2023年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟卷（一）

这是一份2023年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟卷（一），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省榆林市榆阳区中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
2．如图，直线a∥b，且a，b被直线c所截．若∠1＝52°，则∠2的大小为（　　）

A．28° B．52° C．128° D．138°
3．计算：（﹣3x）•＝（　　）
A． B． C． D．x2y3
4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．ab＞0 C．a＞﹣b D．﹣a＞b
5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（　　）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接OA、OB，∠BAO＝70°，则∠D＝（　　）

A．40° B．60° C．45° D．30°
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
2
﹣1
﹣1
2
7
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③b2﹣4ac＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（5，y1），B（6，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．计算：﹣2﹣1＝　 　．
9．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为 　 　．

10．如图是用火柴棒拼出的一系列图形，第一个图形有4根火柴棒，第二个图形有7根火柴棒，第三个图形有10根火柴棒，按照这样的规律，第n个图形共有 　 　根火柴棒．

11．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可）

12．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点B在反比例函数的图象上，则m的值为 　 　．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4，点M在BC上，且BM＝1，点N是CD上一动点，则MN+ON的最小值为 　 　．

三、解答题（共14小题，计81分.解答应写出过程）
14．计算：．
15．解不等式组：．
16．解方程：．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图法，在△ABC的内部找一点P，使得点P到△ABC的三边距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，求证：∠ABD＝∠ACE．

19．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DFE关于点O成中心对称，△ABC与△DFE的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置；
（2）将FE绕点F顺时针旋转90°后得到FE'，求线段FE在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

21．近年来，西安的各个旅游景区纷纷结合自身特色推出了景区文旅演艺．“结伴成长”实践小组的同学为完成实践活动决定去观看关于古城西安的历史文化表演，他们各自要从A．梦回大唐，B．长恨歌，C．驼铃传奇，D．西安千古情这四个演出中随机选择一个，小组同学决定用转盘游戏来选择．如图，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D．（若指针落在分界线上，当作指向右边的扇形区域）
（1）若转动转盘20次，其中有6次指针落在A区域，求这20次指针落在A区域的频率；
（2）游戏规则：小组中每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就去观看相应的演出．请用树状图或列表法求小组中甲同学和乙同学观看不同演出的概率．

22．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对某公园的摩天轮的高度PQ进行测量，她先在D处竖立一根高1米的标杆CD，沿QD后退，恰好退到点B处看到标杆顶端C和摩天轮底端Q在一条直线上，继续后退又在E处测得摩天轮顶端P的仰角∠PEQ＝38.8°，小敏的眼睛到地面的距离AB＝1.6米，BD＝6米，EB＝21.5米，已知点E，B，D，Q在一条水平线上，AB⊥EQ，CD⊥EQ，PQ⊥EQ，求摩天轮的高PQ．（参考数据：tan38.8°≈0.80）

23．2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的关键之年，为稳步推进乡村建设，某地推广魔芋种植并邀请相关农业技术人员来指导当地居民种植，小林家种植魔芋，并利用魔芋开发出A，B两种产品，其售价和成本如表所示：
商品
A产品
B产品
成本（元/袋）
8
15
售价（元/袋）
12
20
（1）已知第一季度A，B两种产品共销售2000袋，获利9200元．求小林家第一季度销售A产品多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计第二季度还能由如表中的价格销售两种产品共3600袋，其中A产品的销售量不多于1000袋．假设第二季度，销售A产品为a袋，销售这两种产品获得总利润为w元，求出w与a之间的函数关系式，并求出第二季度，小林家销售这两种产品至少获得总利润多少元．
24．教育部日前印发《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》，方案提出，将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面．为弘扬雷锋精神，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“强国有我”“公共法律服务”“爱心送温暖”“青春护航”“绿色出行”五项，活动期间，随机抽取了部分学生，对其参加志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 　 　调查（选填“抽样”或“全面”），所调查学生参加活动项目数量的众数是 　 　，中位数是 　 　；
（2）求所调查学生参加活动项目数量的平均数；
（3）该校共有学生1200人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

