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2023年辽宁省营口一中中考数学一模试卷(含解析）
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这是一份2023年辽宁省营口一中中考数学一模试卷(含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省营口一中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是( )
A. B.
C. D.
2. 4的相反数是( )
A. 14 B. −14 C. 4 D. −4
3. 在平面直角坐标系中，点P(1,−3)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (−1,3) B. (−3,1) C. (1,3) D. (3,−1)
4. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. a8÷a4=a2 C. (a3)2=a6 D. 2a+3a=6a
5. 若二次根式 a+2 a−b(b为常数且b>−2)在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a≥−2 B. a>b C. a≥−2且a 6. 下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5 B. 18− 8= 2
C. (−2)2=−2 D. 8÷ 2=4
7. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：
锻炼时间/h
5
6
7
8
人数
6
15
10
4
则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为( )
A. 6h，6h B. 6h，15h C. 6.5h，6h D. 6.5h，15h
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A′落在BC上，在CD=1，则A′B的长是( )
A. 1 B. 2 C. 4− 10 D. 4−2 2
9. 若数a使关于x的不等式组13x−1≤12(x−1)2x−a≤3(1−x)，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程3yy−2+a+122−y=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是( )
A. −10 B. −12 C. −16 D. −18
10. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t/分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，31536000用科学记数法表示为 ．
12. 如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB的长为______．
13. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线.如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度yx(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=−112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是 ．
14. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为 ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2).若抛物线y=−32(x−h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为______．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD=6，AB=4，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为B′，当点B′恰好落在矩形的对角线上时(不与矩形顶点重合)，则t的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：(2a−2ba2−2ab+b2+ba2−b2)÷3b+2aa−b．
18. (本小题10.0分)
2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象相交于A(−2,m)和B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出不等式x+5≤kx的解集______．
(3)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0).使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
20. (本小题10.0分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/件)
60
65
70
销售量y(件)
1400
1300
1200
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
21. (本小题10.0分)
在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF//MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．(精确到0.1)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD=CD，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
(1)求证：AF=AE；
(2)若AB=8，BC=2，求AF的长．
23. (本小题12.0分)
已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．
(1)甲车的速度为______千米/时，a的值为______．
(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
24. (本小题14.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD>DA，DA=2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动.过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动、设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x=87时，点R恰好在AB边上．
(1)填空：点R恰好经过AB边时，S的值为 ；
(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
25. (本小题14.0分)
如图1，抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF=EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不合题意；
故选：A．
主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
2.【答案】D
【解析】解：4的相反数是−4，
故选：D．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3.【答案】A
【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点P(1,−3)关于原点O中心对称的点的坐标为(−1,3)．
故选：A．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，然后直接作答即可．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
B、a8÷a4=a4，原式计算错误，故本选项错误；
C、(a3)2=a6，原式计算正确，故本选项正确；
D、2a+3a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
故选C．
分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项等运算，然后结合选项选出正确答案即可．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项等知识，掌握各运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 []a+2 []a−b在实数范围内有意义，
