2023年广东省河源市龙川县中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省河源市龙川县中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省河源市龙川县中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣的倒数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．2022年，广东省外贸进出口总值再创新高，达到83100亿元，那么“83100”用科学记数法表示为（　　）
A．8.31×103 B．83.1×103 C．8.31×104 D．8.31×105
3．已知∠α＝62°，则∠α的余角为（　　）
A．28° B．38° C．118° D．138°
4．计算20的结果是（　　）
A．0 B． C．1 D．2
5．一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a＝（　　）
A．0 B．3 C．4 D．5
6．如图是一个正八边形，则它（　　）

A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
7．下列式子中，x＝2是它的解的是（　　）
A． B．x2﹣2x+1＝0 C．x＜0 D．
8．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（　　）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
9．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝4，∠A＝60°，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．
10．如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，则y与x的关系为（　　）

A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．cos30°＝　 　．
12．一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为 　 　．
13．不等式：﹣x+1＞2的解集是 　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　 　．

15．如图，扇形AOB的面积为15，半径OA＝OB＝5，则的长为 　 　．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+（2a﹣1）2，其中a＝1．
17．解分式方程：．
18．某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为20元/件，售价为30元/件；乙种商品进价为50元/件，售价为80元/件．现商场用13000元购进这两种商品并全部售出，两种商品的总利润为7500元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图，⊙O的两条弦AB＝CD，分别连接AC，BD，交点为P．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，AB＝4，，求AC的长．

20．某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：A（80≤x＜85），B（85≤x＜90），C（90≤x＜95），D（95≤x≤100），其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在C组中的数据是90，91，92．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
42.4
九年级
90
C
100
37.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？
（3）若该校九年级共500人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生有多少人？

21．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，4），B（﹣4，n）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，点E是边BC上一点（点E不与B，C重合），过点E作EF⊥DE交AB于点F，连接DF．
（1）当BE＝2时，求tan∠EDF的值；
（2）当AF＝EF时，求∠ADF的度数；
（3）若点F为AB的中点，求BE的长．

23．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求点M的坐标；
（2）点P为x轴上一点，且存在点P使得△PMC为直角三角形，求出点P的坐标．



参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣的倒数是（　　）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）解决此题．
解：∵﹣＝1，
∴﹣的倒数是﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
2．2022年，广东省外贸进出口总值再创新高，达到83100亿元，那么“83100”用科学记数法表示为（　　）
A．8.31×103 B．83.1×103 C．8.31×104 D．8.31×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：83100＝8.31×104．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
3．已知∠α＝62°，则∠α的余角为（　　）
A．28° B．38° C．118° D．138°
【分析】根据互余的两角之和为90°，即可得出答案．
解：∠α的余角＝90°﹣62°＝28°．
故选：A．
【点评】本题考查了余角的知识，解答本题需要用到：互余的两角之和为90°．
4．计算20的结果是（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【分析】根据零指数幂的定义解答即可．
解：根据零指数幂的定义可得：任何非零的数的零次幂为1，即20＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键．
5．一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a＝（　　）
A．0 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平均数的计算公式即可求出a．
解：由题意得，a＝3×5﹣4﹣2﹣5﹣1＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了平均数的概念．熟记公式是解决本题的关键．
6．如图是一个正八边形，则它（　　）

A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．
7．下列式子中，x＝2是它的解的是（　　）
A． B．x2﹣2x+1＝0 C．x＜0 D．
【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可．
解：A、∵将x＝2代入原方程，左边＝1＝右边，
∴A选项符合题意；
B、∵将x＝2代入原方程，左边＝4﹣4+1＝1≠右边，
∴B选项不符合题意；
C、∵x＝2不是不等式x＜0的解，
∴C选项不符合题意；
D、∵x＝2不是不等式组的解，
∴D选项不符合题意．
综上所述，A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了方程的解和不等式的解集．正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键．
8．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（　　）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3
【分析】根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论．
解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴函数有最大值，
∵函数图象的顶点坐标为（1，3），
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出函数的顶点坐标是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝4，∠A＝60°，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．
【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，连接AF，BC，设∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，则y与x的关系为（　　）

