2023年云南省昆明市中考数学诊断试卷（3月份）

这是一份2023年云南省昆明市中考数学诊断试卷（3月份），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年云南省昆明市中考数学诊断试卷（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平均气温为零上9℃，记作+9℃，山顶平均气温为零下1℃，记作（　　）
A．﹣1℃ B．+1℃ C．﹣9℃ D．+9℃
2．2023年2月25日，曲靖罗平花海马拉松鸣枪开跑，约有11000名海内外专业运动员和马拉松爱好者齐聚罗平，在奔跑中畅游最美花海赛道，共赴春日之约，数据11000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.11×105 B．1.1×104 C．11×103 D．110×102
3．在如图所示的几何体中，三视图都是正方形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠BAC＝90°，∠CAE＝50°，则∠B的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
5．下列运算正确的是（　　）
A．＝2 B．|﹣2023|＝2023
C．2a6÷2a3＝a2 D．（﹣ab3）2＝﹣a2b6
6．若有意义，则实数x的取值范围为（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠0 D．x≥﹣2且x≠0
7．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．按一定规律排列的单项式：2a，4a2，8a3，16a4，32a5，…，第n个单项式是（　　）
A．2nan B．2nan C．2nan+1 D．2nan+1
9．丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（　　）

A．扇形统计图中的a为40%
B．本次抽样调查的样本容量是1000
C．在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为36°
D．在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为400人
10．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．如图，在矩形ABCD中，若AB＝6，AC＝10，AE＝2，则＝（　　）

A． B． C． D．
12．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用A，B两种机器人来搬运建筑材料，其中A型机器人每小时搬运的建筑材料是B型机器人每小时搬运的建筑材料的2倍，A型机器人搬运1200kg所用时间比B型机器人搬运1000kg所用时间少1小时，设B型机器人每小时搬运建筑材料xkg，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则k＝　 　．
14．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 　 　．

15．分解因式：x2y﹣y＝　 　．
16．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是4cm，其中水面高2cm，则截面上有水部分（即阴影部分）的面积为 　 　．（单位：cm2，计算结果保留π）

三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算：．
18．如图，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，∠A＝∠DCF．求证：△AEF≌△CDF．

19．4月23日是“世界读书日”，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为确定合理的学生每周课余阅读时间的完成目标，学校随机抽取了20名学生每周阅读时间（单位：分钟）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
30 60 82 40 50 110 130 152 60 100
90 82 120 100 70 82 10 20 130 82
【数据整理】
将收集的20个数据按以下四组进行整理（阅读时间用t表示）：
0≤t＜40，40≤t＜80，80≤t＜120，120≤t＜160
并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图：
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
阅读时间
80
m
n
请根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出：m＝　 　，n＝　 　；并补全频数分布直方图；
（2）如果学校将完成目标确定为每周不少于82分钟，该校有800名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？若超过半数的人能达到目标即为合理，请从平均数，众数，中位数中选择合适的统计量，评判学校确定的这个目标合理吗？请说明理由．

20．中国古代的印刷术、造纸术、火药和指南针是对世界具有很大影响的“四大发明”，它是中国古代创新的智慧成果，为了增强学生对四大发明的了解，某兴趣小组收集到了四大发明的相关知识，并制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（卡片除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌子上．

（1）从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为　 　；
（2）从这四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两次取出的卡片都相同的概率．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，连接DE，BE，∠BED＝∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，sin∠BED＝，求BC的长．

22．扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价
类别
成本价（元/件）
销售价（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料m件，第二次销售完后获得的利润为W元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF﹣BF＝EF．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，
再由垂直和平行可知∠AED＝∠AFB＝90°，
再利用同角的余角相等得到∠ADE＝∠BAF，
则可根据“AAS”判定△ADE≌△BAF，
得到AE＝BF，所以AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的点，BF∥DE，连接BE，DF．
求证：四边形BEDF是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形ABCD的边长为12，E是对角线AC上的一点，过点E作EG⊥DE，交边BC于点G，连接DG，交对角线AC于点F，CF：EF＝3：5，求FG•DF的值．

