2023年安徽省马鞍山市雨山区中加双语学校中考数学一模试卷

这是一份2023年安徽省马鞍山市雨山区中加双语学校中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省马鞍山市雨山区中加双语学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式正确的是（　　）
A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5
2．在十四五规划发展中，预计到2025年，安徽省GDP达65000亿，其中65000亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.5×1011 B．6.5×1012 C．6.5×1013 D．0.65×1013
3．下列运算正确的是（　　）
A．3x2+2x3＝5x5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣2a3）2＝﹣4a6 D．a2•a3＝a5
4．如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
5．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（　　）
A．y1＞y2＞0 B．y2＜y1＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＜y2＜0
6．如图⊙O的半径为3，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD的值是（　　）

A．2 B． C． D．
7．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．若函数y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　）
A．a＝且a≠1 B．a＝ C．a＝1 D．a＝或a＝1
9．在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　）

A．2 B． C． D．4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．函数：的x的取值范围是 　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　 　．

13．定义新运算“*”，规则：a*b＝，如1*2＝2，（﹣）*＝．若2x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝　 　．
14．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．
（1）FG＝　 　；
（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2023）0．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）画出将△ABC先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的△A1B1C1．
（2）画出将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到的△A1B2C2．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
18．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第5个等式是 　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanB＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．

20．如图，一枚运载火箭从地面M处发射，当火箭到达A点时，从位于地面N处的雷达站测得AN的距离是12km，仰角为45°；5s后火箭到达B点，此时测得仰角为60°．
（1）求地面雷达站N到发射处M的水平距离；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？（结果保留根号）

六、（本题满分12分）
21．喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初二年级开展了汉字听写大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示50～60分，B表示60～70分，C表示70～80分，D表示80～90分，E表示90～100分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题：

（1）直接写出a的值，a＝　 　，并把频数分布直方图补充完整；
（2）求扇形B的圆心角的度数；
（3）如果全年级有1500名学生参加这次活动，90分以上为优秀，那么估计获得优秀的学生有多少人．
七、（本题满分12分）
22．如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE是中位线，点G在AC上，且BG平分∠ABC，E与BG交于点F．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若AB＝AC，点H是BC的中点，连接FH，其它条件不变，如图（2）．求证：BF＝（+1）FH．

八、（本题满分14分）
23．如图，抛物线y＝a2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式正确的是（　　）
A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5
【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义对各选项分析判断即可．
解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，
∴选项A不符合题意；
B、∵﹣（﹣5）＝5，
∴选项B不符合题意；
C、∵|﹣5|＝5，
∴选项C不符合题意；
D、∵﹣（﹣5）＝5，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查相反数的定义以及绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．在十四五规划发展中，预计到2025年，安徽省GDP达65000亿，其中65000亿用科学记数法表示为（　　）
A．6.5×1011 B．6.5×1012 C．6.5×1013 D．0.65×1013
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
解：65000亿＝6500000000000＝6.5×1012．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3x2+2x3＝5x5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣2a3）2＝﹣4a6 D．a2•a3＝a5
【分析】根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行判断即可．
解：3x2与2x3不是同类项，不能合并，
故A不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故B不符合题意；
（﹣2a3）2＝4a6，
故C不符合题意；
a2•a3＝a5，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键．
4．如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上面看所得到的图形画出图形即可．
解：几何体的俯视图是：