∴{a+2≥0a−b>0,
解得：a≥−2且a>b，
∵b>−2，
∴原不等式组的解集为a>b，
故选：B．
根据二次根式有题意的条件和分式有意义的条件，即可进行解答．
本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，求不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
6.【答案】B
【解析】解：A． 3+ 2，无法合并，故此选项不合题意；
B. 18− 8=3 2−2 2= 2，故此选项符合题意；
C. (−2)2=2，故此选项不合题意；
D. 8÷ 2= 4=2，故此选项不合题意；
故选：B．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：这组数据的众数为6h，中位数为第18个数据，即中位数为6h，
故选：A．
直接利用众数和中位数的概念求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
8.【答案】D
【解析】解：∵AC=4，CD=1，
∴AD=AC−CD=3．
∵将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A′落在BC上，
∴A′D=AD=3．
在Rt△A′CD中，∵∠C=90°，
∴A′C= A′D2−CD2= 32−12=2 2，
∴A′B=BC−A′C=4−2 2．
故选：D．
根据折叠的性质得出A′D=AD=3.在Rt△A′CD中，利用勾股定理求出A′C= A′D2−CD2=2 2，那么A′B=BC−A′C=4−2 2．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
9.【答案】B
【解析】解：13x−1≤12(x−1)①2x−a≤3(1−x)②，
解①得x≥−3，
解②得x≤3+a5，
不等式组的解集是−3≤x≤3+a5．
∵仅有三个整数解，
∴−1≤3+a5<0
∴−8≤a<−3，
3yy−2+a+122−y=1
3y−a−12=y−2．
∴y=a+102
∵y≠2，
∴a≠−6，
又y=a+102有整数解，
∴a=−8或−4，
所有满足条件的整数a的值之和是(−8)+(−4)=−12，
故选：B．
根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得：甲步行的速度为1203=40(米/分)；故①结论正确；
由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故②结论错误；
由函数图象可得：当y=90时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米，故③结论正确；
设乙的速度为x米/分，
由题意可得：9×40=(9−3)x，
解得x=60，
∴乙的速度为60米/分；
∴乙走完全程的时间=120060=20(分)，
乙到达终点时，甲离终点距离是：1200−(3+20)×40=280(米)，
故④结论正确；
故正确的结论有：①③④．
故选：C．
根据题意和函数图象中的数据逐一进行判断，从而可以解答本题．
本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】3.1536×107
【解析】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
故答案为：3.1536×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】4
【解析】解：作直径AC，连接BC，如图，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=∠P=30°，AC=8，
∴AB=12AC=12×8=4．
故答案为：4．
作直径AC，连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，∠C=∠P=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出AB．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
13.【答案】10m
【解析】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y=0，则−112x2+23x+53=0，
整理得：x2−8x−20=0，
解得：x1=10，x2=−2(舍去)，
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故答案为：10m．
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
14.【答案】300x−3002x=5
【解析】解：∵采用新技术后，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，原计划每天生产零件x个，
∴采用新技术后实际每天生产零件2x个．
根据题意得：300x−3002x=5．
故答案为：300x−3002x=5．
根据采用新技术前后工作效率间的关系，可得出采用新技术后实际每天生产零件2x个，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15.【答案】72
【解析】解：∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，
∴AB=4，
∵抛物线y=−32(x−h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，
∴CD=2，
∴设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，
∴h=2c+22=c+1，
∴抛物线y=−32[x−(c+1)]2+k，
把点C(c,2)代入得，2=−32[c−(c+1)]2+k，
解得，k=72，
故答案为72．
根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】2或133
【解析】解：连接BB′，如图
由翻折可得B′E=BE，
∵点E为BC中点，
∴B′E=BE=EC，
∴∠BB′C=90°，
又∵BB′⊥EF，
∴EF//AC，
∴F为AB中点，
∴BF=12AB=2，
∴t=2．
如图，当EF⊥BD时，作FG⊥BE于点G，
∵BD所在直线斜率为CDBC=23，
∴EF所在直线斜率为−32，即FGGE=32，
∵BG=AF=t−4，BE=12BC=3，
∴GE=BE−BG=7−t，
又∵FG=AB=4，
∴47−t=32，
解得t=133．
故答案为：2或133
①连接BB′，由翻折及点E为BC中点可得B′E=BE=EC，即BB′分别垂直EF，AC，再由平行线分线段成比例计求解．
②由两直线垂直，斜率互为负倒数求解．
本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．
17.【答案】解：原式=[2a−b+b(a+b)(a−b)]⋅a−b2a+3b
=2(a+b)+b(a+b)(a−b)⋅a−b2a+3b
=1a+b．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)180；
(2)126°；
(3)列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
一
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
一
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为16．
【解析】
【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
(2)用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：(1)根据题意得：
54÷30%=180(人)，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
(2)根据题意得：
360°×(1−20%−15%−30%)=126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
(3)见答案．
19.【答案】x≤−3或−2≤x<0
【解析】解：(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象相交于A(−2,m)，
∴m=−2+5=3，
∴k=−2×3=−6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x；
(2)由y=−6xy=x+5得x=−2y=3或x=−3y=2，
∴B(−3,2)，
由图象可知，不等式x+5≤kx的解集是x≤−3或−2≤x<0，
故答案为：x≤−3或−2≤x<0；
(3)∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，
∴y=x+5−b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5−b=−6x，
