求和的性质即可得的等式关系，即可得答案.

【详解】等比数列的首项为，公比为，所以，

则，所以.

故答案为：.

4．等比数列的前项和为，若，则实数_______.

【答案】1

【分析】利用公式求数列通项，可解得实数，验证数列满足等比数列即可.

【详解】，则，

当时，，

依题意时也应该满足，有，解得，

则，满足为等比数列，所以.

故答案为：1

5．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等. 对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”. 现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为______.

【答案】141

【分析】根据“逐项差数之差或者高次差相等”这个定义，求数列的差的数列，再求这个数列的差的数列，直至出现等差数列，倒推回去就可得原数列的第8项.

【详解】由题意得1，5，11，21，37，61，95，的差的数列为4，6，10，16，24，34，

这个数列的差组成的数列为2，4，6，8，10是等差数列，则这个数列的下一项是12，

数列为4，6，10，16，24，34的下一项是34+12=46，

数列1，5，11，21，37，61，95的下一项是为，

所以一个高阶等差数列，前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为.

故答案为：

6．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】由幂函数的图象经过点，代入可得函数解析式，进而可判断函数的单调性与奇偶性，解不等式即可.

【详解】由幂函数的图象经过点，

得，解得：，

即，为偶函数，且在上单调递减，

设，即，

当时，由单调性可知，

又函数为偶函数，所以当时，，

所以，或，

解得或，即，

故答案为：.

7．已知函数的最小值为-2，则实数a=________.

【答案】

【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.

【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，

当时，即，函数在时单调递减，

因此，显然符合；

当时，即时，，显然不符合；

当时，即时，函数在时单调递增，

因此，不符合题意，综上所述：，

故答案为：

8．设数列{}为等差数列，其前n项和为，已知，若对任意n∈N*，都有成立，则k的值为______.

【答案】20

【分析】由题意，转化“对任意n∈N*，都有成立”为Sk为Sn的最大值．可求得d＝－2，an＝41－2n，当Sn取得最大值时，对任意n∈N*满足，求解即可

【详解】对任意n∈N*，都有成立，即Sk为Sn的最大值．

因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，

所以a4＝33，a5＝31，

故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，

当Sn取得最大值时，对任意n∈N*满足

解得n＝20.

即满足对任意n∈N*，都有成立的k的值为20.

故答案为：20

9．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是__________

【答案】

【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出的取值范围.

【详解】解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，此时满足，即，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.

10．数列满足，前16项和为540，则 ______________.

【答案】

【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.

【详解】，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列的前项和为，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.

二、单选题

11．已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：

设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（     ）A．2 B．3 C．5 D．6

【答案】B

【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点.

【详解】由零点存在性定理，在上至少各有一个零点，在区间上零点至少3个.

:.B:.B

12．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为严格增数列”的（     ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性即可求解

【详解】当时，则，所以，

所以能推出数列为严格增数列；

当数列为严格增数列时，则能推出，

故“”是“数列为严格增数列”的充要条件

故选：.

13．下列结论正确的是（     ）

A．已知为一个数列，那么对任意正整数，均有；

B．对于任意实数，一定存在实数，使得为的等比中项；

C．若数列的前项和，则一定是等差数列；

D．若数列是等差数列，则数列一定是等比数列.

【答案】D

【分析】对于A：利用和与项的关系即可判断；对于B：利用等比中项的定义可判断；对于C：利用和与项的关系求出，检验可判断；对于D：利用等比数列的定义式可判断.

【详解】对于A：缺少条件，A错；

对于B：当异号时不存在，B错；

对于C：①，当时，②

①-②，得，而，

当时，不满足，C错；

对于D：令等差数列公差为，则，D正确；

故选：D

14．设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．

【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；

②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；

③函数为偶函数，，令，，

则，存在．

故选：．

【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．

三、解答题

15．已知函数（）是定义在上的奇函数，求的值.

【答案】

【分析】函数定义域为R，由，求的值，再检验函数满足奇函数.

【详解】函数是定义在上的奇函数,则，解得.                                   

当时，，

任取，，符合题意.  

综上，.

16．已知数列各项均为正数，且满足，.

(1)求证：数列为等比数列；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知式子化简得出，即可根据等比数列的定义证明；

（2）根据小问一证明结果得出，即可得出，即可根据错位相减法得出答案.

【详解】（1）因为，则，

又，所以，即，

所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列.

（2）由（1）得，则，

，

，

两式相减得

即.

17．某公园的赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数与第天近似地满足（千人），游客人均消费与第天近似地满足（元），且.

(1)求该园区第天的旅游收入（单位：千元）的函数关系式；

(2)记（1）中的最小值为（千元），若最终总利润为（千元），试问该园区能否收回投资成本？

【答案】(1)

(2)能收回投资成本.

【分析】(1)根据化简即可；

(2) 当且时，利用基本不等式求得最小值；当且时，利用单调性求得最小值，最终得到的最小值千元，因此万元即可判断.

【详解】（1）

；

（2）当且时，，

当且仅当，即时取等号，此时的最小值为1152千元；

当且时，为单调递减函数，

所以当时取到最小值，最小值为1116千元.

综上，的最小值千元，因此万元万元，

能收回投资成本.

18．已知，定义：表示不小于的最小整数，例如：，.

(1)若，且满足，求实数的取值范围；

(2)若，且满足，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知可得，解不等式结合已知得出实数的取值范围；

（2）由已知得出，则，原式转为解，分，和讨论，得出实数的取值范围．

【详解】（1），则，

又因为，解得．

（2），，，则，即，解得

若，则且，得，显然不成立；

若，则且，得；

若，则且，得，显然不成立.

因此，所以，实数的取值范围是.

19．已知数列满足，.

(1)计算的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)设，为整数，不等式对一切且均成立，求的最大值.

【答案】(1)；

(2)

(3)1

【分析】（1）根据递推公式即可计算出的值；（2）由（1）作出猜想，并用数学归纳法证明即可得数列的通项公式为；（3）根据不等式恒成立问题可求得，利用数列单调性求出最小值并取整即可得的最大值为1.

【详解】（1）由题意可知

；

所以

（2）由（1）猜想：.                                

证明：当时，，符合上式；

假设当时，成立，

那么时，，

上式也成立.

由此，对任意正整数，成立.

即数列的通项公式为

（3）由（2）得.                             

不等式对一切且均成立，

即对一切且均成立，

即，其中且.  

令，

则

，

得.

所以数列为严格增数列，

，

所以.                                           

又因为为整数，所以.