24．已知二次函数解析式为y＝x2﹣bx+2b﹣3．
（1）当抛物线经过点（1，2）和点（m，n）时，等式m2﹣4m﹣n＝﹣5是否成立？并说明理由；
（2）已知点P（4，5）和点Q（﹣1，﹣5），且线段PQ与抛物线只有一个交点，求b的取值范围．


参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平均气温为零上9℃，记作+9℃，山顶平均气温为零下1℃，记作（　　）
A．﹣1℃ B．+1℃ C．﹣9℃ D．+9℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
解：“正”和“负”相对，
∴如果零上9℃记作+9℃，
那么零下1℃记作﹣1℃．
故选：A．
【点评】本题考查正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．2023年2月25日，曲靖罗平花海马拉松鸣枪开跑，约有11000名海内外专业运动员和马拉松爱好者齐聚罗平，在奔跑中畅游最美花海赛道，共赴春日之约，数据11000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.11×105 B．1.1×104 C．11×103 D．110×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：11000＝1.1×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．在如图所示的几何体中，三视图都是正方形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依题意，一个几何体的三视图都是正方形，则只有正方体符合条件．
解：三视图均为正方形的几何体是正方体．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，主要考查学生空间想象能力及对几何体的认识．
4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠BAC＝90°，∠CAE＝50°，则∠B的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】根据平角的定义和平行线的性质解答即可．
解：∵∠BAC＝90°，∠CAE＝50°，
∴∠DAB＝180°﹣∠BAC﹣∠CAE＝180°﹣90°﹣50°＝40°．
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DAB＝40°．
故选：C．
【点评】本题重点考查了平行线的性质及平角的定义，熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等是解题的关键．
5．下列运算正确的是（　　）
A．＝2 B．|﹣2023|＝2023
C．2a6÷2a3＝a2 D．（﹣ab3）2＝﹣a2b6
【分析】根据立方根的定义判断A；
根据绝对值的性质判断B；
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减判断C；
根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘判断D．
解：A、原式＝﹣2，故选项A不符合题意；
B、原式＝2023，故选项B符合题意；
C、2a6÷2a3＝a3，故选项C不符合题意；
D、（﹣ab3）2＝a2b6，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查立方根绝对值，同底数幂的除法，积的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
6．若有意义，则实数x的取值范围为（　　）
A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠0 D．x≥﹣2且x≠0
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：由题意得，x+2≥0且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
7．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】多边形的外角和等于360°，因为正多边形的每个外角均相等，故多边形的外角和又可表示成60°n，列方程可求解．
解：设所求正n边形边数为n，
则60°•n＝360°，
解得n＝6．
故正多边形的边数是6．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角和求正多边形的边数．解题的关键是能够根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算．
8．按一定规律排列的单项式：2a，4a2，8a3，16a4，32a5，…，第n个单项式是（　　）
A．2nan B．2nan C．2nan+1 D．2nan+1
【分析】分别从系数，字母的指数两个方面进行找规律．
解：2a，4a2，8a3，16a4，32a5，…，2nan，
∴第n个为：2nan；
故选：B．
【点评】本题考查了数字的变换类，找到变换规律是解题的关键．
9．丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行了随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（　　）

A．扇形统计图中的a为40%
B．本次抽样调查的样本容量是1000
C．在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为36°
D．在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为400人
【分析】根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用360°乘10%可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择自驾方式出行的人数．
解：A．扇形统计图中的a为：1﹣50%﹣10%＝40%，故本选项不符合题意；
B．本次抽样调查的样本容量是：100÷10%＝1000，故本选项不符合题意；
C．在扇形统计图中，“其他”对应的圆心角度数为：360°×10%＝36°，故本选项不符合题意；
D．在条形统计图中，选择自驾方式出行的人数为：1000×50%＝500（人），故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
10．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由x2﹣2x+1＝0，得x2﹣2x＝﹣1，再代入x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2．
解：∵x2﹣2x+1＝0，
∴x2﹣2x＝﹣1．
∴x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查整体的思想，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则解决此题．
11．如图，在矩形ABCD中，若AB＝6，AC＝10，AE＝2，则＝（　　）

