2021-2022学年上海市徐汇区高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__．

【答案】2

【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解.

【详解】由题意得，所以．

故答案为：2.

2．若，则与垂直的单位向量的坐标为_______________.

【答案】或

【详解】试题分析：与垂直的单位向量的坐标为则解得或,故答案为或.

【解析】（1）数量积判断两个平面向量的垂直关系；（2）单位向量.

3．将写成的形式，其中，则__．

【答案】

【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.

【详解】因为，

所以．

故答案为：.

4．已知，则__．

【答案】##-0.25

【分析】根据已知等式进行凑角，利用和差公式展开结合商数关系式即可得所求.

【详解】解：因为，所以，

所以，则，

所以．

故答案为：.

5．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量__．

【答案】

【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.

【详解】函数的图象平移后，得到函数的图象,

则要向左平移1个单位，向下平移2个单位

故

故答案为：.

6．已知在所在平面内，，则是的__心．

【答案】垂

【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.

【详解】由得：，即，则，

由同理可得：，

所以是的垂心.

故答案为：垂

7．函数的严格减区间是__．

【答案】．

【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解.

【详解】令，则为增函数，

欲求的减区间，则求的减区间

由题意得定义域为，解得

所以的减区间为

所以函数的严格减区间是.

故答案为：.

8．已知，，则向量在向量方向上的投影是__________．

【答案】.

【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.

【详解】解：根据投影公式，向量在向量方向上的投影是.

故答案为：．

9．已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、和、、、均由2个和2个排列而成，记，则最多有__个不同的值．

【答案】3

【分析】由题意分析即可得的各种取值情况，即可得符合条件的个数.

【详解】解：由题意可知， 有三个值，

分别为、、

．

故最多有3个不同的值．

故答案为：3.

10．设，函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_________

【答案】

【分析】问题可转化为在上的图象与直线仅有两个交点，作出函数图象，观察图象即可得解．

【详解】由题意得，在上仅有两个不同的解，

即在上仅有两个不同的解，

即在上仅有两个不同的解，

设，则在上的图象与直线仅有两个交点，

作出及直线的图象如下图所示，

由图象可知，．

故答案为：．

【点睛】方法与易错点点睛：转化为在上的图象与直线仅有两个交点是解题的关键，易错点：结果的开闭区间要注意.

11．如图，已知是半径为2圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的值域是__________.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可．

【详解】以圆心为原点，平行的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，

则，，设，，

则，，

，且，，

，

在，上递增，在，上递减，

当时，的最小值为，

当时，的最大值为，

则，，

故答案为：，．

【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.

12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．

【答案】

【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.

【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．

根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，

即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；

同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．

设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，

则，

当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．

所以，即所求实数的最大值是．

故答案为：

【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.

二、单选题

13．若在中，是的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】C

【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得．

若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知．

所以，“”是“”的充要条件．

故选：C．

14．下列等式中不恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。

【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得，所以是正确；

根据向量的数量积的运算律，可得是正确；

由向量的数量积的运算公式，可得，所以不恒成立；

由，所以是正确的。

故选：C。

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和运算律是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

15．定义运算：，对于函数和，把函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】根据题意将写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可.

【详解】由题意,先化简,则.

故,故.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义的问题进行分析即可.属于中等题型.

16．已知、、、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、、，使得，则三个角、、

A．都是钝角 B．至少有两个钝角

C．恰有两个钝角 D．至多有两个钝角

【答案】B

【分析】根据，移项得，两边同时点乘，得•0，再根据正实数，和向量数量积的定义即可确定∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，同理可证明∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，从而得到结论．

【详解】∵λ1λ2λ3，

∴，两边同时点乘，得

•，

即||•||cos∠COA+cos∠BOC＝﹣0，

∴∠BOC、∠COA至少有一个为钝角，

同理∠AOB、∠BOC至少有一个为钝角，∠AOB、∠COA至少有一个为钝角，

因此∠AOB、∠BOC、∠COA至少有两个钝角．

故选B．

【点睛】本题考查数量积，考查向量的夹角，以及数量积的定义式，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,是中档题

三、解答题

17．已知：、是同一平面内的两个向量，其中．

(1)若且与垂直，求与的夹角 ；

(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量垂直得数量积为0，即可得，再根据夹角余弦公式求余弦值，即可得夹角大小；

（2）利用向量的坐标运算，结合数量积的符号与夹角的关系列不等式求解即可.

【详解】（1）解：由得，即 ，所以，

得，又，所以；

（2）解：因为，，所以

所以，则，

由得，

由与与的夹角为锐角，所以

18．在中，分别为内角所对的边，且

(1)求的大小；

(2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可）

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）结合正弦定理边角互化变形即可求解

（2）选择（1）（3），利用余弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（1）（2），利用正弦定理、三角形的面积公式即可求解；选择（2）（3），三角形不存在

【详解】（1）由正弦定理可得：，

得，

又，得，又，所以；

（2）（i）选择（1）（3），

将，代入可得，

解得，所以，

（ii）选择（1）（2），

由，

又，

所以，

（iii）选择（2）（3），

由，可得，

所以由正弦定理可得即与矛盾，

故这样的三角形不存在．

19．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求

(1)的值；

(2)求角A的值．

【答案】（1）1:2:3；（2）.

【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得的值.

（2）由（1）可得：，，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得，解得，分类讨论可求A的值.

【详解】（1）∵，

∴由正弦定理可得：，

∴.

可得：.

（2）由（1）可得：，，

∵，

∴，

解得：，或，

当，舍去；

当，，

当，则，则，，矛盾，

综上，.

【点睛】本题第一问考查正弦定理得边化角公式，第二问考查了正切的两角和公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题.

20．已知，，，若满足成立，则称通过变换到.

(1)若向量通过变换到，且，求和的值；

(2)通过变到 ，通过变到 （其中与不平行），猜想 的面积与 的面积的比，并说明理由.

【答案】(1)，；

(2) ，理由见解析.

【分析】（1）根据“变换”的定义和向量共线的法则求解，

（2）根据“变换”的定义，再求出 与 的夹角，以及 与 的夹角，再根据三角形面积公式计算.

【详解】（1）由题意得，，

,

即则 ，，

此时，，

综上所述，，；

（2）由题意得， ，

则 ，

得 ，同理可得 ，

，

所以

，所以 ，

则 ，

得 ；

综上，，， .

21．已知函数的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.

(1)求函数与的解析式；

(2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点．

【答案】(1)，

(2)．

【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解；

(2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解.

【详解】（1），

当时，，

因为，取，

，

将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），

可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后，

，

（2）由（1）得，

，

不妨设或，显然

若，则在上必有偶数个零点，

所以中至少有一个为或，

不妨设，

当，则（舍）；

当，则，

此时在上有3个零点，

又，

即，

综上所述，．