A．y＝x B．y＝2x C．y＝180﹣x D．y＝90﹣x
【分析】根据正方形的性质，利用“SAS”证明△APF≌△CPB，证得∠AFP＝∠PBC即可求得答案．
解：∵四边形APCD和四边形PBEF都是正方形，
∴∠APE＝∠CPB＝∠EBP＝90°，AP＝PC，PF＝PB，
∴∠CBE+CBP＝90°，
在△APF和△CPB中，
，
∴△APF≌△CPB（SAS），
∴∠AFP＝∠CBP，
∵∠CBE＝x°，∠AFP＝y°，
∴x+y＝90，
∴y＝90﹣x．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．cos30°＝　　．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
解：cos30°＝．
故答案为：．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单．
12．一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为 　　．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解：一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的4个小球，其中红球3个，白球1个，
从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
13．不等式：﹣x+1＞2的解集是 　x＜﹣1　．
【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
解：移项得：﹣x＞2﹣1，
合并得：﹣x＞1，
系数化为1得：x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　55°　．

【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB＝70°，根据三角形外角性质得到∠ACD＝110°，根据角平分线定义求解即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝110°，
∵CE平分△ABC的外角∠ACD，
∴∠1＝∠ACD＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
15．如图，扇形AOB的面积为15，半径OA＝OB＝5，则的长为 　6　．

【分析】设的长为a，根据扇形面积公式和弧长公式得出15＝5，再求出a即可．
解：设的长为a，
∵扇形AOB的面积为15，半径OA＝OB＝5，
∴15＝5，
解得：a＝6，
即的长是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了扇形的面积的和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键，扇形的圆心角为n°，半径为r，那么扇形的面积等于，扇形所对的弧的长度是．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16．先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+（2a﹣1）2，其中a＝1．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则按原式化简，把a的值代入计算得到答案．
解：原式＝a2﹣1+4a2﹣4a+1
＝5a2﹣4a，
当a＝1时，原式＝5×12﹣4×1＝1．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
17．解分式方程：．
【分析】方程两边都乘x﹣1得出x＝﹣1+3（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可．
解：，
方程两边都乘x﹣1，得x＝﹣1+3（x﹣1），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
所以x＝2是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
18．某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为20元/件，售价为30元/件；乙种商品进价为50元/件，售价为80元/件．现商场用13000元购进这两种商品并全部售出，两种商品的总利润为7500元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
【分析】设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据现商场用13000元购进这两种商品，销售完后获得总利润7500元，列二元一次方程组，求解即可．
解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件，
根据题意，得，
解得，
答：该商场购进甲种商品150件，乙种商品200件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图，⊙O的两条弦AB＝CD，分别连接AC，BD，交点为P．
（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，AB＝4，，求AC的长．

【分析】（1）首先根据圆周角定理证得∠A＝∠D，∠B＝∠C，再根据AB＝CD即可证明△APB≌△DPC；
（2）若BC为⊙O的直径，则∠A＝90°，根据，可设AP＝3x，PC＝5x，则由（1）可知BP＝5x，在Rt△ABP中根据勾股定理可求出x＝1，则AC＝AP+PC＝8．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，AB＝CD，
∴△APB≌△DPC（ASA）；
（2）解：如图，∵BC为⊙O的直径，
∴∠A＝90°，
∵，
∴设AP＝3x，PC＝5x，
∵△APB≌△DPC，
∴BP＝PC＝5x，
在Rt△ABP中，
根据勾股定理得：AP2+AB2＝BP2，
即（3x）2+42＝（5x）2，
解得x＝1或x＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴AP＝3，PC＝5，
∴AC＝AP+PC＝8，
即AC的长为8．

【点评】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
20．某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：A（80≤x＜85），B（85≤x＜90），C（90≤x＜95），D（95≤x≤100），其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在C组中的数据是90，91，92．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
42.4
九年级
90
C
100
37.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述a，b，c的值：a＝　40　，b＝　96　，c＝　91.5　；
（2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？
（3）若该校九年级共500人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生有多少人？