A． B． C． D．
【分析】由勾股定理可求BC的长，通过证明△AEF∽△CBF，可求解．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AB＝6，AC＝10，
∴BC＝＝＝8，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
12．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在建设比赛场馆期间，某施工方使用A，B两种机器人来搬运建筑材料，其中A型机器人每小时搬运的建筑材料是B型机器人每小时搬运的建筑材料的2倍，A型机器人搬运1200kg所用时间比B型机器人搬运1000kg所用时间少1小时，设B型机器人每小时搬运建筑材料xkg，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据A型机器人搬运1200kg所用时间比B型机器人搬运1000kg所用时间少1小时得出等式，进而得出答案．
解：设B型机器人每小时搬运建筑材料xkg，则A型机器人每小时搬运的建筑材料2xkg，根据题意可得：
﹣＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则k＝　﹣6　．
【分析】把点的坐标代入求解即可．
解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），
∴＝3，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，把点的坐标代入函数表达式进行计算即可，比较简单．
14．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为 　3　．

【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF＝BC，根据平行线的性质得到∠EFB＝∠FBC，进而得出∠EFB＝∠ABF，得到BE＝EF＝3．
解：∴E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6，
∴EF∥BC，EF＝BC＝×6＝3，
∴∠EFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴∠EFB＝∠ABF，
∴BE＝EF＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．分解因式：x2y﹣y＝　y（x+1）（x﹣1）　．
【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x2y﹣y
＝y（x2﹣1）
＝y（x+1）（x﹣1）．
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
16．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是4cm，其中水面高2cm，则截面上有水部分（即阴影部分）的面积为 　π−4　．（单位：cm2，计算结果保留π）

【分析】连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，根据水面的高为2cm可求出OE的长，在Rt△AOE中利用三角函数的定义可求出∠AOE的度数，由垂径定理可知，∠AOE＝∠BOE，进而可求出∠AOB的度数，根据扇形及三角形的面积可求出弓形的面积．
解：连接OA、OB，过O作OD⊥AB，交AB于点E，

∵OD＝4cm，DE＝2cm，
∴OE＝OD﹣DE＝4﹣2＝2（cm），
∴OA＝2OE，
∴∠OAE＝30°，
∴∠AOD＝60°，AE＝BE＝（cm），
∴∠AOB＝2∠AOD＝2×60°＝120°，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣＝（）（cm2）．
故答案为：π−4．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．计算：．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝﹣1+3+1﹣+
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．如图，E是AB上一点，AC与DE相交于点F，F是AC的中点，∠A＝∠DCF．求证：△AEF≌△CDF．

【分析】利用ASA即可证明△AEF≌△CDF．
【解答】证明：∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（ASA）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．4月23日是“世界读书日”，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为确定合理的学生每周课余阅读时间的完成目标，学校随机抽取了20名学生每周阅读时间（单位：分钟）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：
【数据收集】
30 60 82 40 50 110 130 152 60 100
90 82 120 100 70 82 10 20 130 82
【数据整理】
将收集的20个数据按以下四组进行整理（阅读时间用t表示）：
0≤t＜40，40≤t＜80，80≤t＜120，120≤t＜160
并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图：
【数据分析】
统计量
平均数
众数
中位数
阅读时间
80
m
n
请根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出：m＝　82　，n＝　82　；并补全频数分布直方图；
（2）如果学校将完成目标确定为每周不少于82分钟，该校有800名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？若超过半数的人能达到目标即为合理，请从平均数，众数，中位数中选择合适的统计量，评判学校确定的这个目标合理吗？请说明理由．