25．如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．

26．如图，抛物线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l：y＝x+b经过点A，且直线l与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，分别与直线l交于点D、E，是否存在点P，使得△PDE与△OCA相似，且△PDE与△OCA的相似比为2：1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

27．问题探究
（1）将一副直角三角尺按图①所示的方式摆放，使这两个直角三角尺的直角顶点重合在点O处．则∠AOC和∠BOD的关系是 　 　；（选填“互补”或“互余”）
（2）如图②，在△ABC中，点A到BC的距离等于2BC，∠B＝45°，AC＝，求△ABC的面积；
问题解决
（3）如图③，有一个平面图形为四边形ABCD的庭院，其中CD＝6米，BC＝2AD＝36米，CD⊥BC，∠ADC＝150°．现设计者要在庭院中修建一个亭子P，并分别从四个顶点向亭子P处铺四条石板路，把四边形ABCD分成四个小三角形．根据设计要求△APD是等边三角形，在△PAB区域修建一个小型池塘，其余区域种植花卉或景观绿植．请你帮助设计者算出小型池塘△PAB的面积．



参考答案
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．如图，直线a∥b，且a，b被直线c所截．若∠1＝52°，则∠2的大小为（　　）

A．28° B．52° C．128° D．138°
【分析】先根据平行线的性质得出∠3的度数，进而可得出结论．
解：∵直线a∥b，∠1＝52°，
∴∠3＝∠1＝52°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．
故选：C．

【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
3．计算：（﹣3x）•＝（　　）
A． B． C． D．x2y3
【分析】根据单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，即可得出答案．
解：原式＝﹣x3y2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．ab＞0 C．a＞﹣b D．﹣a＞b
【分析】根据图示，可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．
解：根据图示，可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，
∴选项A不符合题意；

∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴选项B不符合题意；

∵0＜b＜1，
∴﹣1＜﹣b＜0，
又∵﹣2＜a＜﹣1，
∴a＜﹣b，
∴选项C不符合题意；

∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，
又∵0＜b＜1，
∴﹣a＞b
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（　　）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
【分析】直接根据平面直角坐标系中，点关于y轴对称的特点得出答案．
解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知点关于y轴对称的特点是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，连接OA、OB，∠BAO＝70°，则∠D＝（　　）

A．40° B．60° C．45° D．30°
【分析】连接OC，由圆周角定理得到∠D＝∠AOC，由圆心角，弧，弦的关系得到∠AOB＝∠AOC，于是得到∠D＝∠AOB，即可得到答案．
解：连接OC，

∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∵∠D＝∠AOC，
∴∠D＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠D＝∠AOB＝40°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，涉及到圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键．
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
2
﹣1
﹣1
2
7
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③b2﹣4ac＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（5，y1），B（6，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线经过（0，﹣1），（2，﹣1）可得抛物线的对称轴，由x＞2时，y随x的增大而增大可得抛物线开口方向，由抛物线经过（2，﹣1），（3，2）及抛物线的对称性可得抛物线与x轴的交点个数，由抛物线经过（﹣1，2），（3，2）可判断抛物线与x轴的交点距离小于4，进而求解．
解：∵抛物线经过（0，﹣1），（2，﹣1），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，②正确．
由表格可得x＞2时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，①正确．
由抛物线经过（2，﹣1），（3，2）及抛物线的对称性可得抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，③正确．
∵（﹣1，2），（3，2）在抛物线上且距离为4，
∴抛物线与x轴的两个交点间的距离小于4，④不正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，
∵5＜6，
∴y1＜y2，⑤不正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8．计算：﹣2﹣1＝　1　．
【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解：﹣2﹣1
＝2﹣
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算．
9．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为 　6　．

