2023年甘肃省陇南市中考数学第一次联考试卷(含解析）

这是一份2023年甘肃省陇南市中考数学第一次联考试卷(含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年甘肃省陇南市中考数学第一次联考试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  如果，那么(    )A.  B.  C. 或 D. 或2.  根据等式的性质，下列各式变形正确的是(    )A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则3.  下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  关于的一元二次方程的解为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，在中，、是两条中线，则：(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：6.  如图是某班甲、乙、丙三位同学最近次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是(    )
 A. 甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定
B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好
C. 丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高
D. 就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳7.  秦九韶公式是我国南宋数学家秦九韶曾经提出的利用三角形的三边求面积的计算公式，如果一个三角形的三边长分别是、、，记，那么三角形的面积为，这个公式在西方也被称为海伦公式如图，在中，、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为(    )A.  B.  C.  D. 8.  中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  已知点为某个封闭图形边界上一定点，动点从点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点的运动时间为，线段的长度为，表示与的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.  计算：______．12.  因式分解：______．13.  若关于的不等式只有个正整数解，则的取值范围是______ ．14.  如图，矩形中，、交于点，、分别为、的中点．若，则的长为          ．
 15.  如图，正六边形内接于，连接，则的度数是______ ．
 16.  如图，在▱中，点为中点，延长至点，使：：，连结交于点，则：______．
 17.  如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是        ．
 18.  如图：正方形的边长为，点，分别为，边的中点，连接，交于点，连接，则______．
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.  化简：四、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20.  本小题分
计算：．21.  本小题分
已知：如图，为锐角三角形，，．
求作：线段，使得点在直线上，且．
作法：以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；
连接．
线段就是所求作的线段．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：，
______．
，
点在上．
又点，都在上，
______填推理的依据．
．
22.  本小题分
某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为：，文化墙在天桥底部正前方米处的长，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为：参考数据：，
若新坡面坡角为，求坡角度数；
有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．
23.  本小题分
数学难题哥德巴赫猜想于年提出，到现在已有年的历史了哥德巴赫猜想的内容是：任何的偶数都可表示为两个奇素数之和任何的奇数都可表示为三个奇素数之和．
年，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．
若从、、、这个索数中随机抽取一个数，则抽到的数是的概率是        ；
从、、、这个素数中随机抽取个数，再从余下的个数中随机抽取个数请用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于的概率．24.  本小题分
为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
本次抽测的男生有______人，抽测成绩的众数是______；
请将条形图补充完整；
若规定引体向上次以上含次为体能达标，则该校名九年级男生中估计有多少人体能达标？
 25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，点在第一象限，纵坐标为，点在第三象限，轴，垂足为点，．
求反比例函数和一次函数的解析式．
连接，，求四边形的面积．
26.  本小题分
如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．

试判断与的位置关系，并说明理由．
若，，求的长．27.  本小题分
数学理解：如图，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交、于点、，求、、之间的数量关系；
问题解决：如图，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交、于点、，若，求的度数．
28.  本小题分
如图，抛物线的图象过点、、．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；
在的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点不与点重合，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
利用绝对值的意义，直接可得结论．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
【解答】
解：，
．
故选：．  2.【答案】 【解析】解：、若，则，故A符合题意；
B、若，则，故B不符合题意；
C、若，则，故C不符合题意；
D、，则，故D不符合题意；
故选：．
根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：、此不等式组的解集为，不符合题意；
B、此不等式组的解集为，符合题意；
C、此不等式组的解集为，不符合题意；
D、此不等式组的无解，不符合题意；
故选：．
先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．
 4.【答案】 【解析】解：因为关于的一元一次方程的解为，
可得：，，
解得：，，
所以．
故选：．
根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．
本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的概念和其解的概念是关键．
 5.【答案】 【解析】解：、是的中线，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
∽，
．
故选：．
由、是的中线，得到是的中位线，因此，，推出∽，由相似三角形的性质即可求出．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查折线统计图，要通过坐标轴以及图例等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．
折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
【解答】
解：甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；
B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确；
C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确；
D.就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误．
故选D．  7.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确得出的值是解题关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程即可得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
【解答】
解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：
．
故选：．  9.【答案】 【解析】【分析】
连接、，作于，根据翻转变换的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
【解答】
解：连接、，作于，
由题意得，，
，
，
，
，
的长，
故选：．  10.【答案】 【解析】解：与的函数图象分三个部分，而选项和选项中的封闭图形都有条线段，其图象要分四个部分，所以、选项不正确；
选项中的封闭图形为圆，开始随的增大而增大，然后随的增大而减小，所以选项不正确；
选项为三角形，点在三边上运动对应三段图象，且点在点的对边上运动时，的长有最小值．
故选：．
先观察图象得到与的函数图象分三个部分，则可对有边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，点在圆上运动时，开始随的增大而增大，然后随的增大而减小，则可对进行判断，从而得到正确选项．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了完全平方公式，正确掌握公式是解题关键．
 12.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：．
原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：解不等式得：，
根据题意得：，
即，
故答案是：．
首先解关于的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有个正整数解，即可得到一个关于的不等式求得的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍数关系．
根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解即可．
【解答】
解：、分别为、的中点，
是三角形的中位线，
．
四边形是矩形，
．
故答案为．  15.【答案】 【解析】解：在正六边形中，，
，
，
故答案为：．
求出，利用等腰三角形的性质求解即可．
本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．
 16.【答案】： 【解析】解：设，，
在▱中，
，
点为的中点，
，
，
∽，
，
故答案为：：
根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
 17.【答案】 【解析】解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，，
设，
则，，
在中，，
，
，，
梯形面积