故选：C．
【点评】本题主要考查组合体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
5．已知x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足（　　）
A．y1＞y2＞0 B．y2＜y1＜0 C．y2＞y1＞0 D．y1＜y2＜0
【分析】先利用方程的解求得a的值，即可判断反比例函数的图象所在的象限，然后利用反比例函数的性质解决问题即可．
解：∵x＝﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，
∴2×（﹣1）2﹣a﹣5＝0，
∴a＝﹣3，
∴a＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在第二象限，
∵x1＞x2，
∴y1＞y2＞0，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解，反比例函数的图象上的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
6．如图⊙O的半径为3，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD的值是（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】连接BC可得Rt△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD＝tanA＝可得答案．
解：如图，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝，
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA＝．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．
7．从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名去参加“喜迎二十大”演讲比赛，则恰好抽到乙、丁两位同学的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到乙、丁两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到乙、丁两位同学的结果有2种，
∴恰好抽到乙、丁两位同学的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．若函数y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（　　）
A．a＝且a≠1 B．a＝ C．a＝1 D．a＝或a＝1
【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当y＝0时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果．
解：当a＝1时，y＝﹣x+1，
此时一次函数y＝﹣x+1与x轴只有一个公共点，
当a≠1时，
令y＝0，则（a﹣1）x2﹣x+1＝0，
∵二次函数与x轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）×1＝0，
解得a＝，
综上所述，a＝1或．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数及其图象的性质，二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系等知识，解决问题的关键是分类讨论．
9．在同一直角坐标系中，函数y＝ax+a和函数y＝ax2+x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据a的正负判断一次函数经过的象限和二次函数的开口方向和对称轴的正负，然后逐个分析即可．
解：当a＞0时，
一次函数过一二三象限，
抛物线开口向上，对称轴x＝＜0，故B、C不符合题意，
当a＜0时，
一次函数过二三四象限，
抛物线开口向下，对称轴x＝＞0，故A不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，能够通过一次函数和二次函数的系数判断出大概图象是解答本题的关键．
10．如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　）

A．2 B． C． D．4
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解．
解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，

∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴点F在与AN成30°的直线上运动，
∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，
∴AF'＝AN，
∴+1＝（AE+AE），
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点F的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．函数：的x的取值范围是 　x≤　．
【分析】根据二次根式（a≥0）可得4﹣3x≥0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
4﹣3x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式（a≥0）是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　﹣6　．

【分析】根据反比例函数的对称性和反比例函数系数k的几何意义，可求出S△BOC＝S△ABC＝＝|k|，再根据图象所在的象限确定k的值即可．
解：由对称性可知，OA＝OB，
∴S△AOC＝S△BOC＝S△ABC，
∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6，
∴S△BOC＝S△ABC＝＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数的性质是正确解答的关键．
13．定义新运算“*”，规则：a*b＝，如1*2＝2，（﹣）*＝．若2x2﹣3x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝　　．
【分析】首先解方程求得方程的两个解，根据a*b＝，可以得到x1*x2的值是两个根中的较大的一个．
解：解方程2x2﹣3x﹣5＝0，
（x+1）（2x﹣5）＝0，
x+1＝0或2x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝．
∵a*b＝，
∴x1*x2＝（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，关键是理解a*b＝．
14．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，F为DE边上一动点，FG⊥BC于G，GH∥BA交AC于H．
（1）FG＝　　；
（2）当△FGH和△ABC相似时，FH＝　或　．

【分析】（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，根据勾股定理得到BC＝＝10，根据三角形的中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝5，根据相似三角形的性质得到＝＝，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）过A作AM⊥BC于M交DE于N，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝5，
∴AN⊥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵FG⊥BC，
∴FG＝MN，
∵AB•AC＝BC•AM，
∴6×8＝10AM，
∴AM＝，
∵AN＝，
∴FG＝MN＝﹣＝，
故答案为：；
（2）∵FG⊥BC，
∴∠FGC＝90°，
∴∠FGH+∠CGH＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠HGC＝∠B，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠HGC+∠C＝90°，
∴∠FGH＝∠C，
当△FGH和△ABC相似时，
①△ABC∽△HFG，
∴，
∴FH＝＝＝．
②△FHG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴FH＝，
综上所述，FH＝或，
故答案为：或．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：|﹣4|﹣+3﹣2﹣（﹣2023）0．
【分析】分别根据绝对值的性质，数的开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解：原式＝4﹣3+﹣1
＝．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质，数的开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的△ABC．
（1）画出将△ABC先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到的△A1B1C1．
（2）画出将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到的△A1B2C2．