【分析】连接OA、OB，根据正多边形和圆的关系可判断出△OAB为等边三角形，过点O作OM⊥AB于点M，再利用勾股定理即可求出OM长，进而可求出△AOB的面积，最后利用⊙O的面积约为6S△AOB即可计算出结果．
解：如图，连接OA、OB，
由题意可得：∠AOB＝360÷6＝60°，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝2，
过点O作OM⊥AB于点M，则AM＝BM＝1，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴S△AOB＝，
∴⊙O的面积约为：6S△AOB＝6．
故答案为：6．

【点评】本题主要考查正多边形与圆、等边三角形的性质、直角三角形的性质等，正确应用正六边形的性质是解题关键．
10．如图是用火柴棒拼出的一系列图形，第一个图形有4根火柴棒，第二个图形有7根火柴棒，第三个图形有10根火柴棒，按照这样的规律，第n个图形共有 　（3n+1）　根火柴棒．

【分析】先找出前三个图形中的火柴棒的数数方法，找出规律．
解：第一个图形有1+3＝4根火柴棒，
第二个图形有1+2×3＝7根火柴棒，
第三个图形有1+3×3＝10根火柴棒，
……
第n个图形共有 （3n+1）根火柴棒，
故答案为：（3n+1）．
【点评】本题考查了图形的变换类，找到变化规律是解题的关键．
11．如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 　AB＝AD（答案不唯一）　．（写出一个即可）

【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．
解：这个条件可以是 AB＝AD，理由如下：
由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABED是菱形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平移的性质是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在反比例函数的图象上，点A关于x轴的对称点B在反比例函数的图象上，则m的值为 　﹣8　．
【分析】把A（a，2）代入，可求得A（4，2），根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B（4，﹣2），然后再把B点坐标代入y＝可得m的值．
解：∵点A（a，2）在反比例函数的图象上，
∴2＝，
解得：a＝4，
∴A（4，2），
∵点A与点B关于x轴对称，
∴B（4，﹣2），
∵点B在反比例函数的图象上，
∴﹣2＝，
解得：m＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，AB＝4，点M在BC上，且BM＝1，点N是CD上一动点，则MN+ON的最小值为 　　．

【分析】作O关于CD的对称点E，连接EM交CD于N，则此时，MN+ON的值最小，且MN+ON的最小值为EM的长，过点E作EF⊥BC于F，根据勾股定理即可得到结论．
解：作O关于CD的对称点E，OE与CD交于G，
连接EM交CD于N，
则此时，MN+ON的值最小，且MN+ON的最小值为EM的长，
过点E作EF⊥BC于F，
则∠OGC＝∠F＝∠GCF＝90°，
∴四边形GEFC是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，AC⊥BD，
∴OG＝CG，
∴四边形GEFC是正方形，
∴EF＝CF＝CG＝CD＝2，
∵BM＝1，
∴CM＝3，
∴MF＝5，
∴ME＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，正方形的性质，正确地直线辅助线是解题的关键．
三、解答题（共14小题，计81分.解答应写出过程）
14．计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣2×2+﹣1
＝﹣4+﹣1
＝﹣5+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：，
由①得：x≤6，
由②得：x＜﹣，
则不等式组的解集为x．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．解方程：．
【分析】方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得出x﹣3+（x+3）（x﹣3）＝（x﹣1）（x+3），求出方程的解，再进行检验即可．
解：，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3），得x﹣3+（x+3）（x﹣3）＝（x﹣1）（x+3），
解得：x＝﹣9，
检验：当x＝﹣9时，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣9是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣9．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图法，在△ABC的内部找一点P，使得点P到△ABC的三边距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作∠ABC的角平分线BE交AD于点P，点P即为所求．
解：如图，点P即为所求．
理由：三角形的角平分线的交点到三边距离相等．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，求证：∠ABD＝∠ACE．