∴x2+(5−b)x+6=0，
∵△=(5−b)2−24=0，
解得b=2 6+5或−2 6+5，
故b的值为2 6+5或−2 6+5．
(1)由一次函数y=x+5求得A的坐标，然后根据待定系数法可求反比例函数的表达式；
(2)解析式联立长方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据图象即可求得；
(3)根据一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，可得y=x+5−b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式=0即可求出b的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质、数形结合思想的运用是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=−20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+2600；
(2)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
21.【答案】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，
则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，
∴HD=x−30+10=x−20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=HDBH，
∴ 33=x−20x，
解得x=30+10 3≈47.3．
∴河的宽度为47.3米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=HDBH列出方程即可解决问题．
22.【答案】(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
∴∠F+∠DAF=90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠ABF=90°，
∴∠DAF=∠ABF，
∵AD=CD，
∴∠ABF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAD，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE；
(2)解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C=90°，
∵AB=8，BC=2，
∴AC= AB2−BC2= 82−22=2 15，
∵∠C=∠FAB=90°，∠CEB=∠AEF=∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴BCAB=CEAF，即28=CEAF，
∴CE=14AF，
∵AF=AE，
∴CE=14AE，
∵AE+CE=AC=2 15，
∴AE=8 155，
∴AF=AE=8 155．
【解析】(1)利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF=∠ABF，利用AD=CD得到∠ABF=∠CAD，进而证得∠F=∠AEF，根据等角对等边即可证得AF=AE；
(2)利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到BCAB=CEAF，求得CE=14AF=14AE，根据AE+CE=AC即可求得AF．
本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的性质和圆周角定理得到90°角．
23.【答案】解：(1)40；480；
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)，
∴2k+b=806k+b=480，
解得k=100b=−120，
∴y与x之间的函数关系式为y=100x−120(2⩽x⩽6)；
(3)两车相遇前：80+100(x−2)=240−100，解得x=135；
两车相遇后：80+100(x−2)=240+100，解得x=235，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480；
(2)运用待定系数法解得即可；
(3)分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．
【解答】
(1)解：由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40(千米/时)；
a=40×6×2=480，
故答案为：40；480；
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)，
∴2k+b=806k+b=480，
解得k=100b=−120，
∴y与x之间的函数关系式为y=100x−120(2⩽x⩽6)；
(3)两车相遇前：80+100(x−2)=240−100，解得x=135；
两车相遇后：80+100(x−2)=240+100，解得x=235，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．
24.【答案】3249
【解析】解：(1)如图1，
，
当x=87时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，
∵PQ=87，QR=PQ，
∴QR=87，
∴S=12×(87)2=12×6449=3249．
故答案为：3249．
(2)如图2，
，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：
当0
当点Q点运动到点A时，
x=2AD=4，
∴m=4．
当87
AP=2+x2，AQ=2−x2，
∵△AQE∽△AQ1R1，AQAQ1=QEQ1R1，
∴QE=45(2−x2)，
设FG=PG=a，
∵△AGF∽△AQ1R1，AGAQ1=FGQ1R1，
∴AG=2+x2−a，
2+x2−a107=a87
∴a=49(2+x2)，
∴S=S△APF−S△AQE
=12AP⋅FG−12AQ⋅EQ
=12(2+x2)⋅49(2+x2)−12(2−x2)⋅45(2−x2)
=−245x2+5645x−3245
∴S=−245x2+5645x−3245．
综上可得，S=12x2(0
(2)首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)两点，
∴4a−2+c=036a+6+c=0，
解得：a=−14c=3，
∴抛物线的表达式为y=−14x2+x+3；
(2)∵抛物线y=−14x2+x+3与y轴交于点C，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B(6,0)、C(0,3)代入，
得：6k+b=0b=3，
解得：k=−12b=3，
∴直线BC的解析式为y=−12x+3，
设点P的横坐标为m，则P(m,−14m2+m+3)，E(m,−12m+3)，
∴h=−14m2+m+3−(−12m+3)=−14m2+32m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0
∵P(m,−14m2+m+3)，E(m,−12m+3)，
∴PE=−14m2+32m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF=90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED=90°，
又∵∠PEF=∠BED，
∴∠EPF=∠EBD，
∵∠BOC=∠PFE=90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴EFPE=OCBC，
在Rt△BOC中，BC= OB2+OC2= 62+32=3 5，
∴EF=OCBC×PE=33 5(−14m2+32m)= 55(−14m2+32m)，
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO=∠EDO=∠DOH=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH=OD=m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴CEEH=BCOB，即CEm=3 56，
∴CE= 52m，
∵CF=EF，
∴EF=12CE= 54m，
∴ 54m= 55(−14m2+32m)，
解得：m=0或m=1，
∵0
(4)∵抛物线y=−14x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=−12×(−14)=2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q(2,t)，设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ=3−t，CG=2，∠CGQ=90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ=90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP=OD=4，OC=3，∠OCP=90°，