【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A1B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．6月13日是“文化和自然遗产日”，某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进A种纪念品20件，B种纪念品10件，需要2000元；若购进A种纪念品8件，B种纪念品6件，需要1100元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若每件A种纪念品的售价为60元，每件B种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进B种纪念品的数量不少于30件，设购进B种纪念品m件，总利润为w元，请写出总利润w（元）与m（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案．
【分析】（1）设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得出m的取值范围，求出总利润关于购买B种纪念品m件的函数关系式，由函数的单调性确定总利润取最值时m的值，从而得出结论．
解：（1）设购进A种纪念品每件价格为x元，B种纪念币每件价格为y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种纪念品每件价格为25元，B种纪念币每件价格为150元；
（2）根据题意，得，
解得30≤m≤300，
根据题意得：w＝（60﹣25）（300﹣m）+（180﹣150）m＝﹣5m+10500，
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝30时，w有最大值：w＝﹣5×30+10500＝10350，300﹣30＝270（件），
故购进A种纪念品270件，购进B种纪念品30件时利润最高，利润最高为10350元．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键．
18．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）第5个等式是 　　；
（2）写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）对所给的等式进行分析，不难得出结果．
解：（1）由题意得：第5个等式为：，
故答案为：；
（2）∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
∴第n个等式为：，
证明：左边：＝＝
右边＝∴左边＝右边，等式成立
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanB＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AC，根据平行线的性质得到DE⊥AC；
（2）连接AD，BF，根据余弦的定义求出CD，进而求出CE，根据平行线分线段成比例定理得到FE＝CE，得到答案．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝10，
∴AC＝AB＝10，
∴∠B＝∠C，
在Rt△ADC中，tanB＝tanC＝＝，
∴AD2+（2AD）2＝102，
∴AD＝2，
∴CD＝4，
在Rt△CED中，tanC＝，
∴，
∴DE＝4，
∴CE＝8，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE＝8，
∴CF＝16．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及其推论、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，一枚运载火箭从地面M处发射，当火箭到达A点时，从位于地面N处的雷达站测得AN的距离是12km，仰角为45°；5s后火箭到达B点，此时测得仰角为60°．
（1）求地面雷达站N到发射处M的水平距离；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？（结果保留根号）

【分析】（1）在Rt△AMN中，利用cos45°＝可求出答案；
（2）求出AM、BM、AB的长，即可求出移动的速度．
解：（1）在Rt△AMN中，MN＝AN•cos45＝12×°＝6（km），
（2）在Rt△AMN中，AM＝AN•sin45°＝12×＝6（km），
在Rt△BMN中，BM＝MN•tan60°＝＝6×＝6（km），
∴AB＝BM﹣AM＝6﹣6（km），
∴速度为km/s，
答：地面雷达站N到发射处M的水平距离是6km；这枚火箭从A到B的平均速度为km/s．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键．
六、（本题满分12分）
21．喜迎中共二十大，为响应党的“文化自信”号召，初二年级开展了汉字听写大赛活动．现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（A表示50～60分，B表示60～70分，C表示70～80分，D表示80～90分，E表示90～100分，每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请结合图中提供的信息，解答下列各题：

（1）直接写出a的值，a＝　30　，并把频数分布直方图补充完整；
（2）求扇形B的圆心角的度数；
（3）如果全年级有1500名学生参加这次活动，90分以上为优秀，那么估计获得优秀的学生有多少人．
【分析】（1）用E组人数除以扇形图中E组圆心角度数占周角的比例可得总人数，根据百分比的概念可得a的值；总人数减去其它四个小组人数求出C组人数，从而补全图形；
（2）用360°乘以B等级人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中E等级人数所占比例．
解：（1）样本容量为10÷＝50，a%＝×100%＝30%，即a＝30，
C组人数为50﹣（5+7+15+10）＝13（人），
补全图形如下：