【分析】（1）先将数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）用总人数乘以样本中每周阅读时间不少于82分钟的学生数所占比例即可得，根据中位数的意义可得答案．
解：（1）将这组数据重新排列为
10、20、30、40、50、60、60、70、82、82、
82、82、90、100、100、110、120、130、130、152，
所以这组数据的众数m＝82，中位数为＝82，
补全频数分布直方图如下：
；
故答案为：82，82；
（2）估计完成这个目标的人数为800×＝480（人），
学校确定的这个目标合理，
从中位数和众数看，超过一半的学生超过82分，
所以学校确定的这个目标合理．
【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．
20．中国古代的印刷术、造纸术、火药和指南针是对世界具有很大影响的“四大发明”，它是中国古代创新的智慧成果，为了增强学生对四大发明的了解，某兴趣小组收集到了四大发明的相关知识，并制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（卡片除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌子上．

（1）从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为　　；
（2）从这四张卡片中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两次取出的卡片都相同的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“造纸术”的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：

A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
由表知，共有16种等可能结果，其中两次取出的卡片都相同的有4种结果，
所以两次取出的卡片都相同的概率为＝．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在⊙O上，连接DE，BE，∠BED＝∠CBD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，sin∠BED＝，求BC的长．

【分析】（1）由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，由∠BED＝∠CBD＝∠BAD，得∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝∠BAD+∠ABD＝90°，即可证明BC是⊙O的切线．
（2）由∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BED＝∠CBD，得＝sin∠BAD＝sin∠BED＝，设BD＝3m，则AB＝5m，AD＝＝4m，所以4m＝4，则m＝1，所以BD＝3，由＝sin∠CBD＝sin∠BED＝，得CD＝BC，则32+（BC）2＝BC2，即可求得BC＝．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BED＝∠CBD，∠BED＝∠BAD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BED＝∠CBD，
∴＝sin∠BAD＝sin∠BED＝，
设BD＝3m，则AB＝5m，
∴AD＝＝＝4m，
∴4m＝4，解得m＝1，
∴BD＝3，
∵∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴＝sin∠CBD＝sin∠BED＝，
∴CD＝BC，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴32+（BC）2＝BC2，
∴BC＝或BC＝﹣（不符合题意，舍去），
∴BC的长是．
【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明∠BAD＝∠BED＝∠CBD是解题的关键．
22．扎染文化是我国传统文化的重要组成部分，扎染文化的发展带动了旅游相关产业的发展，电视剧《去有风的地方》的热映不仅推动了云南大理旅游业的热潮，也增进了人们对扎染文化的了解，云南大理某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价
类别
成本价（元/件）
销售价（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料，设第二次购进甲种布料m件，第二次销售完后获得的利润为W元，试问第二次以何种进货方案，才能使第二次销售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设该扎染坊第一次购进甲布料x件，乙布料（80﹣x）件，根据甲、乙布料的费用之和＝3700列出方程，解方程即可；
（2）根据销售甲、乙两种布料的利润之和＝总利润列出函数解析式，再根据甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍求出m的取值范围，由函数的性质求最值．
解：（1）设该扎染坊第一次购进甲布料x件，乙布料（80﹣x）件，
根据题意得：60x+40（80﹣x）＝3700，
解得x＝25，
80﹣x＝80﹣25＝55（件），
答：该扎染坊第一次购进甲布料25件，乙布料55件；
（2）设第二次购进甲种布料m件，乙布料（100﹣m）件，
根据题意得：W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝40m+3000﹣30m＝10m+3000，
∵甲种布料的数量不超过乙种布料的数量的1.5倍，
∴m≤1.5（100﹣m），
解得m≤60，
∵10＞0，
∴当m＝60时，W最大，最大值为3600，
此时100﹣60＝40（件）．
答：第二次购进甲布料60件，乙布料40件，才能使第二次销售完后获得的利润最大，最大利润是3600元．
【点评】本题考查一次函数的应用和一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
23．综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，求证：AF﹣BF＝EF．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到AB＝AD，∠BAD＝90°，
再由垂直和平行可知∠AED＝∠AFB＝90°，
再利用同角的余角相等得到∠ADE＝∠BAF，
则可根据“AAS”判定△ADE≌△BAF，
得到AE＝BF，所以AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E，F是对角线AC上的点，BF∥DE，连接BE，DF．
求证：四边形BEDF是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形ABCD的边长为12，E是对角线AC上的一点，过点E作EG⊥DE，交边BC于点G，连接DG，交对角线AC于点F，CF：EF＝3：5，求FG•DF的值．