【分析】根据SAS证明△ABD≌△ACE即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
【分析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DFE关于点O成中心对称，△ABC与△DFE的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
（1）在图中画出点O的位置；
（2）将FE绕点F顺时针旋转90°后得到FE'，求线段FE在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接AD，BF，CE，交点即为点O．
（2）利用扇形面积公式计算即可．
解：（1）如图，点O即为所求.
（2）由勾股定理得，EF＝＝，
∴线段FE在旋转过程中扫过的面积为＝．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、扇形面积公式，熟练掌握中心对称的性质以及扇形面积公式是解答本题的关键．
21．近年来，西安的各个旅游景区纷纷结合自身特色推出了景区文旅演艺．“结伴成长”实践小组的同学为完成实践活动决定去观看关于古城西安的历史文化表演，他们各自要从A．梦回大唐，B．长恨歌，C．驼铃传奇，D．西安千古情这四个演出中随机选择一个，小组同学决定用转盘游戏来选择．如图，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D．（若指针落在分界线上，当作指向右边的扇形区域）
（1）若转动转盘20次，其中有6次指针落在A区域，求这20次指针落在A区域的频率；
（2）游戏规则：小组中每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就去观看相应的演出．请用树状图或列表法求小组中甲同学和乙同学观看不同演出的概率．

【分析】（1）直接利用频率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和小组中甲同学和乙同学观看不同演出的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）这20次指针落在A区域的频率为＝＝0.3．
（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小组中甲同学和乙同学观看不同演出的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12种，
∴小组中甲同学和乙同学观看不同演出的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对某公园的摩天轮的高度PQ进行测量，她先在D处竖立一根高1米的标杆CD，沿QD后退，恰好退到点B处看到标杆顶端C和摩天轮底端Q在一条直线上，继续后退又在E处测得摩天轮顶端P的仰角∠PEQ＝38.8°，小敏的眼睛到地面的距离AB＝1.6米，BD＝6米，EB＝21.5米，已知点E，B，D，Q在一条水平线上，AB⊥EQ，CD⊥EQ，PQ⊥EQ，求摩天轮的高PQ．（参考数据：tan38.8°≈0.80）

【分析】根据垂直定义可得∠ABQ＝∠CDQ＝∠PQE＝90°，然后证明A字模型相似三角形△ABQ∽△CDQ，从而利用相似三角形的性质求出BQ的长，进而可求出EQ的长，最后在Rt△EPQ中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
解：∵AB⊥EQ，CD⊥EQ，PQ⊥EQ，
∴∠ABQ＝∠CDQ＝∠PQE＝90°，
∵∠CQD＝∠AQB，
∴△ABQ∽△CDQ，
∴＝，
∴＝，
解得：BQ＝16米，
∵EB＝21.5米，
∴EQ＝EB+BQ＝37.5（米），
在Rt△EPQ中，∠PEQ＝38.8°，
∴PQ＝EQ•tan38.8°≈37.5×0.8＝30（米），
∴摩天轮的高PQ约为30米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．2023年是全面贯彻落实党的二十大精神的开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的关键之年，为稳步推进乡村建设，某地推广魔芋种植并邀请相关农业技术人员来指导当地居民种植，小林家种植魔芋，并利用魔芋开发出A，B两种产品，其售价和成本如表所示：
商品
A产品
B产品
成本（元/袋）
8
15
售价（元/袋）
12
20
（1）已知第一季度A，B两种产品共销售2000袋，获利9200元．求小林家第一季度销售A产品多少袋；
（2）根据之前的销售情况，估计第二季度还能由如表中的价格销售两种产品共3600袋，其中A产品的销售量不多于1000袋．假设第二季度，销售A产品为a袋，销售这两种产品获得总利润为w元，求出w与a之间的函数关系式，并求出第二季度，小林家销售这两种产品至少获得总利润多少元．
【分析】（1）设小林家第一季度销售A产品x袋，根据获利9200元列方程可解得答案；
（2）列出函数关系式，再根据一次函数性质可得答案．
解：（1）设小林家第一季度销售A产品x袋，
根据题意得：（12﹣8）x+（20﹣15）（2000﹣x）＝9200，
解得x＝800，
∴小林家第一季度销售A产品800袋；
（2）根据题意得：
w＝（12﹣8）a+（20﹣15）（3600﹣a）＝﹣a+18000，
∵A产品的销售量不多于1000袋，
∴a≤1000，
∴当a＝1000时，w取最小值，最小值为﹣1000+18000＝17000（元），
答：w与a之间的函数关系式为w＝﹣a+18000，第二季度，小林家销售这两种产品至少获得总利润17000元．
【点评】本题考查一次函数，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
24．教育部日前印发《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》，方案提出，将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面．为弘扬雷锋精神，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“强国有我”“公共法律服务”“爱心送温暖”“青春护航”“绿色出行”五项，活动期间，随机抽取了部分学生，对其参加志愿者服务情况进行调查．结果发现，被调查的每名学生最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是 　抽样　调查（选填“抽样”或“全面”），所调查学生参加活动项目数量的众数是 　4　，中位数是 　3　；
（2）求所调查学生参加活动项目数量的平均数；
（3）该校共有学生1200人，估计其中参与了4项或5项活动的学生共有多少人？