故答案为：30；
（2）扇形B的圆心角度数为360°×＝50.4°，
（3）×1500＝300（人）．
答：估计获得优秀的学生有300人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
七、（本题满分12分）
22．如图（1），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE是中位线，点G在AC上，且BG平分∠ABC，E与BG交于点F．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若AB＝AC，点H是BC的中点，连接FH，其它条件不变，如图（2）．求证：BF＝（+1）FH．

【分析】（1）根据三角形中位线定理求出DE∥BC，AD＝BD，根据平行线的性质推出∠BFD＝∠CBF，结合角平分线定义推出∠ABF＝∠BFD，则BD＝FD＝AD，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可；
（2）连接AH，过点H作HM⊥FH交BG于点M，根据题意推出DE垂直平分AH，则AF＝HF，根据等腰直角三角形的性质推出∠AHF＝∠BHM，AH＝BH，根据角的和差求出∠AHF＝∠BHM，利用ASA证明△BMH≌△AFH，根据全等三角形的性质得出BM＝AF，MH＝FH，根据勾股定理及线段的和差求解即可．
【解答】（1）解：如图1，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，AD＝BD，
∴∠BFD＝∠CBF，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠BFD，
∴BD＝FD，
∴AD＝FD，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠AFB＝∠AFD+∠BFD＝∠DAF+∠ABF，
又∵∠AFB+∠DAF+∠ABF＝180°，
∴∠AFB＝∠AFD+∠BFD＝90°；
（2）证明：如图2，连接AH，过点H作HM⊥FH交BG于点M，

∵AB＝AC，点H是BC的中点，
∴AH⊥BC，
∵DE是中位线，
∴DE垂直平分AH，
∴AF＝HF，
∵AH是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，
∴AH＝BH，∠AHB＝90°，∠CAH＝∠BAC＝45°，
∵HM⊥FH，
∴∠FHM＝90°＝∠AHB，
∴∠FHM﹣∠AHM＝∠AHB﹣∠AHM，
即∠AHF＝∠BHM，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝22.5°，
∴∠AGB＝67.5°，
由（1）知，∠AFB＝90°，
∴AF⊥BG，
∴∠FAG＝22.5°，
∴∠HAF＝∠CAH﹣∠FAG＝22.5°，
∴∠HBM＝∠HAF，
又BH＝AH，∠AHF＝∠BHM，
∴△BMH≌△AFH（ASA），
∴BM＝AF，MH＝FH，
∴△FHM是等腰直角三角形，
∴FM＝FH，
∴BF＝BM+FM＝AF+FH＝（+1）FH．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．如图，抛物线y＝a2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据题意可得y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），解方程即可；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
（3）△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE＝∠CAO，②若∠CDE＝∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：a×（0+1）×（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），且0＜m＜3，

在Rt△BOC中，BO＝3，OC＝3，BC＝＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），C（0，3）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），
∴DM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM＝∠BOC＝90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ∥y轴，
∴∠DME＝∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴，即，
∴DE＝﹣m2+m＝−（m−）2+，
∴当m＝时，DE取得最大值，最大值是；
（3）存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝1，OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ＝∠DME＝45°，
∵DE⊥BC，
∴ME＝DE，
设D（m，﹣m2+2m+3），且0＜m＜3，则M（m，﹣m+3），
∴CM＝＝m，
由（2）知DE＝﹣m2+m，
∴CE＝m﹣（﹣m2+m）＝m2﹣m，
①若∠DCE＝∠CAO，
∴tan∠DCE＝tan∠CAO＝＝3，
∵tan∠DCE＝＝3，
∴DE＝3CE，
∴﹣m2+m＝3（m2﹣m），
解得m＝或0（舍去），
∴点D的坐标为（，）；
②若∠CDE＝∠CAO，

则tan∠CDE＝tan∠CAO＝3，
∵tan∠CDE＝＝3，
∴CE＝3DE，
∴3（﹣m2+m）＝m2﹣m，
解得m＝或0（舍去），
∴点D的坐标为（，）；
综上，存在，点D的坐标为（，）或（ ，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．