，
当时，．
即长为时，使梯形储料场的面积最大为；
故答案为：．
过点作于，则四边形为矩形，，，设，则，，由直角三角形的，性质得出，得出，，由梯形面积公式得出梯形的面积与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：连接，
，分别是正方形边，的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
故答案为：．
首先证明≌，再利用角的关系求得，证明、、、四点共圆，得，可得结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
 20.【答案】解：

． 【解析】分别根据数的开方法则、零指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则计算出各数即可．
本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，即为补全的图形；

；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 【解析】【分析】
本题考查了作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
根据作法即可补全图形；
根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．
【解答】
解：见答案；
证明：，
．
，
点在上．
又点，都在上，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．  22.【答案】解：新坡面坡角为，新坡面的坡度为：，
，
；
该文化墙不需要拆除，
理由：过点作于点，则米，
新坡面的坡度为：，
，
解得，米，
坡面的坡度为：，米，
米，
米，
又米，
米米，
该文化墙不需要拆除． 【解析】根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
根据题意和题目中的数据可以求得的长度，然后与比较大小即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．
 23.【答案】 【解析】解：从、、、这个素数中随机抽取一个，则抽到的数是的概率是．
故答案为：；
树状图如图所示：

共有种可能，满足条件的有种可能，
所以抽到的两个素数之和等于的概率．
直接根据概率公式计算可得；
画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 24.【答案】解：，次；


人．
答：该校名九年级男生约有人体能达标． 【解析】解：观察统计图知达到次的有人，占，
人，
达到次的有人，
故众数为次；
见答案

见答案．
【分析】
用次的人数除以次所占的百分比即可求得总人数，然后求得次的人数即可确定众数；
补齐次小组的小长方形即可．
用总人数乘以达标率即可．
本题考查了条形统计图的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．  25.【答案】解：，
点的坐标为．
反比例函数的图象经过点，
则，得，
反比例函数的解析式为．
点的纵坐标是，
，得．
点的坐标为．
一次函数的图象过点、点，
解得
即一次函数的解析式为；
与轴交于点，
点的坐标为．
点，点，
．
轴，
，
四边形是平行四边形，
四边形的面积是：． 【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．
根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
根据中的函数解析式可以求得点，从而可以求得四边形是平行四边形，根据面积公式即可求得．
 26.【答案】解：与相切，
理由：如图，连接，

，为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
连接，

，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
即，
． 【解析】本题考查了切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
连接，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
 27.【答案】解：数学理解：
，
理由如下：是等腰直角三角形，
，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
；
问题解决：
如图，延长，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，，，
≌，
，
，，，
，且，，
≌，
，
同理可得：，
，
，
，
． 【解析】数学理解：
由等腰直角三角形的性质可得，，，由正方形的性质可得，，可求，即可得；
问题解决：
延长，使，通过证明≌，可得，通过≌，可得，，由三角形内角和定理可求的度数．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 28.【答案】解：抛物线的图象过点、、，
将点、、坐标代入抛物线得：，
解得，
抛物线的解析式为；
存在．如图，连接交抛物线对称轴于点，此时的周长最小．

设的解析式为，
则，
解得，
的解析式为．
由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线，
当时，，
．
，
．
点在线段的垂直平分线上，
，
的周长．
存在点不与点重合，使得，
设的解析式为，
则，
解得，
的解析式为．
如图，过点作的平行线交轴上方的抛物线于点，
易得的解析式为，

由，
解得，，
．
设抛物线对称轴交轴于点，
如图，过点作的平行线交轴上方的抛物线于点，

设的解析式为，则，
，
的解析式．
由，
解得舍，，
．
综上所述，点坐标为或时，． 【解析】抛物线的图象过点、、，代入即可求解；
由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．
由可得，当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等．若点在点上方，则有由点、坐标求直线解析式，即得到直线解析式．把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标．若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一种情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点所在直线的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第题利用等底等高面积相等可知点和点到直线距离相等，即点所在的直线与直线平行，有这样的直线有两条，需要分类讨论．