∴∠PCQ+∠OCQ=90°，
∴∠PCQ=∠COP，
∴tan∠PCQ=tan∠COP=CPOC=43，
∴GQCG=tan∠PCQ=43，
∴3−t2=43，
解得：t=13，
∴Q(2,13)；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD所在的直线上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ=∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG=∠OCQ，
∴∠DCQ=∠CQG，
∴CK=KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K(2,32)，
∴GK=32，
∴CK=KQ=32−t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2=CK2，
∴22+(32)2=(32−t)2，
解得：t1=1(舍去)，t2=−1，
∴Q(2,−1)；
综上所述，点Q的坐标为(2,13)或(2,−1)．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−12x+3，设点P的横坐标为m，则P(m,−14m2+m+3)，E(m,−12m+3)，即可得出h=−14m2+32m；
(3)如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，可证得△BOC∽△PFE，得出EFPE=OCBC，可求得EF= 55(−14m2+32m)，再由△CEH∽△CBO，可得CEEH=BCOB，求得CE= 52m，结合CF=EF，可得EF=12CE= 54m，建立方程求解即可得出答案；
(4)设Q(2,t)，分两种情况：①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，②当点O′恰好落在该矩形对角线CD所在的直线上时，分别求出点Q的坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2023年辽宁省营口一中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几何体中，主视图是三角形的是( )
A. B.
C. D.
2. 4的相反数是( )
A. 14 B. −14 C. 4 D. −4
3. 在平面直角坐标系中，点P(1,−3)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (−1,3) B. (−3,1) C. (1,3) D. (3,−1)
4. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. a8÷a4=a2 C. (a3)2=a6 D. 2a+3a=6a
5. 若二次根式 a+2 a−b(b为常数且b>−2)在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a≥−2 B. a>b C. a≥−2且a 6. 下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5 B. 18− 8= 2
C. (−2)2=−2 D. 8÷ 2=4
7. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果列表如下：
锻炼时间/h
5
6
7
8
人数
6
15
10
4
则这35名学生在校一周体育锻炼时间的中位数和众数分别为( )
A. 6h，6h B. 6h，15h C. 6.5h，6h D. 6.5h，15h
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D在AC上，点E在AB上，将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A′落在BC上，在CD=1，则A′B的长是( )
A. 1 B. 2 C. 4− 10 D. 4−2 2
9. 若数a使关于x的不等式组13x−1≤12(x−1)2x−a≤3(1−x)，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程3yy−2+a+122−y=1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是( )
A. −10 B. −12 C. −16 D. −18
10. 甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t/分钟之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为40米/分；②乙用9分钟追上甲；③整个过程中，有4个时刻甲乙两人的距离为90米；④乙到达终点时，甲离终点还有280米，其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ①③
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，31536000用科学记数法表示为 ．
12. 如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的直径为8，则弦AB的长为______．
13. 如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛，我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线.如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度yx(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=−112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是 ．
14. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务，设原计划每天生产零件x个，根据题意，列方程为 ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2).若抛物线y=−32(x−h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，则k的值为______．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD=6，AB=4，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为B′，当点B′恰好落在矩形的对角线上时(不与矩形顶点重合)，则t的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：(2a−2ba2−2ab+b2+ba2−b2)÷3b+2aa−b．
18. (本小题10.0分)
2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象相交于A(−2,m)和B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出不等式x+5≤kx的解集______．
(3)将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0).使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
20. (本小题10.0分)
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x(元/件)
60
65
70
销售量y(件)
1400
1300
1200
(1)求出y与x之间的函数表达式；(不需要求自变量x的取值范围)
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
21. (本小题10.0分)
在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF//MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．(精确到0.1)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD=CD，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
(1)求证：AF=AE；
(2)若AB=8，BC=2，求AF的长．
23. (本小题12.0分)
