2021-2022学年上海市徐汇区高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

这是一份2021-2022学年上海市徐汇区高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市徐汇区高一上学期12月月考数学试题 一、填空题1．已知集合，则_________.【答案】【解析】直接根据并集定义得到答案.【详解】集合，则.故答案为：.【点睛】本题考查了并集计算，属于简单题.2．函数的定义域为_______________.【答案】【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为，所以，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．【答案】【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果.【详解】幂函数可设为，图象过点，则，则，所以.故答案为：.4．函数，的值域为__________．【答案】【分析】根据对勾函数的单调性分析出的单调性，然后即可求解出的最值，从而的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递减，所以，又，且，，所以，所以的值域为，故答案为：.5．若函数是偶函数，则______.【答案】5【解析】先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求的值.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，解得，所以5故答案为：56．已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．【答案】【分析】令求解即可.【详解】令，得，故函数图象过定点，故答案为：7．已知是定义在上的偶函数，且它在上单调递增，那么使得成立的实数的取值范围是_________【答案】【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），即2≤|a|，∴a≤﹣2或a≥2，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f（a）＝f（|a|）是解决偶函数问题的关键．8．设，，则__________．（用a、b表示）【答案】【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】由，，则即又则，则 ，故答案为：.9．设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.【答案】【解析】根据、是关于的方程的两个实数根，由，解得 ，然后由 ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为、是关于的方程的两个实数根，所以，解得 ，所以，则 ，， ， ，所以的最小值为，故答案为：10．已知函数的最小值为2，则的最小值为__．【答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为，所以，仅当时取等号，又的最小值为2，所以，所以，当且仅当时取等号．故答案为：211．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，（2）若数域有非零元素，则，从而，故（2）正确；（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：312．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数在上是增函数，所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数，对于函数在上是增函数，则；①对于函数，（1）当时，，外函数为定义域内的减函数，内函数在上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当时，外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数，则内函数在上也是增函数，且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立，所以， 又，所以，②又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足：，化简得，③由①②③得，，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 二、单选题13．若实数，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊值判断ACD，由不等式性质判断B.【详解】当时，，故A错误；因为，所以，故B成立；当时，不成立，故C错误；当当时，，故D错误.故选：B14．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除，再利用特殊值排除选项，进而求解.【详解】函数的定义域为，且，则函数为偶函数，故排除选项；又因为当时，，故排除选项，故选：.15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：，，现小明以加速度做匀加速直线运动，在地处的速度为，在地处的速度为，则它在地和地的中点处的速度满足（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为，所以由题意得，，所以，故A、B、C均错.故选：D.16．命题：存在且，对于任意的，使得；命题：单调递减且恒成立；命题：单调递增，存在使得，则下列说法正确的是（    ）A．只有是的充分条件B．只有是的充分条件C．，都是的充分条件D．，都不是的充分条件【答案】C【分析】对于命题：当时，结合单调递减可得出，对于命题：当时，，结合单调递增可得出，进而可得，由充分条件的定义可判断，，进而可得正确选项.【详解】对于命题：当时，，因为单调递减，所以，因为恒成立，所以，所以由命题可得出成立，所以是的充分条件；对于命题：当时，，，因为单调递增，所以，所以，所以由命题可得出成立，所以是的充分条件；所以，都是的充分条件，故选：C. 三、解答题17．已知全集，集合.(1)当时，求；(2)当“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合，再根据集合的交运算即可求解. （2）求出，根据题意可得，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当时，，或或，所以或.（2）由（1）可得，，当时，，当时，，当时，，“”是“”的必要不充分条件，则，显然，不成立；当时，，解不等式可得，此时；当时，，解不等式可得，此时，所以实数的取值范围为或.实数的取值范围是.18．已知.(1)判断函数的奇偶性并说明理由；(2)判断函数在区间上的单调性并证明.【答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）函数是非奇非偶函数，理由如下：由题意可知，的定义域为，所以，，所以，，所以函数是非奇非偶函数；（2）函数在区间上的单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以，所以，即.所以函数在区间上是增函数.19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为，为药物进入人体时的速率，是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中为停药时的人体血药浓度．(1)求出函数的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【答案】(1)(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射． 【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）令，则，由图象可知，图象经过，两点， 则，解得，所以；（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度为15时为最迟停止注射时间，故，解得，浓度从15降到4为最长间隔时间，故，即，两边同时取以2为底的对数，则，即，所以，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．已知幂函数是奇函数，且在为严格增函数．（1）求的值，并确定的解析式；（2）求，的最值，并求出取得最值时的取值．【答案】（1），；（2）时取到最小值为；时，取得最大值13．【解析】（1）由单调递增得出，又，得或，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为，令可得，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数 ，在为增函数，所以，即，解得，又，所以或，当时，，满足，因此是奇函数；当时， ，显然是偶函数，不符合题意；所以，；（2）因为，所以，令，因为，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，当即，时；因为，当时，即，时.【点睛】本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数，其中为常数．(1)当时，解不等式的解集；(2)当时，写出函数的单调区间；(3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)增区间为和，减区间为(3) 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.【详解】（1）当时，，当时，，解得，所以，当时，成立，当时，，解得，综上，不等式的解集为；（2）当时，，所以由二次函数的单调性知，的严格增区间为和，严格减区间为；（3）①当时，在上严格增，所以，所以，解得；②当时，在上严格增， ，所以，解得，③当时，在上严格增，在上严格减，，不满足条件，④当时，不单调，，，不满足条件，所以实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对需结合单调性分类讨论.