【分析】（1）分别根据抽样调查的定义，众数的定义以及中位数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数的计算方法解答即可；
（3）用1200乘样本中与了4项或5项活动的学生所占百分比即可．
解：（1）由题意可知，本次调查是抽样调查；
所调查学生参加活动项目数量的众数是4；
中位数是3；
故答案为：抽样；4；3；
（2）＝3.3（项），
答：所调查学生参加活动项目数量的平均数为3.3；
（3）1200×＝552（人）．
答：估计参与了4项或5项活动的学生大约有552人．
【点评】本题主要考查折线统计图、扇形统计图、用样本估计总体，根据折线统计图和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．
25．如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．

【分析】（1）连接OC、PC，根据圆周角定理得到∠BCP＝90°，根据直角三角形的性质推出∠BCE＝∠P，结合题意及等腰三角形的性质推出∠ACB＝∠PCO，等量代换求出∠ACO＝90°，则AC⊥OC，根据切线的判定定理即可得解；
（2）根据垂径定理推出CE＝2CD，设OD＝x，则OC＝1+x，根据勾股定理求出CD2＝OC2﹣OD2＝2x+1，CB2＝CB2＝2x+2，AC2＝2x+17，OA2＝AC2+OC2，进而求出x＝，即OD＝，CD2＝2，CD＝，据此求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC、PC，

∵BP为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠CBP+∠P＝90°，
∵CE⊥BO交BO于点D，
∴∠BCE+∠CBP＝90°，
∴∠BCE＝∠P，
∵OC＝OP，
∴∠P＝∠PCO，
∵∠ACB＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠PCO，
∵∠BCO+∠PCO＝90°，
∴∠ACB+∠BCO＝∠ACO＝90°，
∴AC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：∵CE⊥BO，
∴CE＝2CD，
设OD＝x，则OC＝OB＝BD+OD＝1+x，
在Rt△CDO中，CD2＝OC2﹣OD2＝（1+x）2﹣x2＝2x+1，
在Rt△CDB中，CB2＝CD2+BD2，
∴CB2＝2x+1+12＝2x+2，
在Rt△CDA中，AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝2x+1+（3+1）2＝2x+17，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴（x+4）2＝2x+17+（1+x）2，
∴x＝，
即OD＝，
∴CD2＝2×+1＝2，
∴CD＝或CD＝﹣（舍去），
∴CE＝2CD＝2．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、圆周角定理，熟记切线的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．
26．如图，抛物线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l：y＝x+b经过点A，且直线l与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P是抛物线上的动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，分别与直线l交于点D、E，是否存在点P，使得△PDE与△OCA相似，且△PDE与△OCA的相似比为2：1，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+x+3，令x＝0可得点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式，令y＝0，即可解决问题；
（2）证明△PDE∽△OAC，由△PDE与△OAC的相似比为2：1得＝2，设P（m，﹣m2+m+3），则PD＝|m+1+m2﹣m﹣3|＝2，解方程即可解决问题．
解：（1）抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0得，0＝﹣x2+x+3，
解得x1＝3，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0）、B（3，0），
将A（﹣2，0）代入直线l：y＝x+b得×（﹣2）+b＝0，
∴b＝1，
∴直线l：y＝x+1，
令x＝0，得y＝1，
∴点C（0，1）；
（2）如图，