【分析】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
（3）利用样本估计总体即可．
解：（1）由题意可知，a%＝1﹣﹣10%﹣20%＝40%，故a＝40；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数b＝96；
九年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为91、92，故中位数为c＝＝91.5，
故答案为：40；96；91.5；
（2）九年级成绩相对更好，理由如下：
①九年级测试成绩的中位数和众数大于八年级；②九年级测试成绩的方差小于八年级；
（3）500×（1﹣20%﹣10%）＝350（人）．
答：估计竞赛成绩优秀（x≥90）的九年级学生大约有350人．
【点评】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
21．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，4），B（﹣4，n）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积．

【分析】（1）根据点A（m，4）和点B（﹣4，n）都在反比例函数的图象上即可求出m和n的值，进而利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC求解即可．
解：（1）∵点A（m，4）和点B（﹣4，n）都在反比例函数的图象上，
∴4m＝﹣4n＝4，
∴m＝1，n＝﹣1，
∴点A坐标为（1，4），点B坐标为（﹣4，﹣1），
把A、B的坐标代入y1＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+3；
（2）设直线AB交y轴于C，
当x＝0时，y＝x+3＝3，
∴C点坐标（0，3），
∴OC＝3．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，点E是边BC上一点（点E不与B，C重合），过点E作EF⊥DE交AB于点F，连接DF．
（1）当BE＝2时，求tan∠EDF的值；
（2）当AF＝EF时，求∠ADF的度数；
（3）若点F为AB的中点，求BE的长．

【分析】（1）利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
（2）利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质和平行线的性质解答即可；
（3）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质列出关于BE的比例式解答即可．
解：（1）∵EF⊥DE，
∴∠FED＝90°，
∴∠BEF+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，DA＝BC＝10，AB＝CD＝5，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠DEC，
∴△BEF∽△CDE，
∴．
∵EF⊥DE，
∴tan∠EDF＝；
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠FED＝90°，
在Rt△AFD和Rt△EFD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△EFD（HL），
∴DA＝DE＝10，∠ADF＝∠EDF．
在Rt△ECD中，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝30°．
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝30°，
∴∠ADF＝∠ADE＝15°；
（3）∵点F为AB的中点，
∴BF＝AB＝．
∵EF⊥DE，
∴∠FED＝90°，
∴∠BEF+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝∠DEC，
∴△BEF∽△CDE，
∴，
∴，
解得：BE＝．
∴BE的长为或．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求点M的坐标；
（2）点P为x轴上一点，且存在点P使得△PMC为直角三角形，求出点P的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3，化为顶点式即可得抛物线顶点M的坐标为（﹣2，1）；
（2）在y＝﹣x2﹣4x﹣3中，得C（0，﹣3），设P（m，0），故CP2＝m2+9，CM2＝20，PM2＝（m+2）2+1，分三种情况：①当CP为斜边时，m2+9＝20+（m+2）2+1，②当CM为斜边时，m2+9+（m+2）2+1＝20，③当PM为斜边时，m2+9+20＝（m+2）2+1，分别解方程可得答案．
解：（1）把A（﹣3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x+2）2+1，
∴抛物线顶点M的坐标为（﹣2，1）；
（2）在y＝﹣x2﹣4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设P（m，0），
又M（﹣2，1），
∴CP2＝m2+9，CM2＝20，PM2＝（m+2）2+1，
①当CP为斜边时，如图：

∴m2+9＝20+（m+2）2+1，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，0）；
②当CM为斜边时，如图：

∴m2+9+（m+2）2+1＝20，
解得m＝﹣3或m＝1，
∴P（﹣3，0）或（1，0）；
③当PM为斜边时，

m2+9+20＝（m+2）2+1，
解得m＝6，
∴P（6，0）；
综上所述，P的坐标为（﹣4，0）或（﹣3，0）或（1，0）或（6，0）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理逆定理列方程解决问题．