【分析】（1）利用AAS证明△ADE≌△CBF，得DE＝BF，从而得出四边形DEBF是平行四边形，再利用SAS证明△ABE≌△ADE，得BE＝DE，则▱DEBF是菱形；
（2）把△AED绕点D逆时针旋转90°点得到△CHD，连接FH，根据∠DEG＝∠BCD＝90°，知以DG为直径作圆，则点C，D，E，G均在此圆上，则∠EDG＝45°，根据半角模型知△EDF≌△HDF（SAS），得EF＝HF，设CF＝3a，则EF＝HF＝5a，则AE＝4a，进而解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAC＝∠ACB＝45°，
∵BF∥DE，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AED＝∠BFC，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠DAE＝∠BAE＝45°，AD＝AB，AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴▱DEBF是菱形；
（2）解：如图，把△AED绕点D逆时针旋转90°点得到△CHD，连接FH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝∠DAC＝45°，
∵EG⊥DE，
∴∠DEG＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴以DG为直径作圆，则点C，D，E，G均在此圆上，
∴∠EGD＝∠ACD＝45°，
∴∠EDG＝45°，
由旋转得，DE＝DH，AE＝CH，∠DAC＝∠DCH＝45°，
∵∠EDG＝45°，
∴∠HDF＝45°，
∴∠EDG＝∠HDF，
∴∠EDF＝∠HDF，
在△EDF与△HDF中，
，
∴△EDF≌△HDF（SAS），
∴EF＝HF，
∵∠ACD＝45°，∠DCH＝45°，
∴∠FCH＝90°，
由CF：EF＝3：5，
设CF＝3a，则EF＝HF＝5a，
在Rt△FCH中，CH＝＝4a，则AE＝4a，
∵正方形ABCD的边长为12，
∴由勾股定理得AC＝12，
即AE+EF+FC＝12a＝12，
∴a＝，
∴CF＝3，EF＝5，
∵∠EFD＝∠GFC，∠EDF＝∠GCF＝45°，
∴△EFD∽△GFC，
∴，
∴FG•DF＝CF•FE＝3＝30．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明△EFD∽△GFC是解决问题（2）的关键．
24．已知二次函数解析式为y＝x2﹣bx+2b﹣3．
（1）当抛物线经过点（1，2）和点（m，n）时，等式m2﹣4m﹣n＝﹣5是否成立？并说明理由；
（2）已知点P（4，5）和点Q（﹣1，﹣5），且线段PQ与抛物线只有一个交点，求b的取值范围．
【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，再将（m，n）代入解析式求解．
（2）通过待定系数法求出直线PQ解析式，联立抛物线与直线方程可得交点横坐标，进而求解．
解：（1）成立，理由如下：
将（1，2）代入y＝x2﹣bx+2b﹣3得2＝1﹣b+2b﹣3，
解得b＝4，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+5，
将（m，n）代入y＝x2﹣4x+5得n＝m2﹣4m+5，
∴m2﹣4m﹣n＝﹣5．
（2）设PQ所在直线解析式为y＝mx+n，
将P（4，5），Q（﹣1，﹣5）代入y＝mx+n得，
解得，
∴直线PQ解析式为y＝2x﹣3．
令x2﹣bx+2b﹣3＝2x﹣3，整理得x2﹣（b+2）x+2b＝（x﹣b）（x﹣2）＝0，
∴抛物线与直线交点横坐标为x1＝b，x2＝2，
当b＝2时，抛物线与直线只有1个交点，
∵﹣1＜2＜4，
∴抛物线与直线交点在线段PQ上，符合题意．
将x＝2代入y＝2x﹣3得y＝1，
∴抛物线与线段PQ有一个交点为（2，1），
∴抛物线与直线PQ的另一交点不在线段PQ上，
∴b＜﹣1或b＞4符合题意，
综上所述，b＝2或b＜﹣1或b＞4．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．