∵PE⊥y轴，
∴PE∥x轴，
∴∠PED＝∠OAC，
∵PE⊥y轴，PD⊥x轴，
∴PD⊥PE，
∴∠EPD＝∠AOC＝90°，
∴△PDE∽△OAC，
∵△PDE与△OAC的相似比为2：1，
∴＝2，
设P（m，﹣m2+m+3），则D（m，m+1），
∴PD＝|m+1+m2﹣m﹣3|＝|m2﹣2|＝2，
解得m＝±2或0，
∴存在，点P的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，﹣﹣1）或（0，3）．
【点评】此题属于二次函数综合题，考查了坐标与图形性质，抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
27．问题探究
（1）将一副直角三角尺按图①所示的方式摆放，使这两个直角三角尺的直角顶点重合在点O处．则∠AOC和∠BOD的关系是 　互补　；（选填“互补”或“互余”）
（2）如图②，在△ABC中，点A到BC的距离等于2BC，∠B＝45°，AC＝，求△ABC的面积；
问题解决
（3）如图③，有一个平面图形为四边形ABCD的庭院，其中CD＝6米，BC＝2AD＝36米，CD⊥BC，∠ADC＝150°．现设计者要在庭院中修建一个亭子P，并分别从四个顶点向亭子P处铺四条石板路，把四边形ABCD分成四个小三角形．根据设计要求△APD是等边三角形，在△PAB区域修建一个小型池塘，其余区域种植花卉或景观绿植．请你帮助设计者算出小型池塘△PAB的面积．

【分析】（1）根据周角的定义和补角的定义即可得到结论；（2）图②，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据等腰直角三角形的性质得到AD＝BD，求得CD＝BC，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（3）如图③过P作PE⊥BC于E，延长BP交AD于H，根据等边三角形的性质得到AD＝AP＝PD＝18米，∠ADP＝60°，求得∠PDC＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠DPC＝30°，求得PC＝2CD＝12米，根据平行线的性质得到∠PCB＝∠CPD＝30°，求得PE＝PC＝6（米），CE＝PC＝18（米），根据等腰三角形的性质得到∠PBC＝∠BCP＝30°，根据平行线的性质得到∠DPB+∠PBC＝180°，求得∠BPD＝150°，根据补角的定义得到∠HPD＝30°，根据等边三角形的性质得到AH＝AD＝6（米），根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠AOC和∠BOD的关系是互补；
故答案为：互补；
（2）图②，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，

∴∠D＝90°，
∵点A到BC的距离等于2BC，
∴AD＝2BC，
∵∠B＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∴CD＝BC，
∵AC＝，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴（2CD）2+CD2＝5，
∴CD＝1（负值舍去），
∴AD＝2，BC＝1，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝＝1；
（3）如图③过P作PE⊥BC于E，延长BP交AD于H，

∵△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD＝18米，∠ADP＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠PDC＝90°，
∵CD＝6米，
∴tan∠CPD＝，
∴∠DPC＝30°，
∴PC＝2CD＝12米，
∵PD∥BC，
∴∠PCB＝∠CPD＝30°，
∴PE＝PC＝6（米），CE＝PC＝18（米），
∵BC＝36米，
∴BE＝BC﹣CE＝18（米），
∴BE＝CE，
∴米，
∴∠PBC＝∠BCP＝30°，
∵PD∥BC，
∴∠DPB+∠PBC＝180°，
∴∠BPD＝150°，
∴∠HPD＝30°，
∴∠PHD＝90°，
∴BH⊥AD，
∴AH＝AD＝6（米），
∴△PAB的面积＝PB•AH＝×＝36（米），
答：小型池塘△PAB的面积为36米．
【点评】本题是四边形综合题，考查了余角与补角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形 到现在，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．