已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y(千米)与甲车行驶的时间x(时)之间的函数关系如图所示．
(1)甲车的速度为______千米/时，a的值为______．
(2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
(3)当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．
24. (本小题14.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且CD>DA，DA=2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动.过点Q作AC的垂线段QR，使QR=PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动、设PQ=x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x=87时，点R恰好在AB边上．
(1)填空：点R恰好经过AB边时，S的值为 ；
(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
25. (本小题14.0分)
如图1，抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF=EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不合题意；
故选：A．
主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
2.【答案】D
【解析】解：4的相反数是−4，
故选：D．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3.【答案】A
【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点P(1,−3)关于原点O中心对称的点的坐标为(−1,3)．
故选：A．
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，然后直接作答即可．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；
B、a8÷a4=a4，原式计算错误，故本选项错误；
C、(a3)2=a6，原式计算正确，故本选项正确；
D、2a+3a=5a，原式计算错误，故本选项错误；
故选C．
分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项等运算，然后结合选项选出正确答案即可．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项等知识，掌握各运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵二次根式 []a+2 []a−b在实数范围内有意义，
∴{a+2≥0a−b>0,
解得：a≥−2且a>b，
∵b>−2，
∴原不等式组的解集为a>b，
故选：B．
根据二次根式有题意的条件和分式有意义的条件，即可进行解答．
本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，求不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
6.【答案】B
【解析】解：A． 3+ 2，无法合并，故此选项不合题意；
B. 18− 8=3 2−2 2= 2，故此选项符合题意；
C. (−2)2=2，故此选项不合题意；
D. 8÷ 2= 4=2，故此选项不合题意；
故选：B．
直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的除法运算法则、二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：这组数据的众数为6h，中位数为第18个数据，即中位数为6h，
故选：A．
直接利用众数和中位数的概念求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
8.【答案】D
【解析】解：∵AC=4，CD=1，
∴AD=AC−CD=3．
∵将△ADE沿直线DE翻折，点A的对称点A′落在BC上，
∴A′D=AD=3．
在Rt△A′CD中，∵∠C=90°，
∴A′C= A′D2−CD2= 32−12=2 2，
∴A′B=BC−A′C=4−2 2．
故选：D．
根据折叠的性质得出A′D=AD=3.在Rt△A′CD中，利用勾股定理求出A′C= A′D2−CD2=2 2，那么A′B=BC−A′C=4−2 2．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
9.【答案】B
【解析】解：13x−1≤12(x−1)①2x−a≤3(1−x)②，
解①得x≥−3，
解②得x≤3+a5，
不等式组的解集是−3≤x≤3+a5．
∵仅有三个整数解，
∴−1≤3+a5<0
∴−8≤a<−3，
3yy−2+a+122−y=1
3y−a−12=y−2．
∴y=a+102
∵y≠2，
∴a≠−6，
又y=a+102有整数解，
∴a=−8或−4，
所有满足条件的整数a的值之和是(−8)+(−4)=−12，
故选：B．
根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得：甲步行的速度为1203=40(米/分)；故①结论正确；
由图可得，甲出发9分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故②结论错误；
由函数图象可得：当y=90时，有4个时刻甲乙两人的距离为90米，故③结论正确；
设乙的速度为x米/分，
由题意可得：9×40=(9−3)x，
解得x=60，
∴乙的速度为60米/分；
∴乙走完全程的时间=120060=20(分)，
乙到达终点时，甲离终点距离是：1200−(3+20)×40=280(米)，
故④结论正确；
故正确的结论有：①③④．
故选：C．
根据题意和函数图象中的数据逐一进行判断，从而可以解答本题．
本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】3.1536×107
【解析】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
故答案为：3.1536×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】4
【解析】解：作直径AC，连接BC，如图，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=∠P=30°，AC=8，
∴AB=12AC=12×8=4．
故答案为：4．
作直径AC，连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ABC=90°，∠C=∠P=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质求出AB．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
13.【答案】10m
【解析】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y=0，则−112x2+23x+53=0，
整理得：x2−8x−20=0，
解得：x1=10，x2=−2(舍去)，
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故答案为：10m．
根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
14.【答案】300x−3002x=5
【解析】解：∵采用新技术后，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，原计划每天生产零件x个，
∴采用新技术后实际每天生产零件2x个．
根据题意得：300x−3002x=5．
故答案为：300x−3002x=5．
根据采用新技术前后工作效率间的关系，可得出采用新技术后实际每天生产零件2x个，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15.【答案】72
【解析】解：∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，
∴AB=4，
∵抛物线y=−32(x−h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且CD=12AB，
∴CD=2，
∴设点C的坐标为(c,2)，则点D的坐标为(c+2,2)，
∴h=2c+22=c+1，
∴抛物线y=−32[x−(c+1)]2+k，
把点C(c,2)代入得，2=−32[c−(c+1)]2+k，
解得，k=72，
故答案为72．
根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16.【答案】2或133
【解析】解：连接BB′，如图
由翻折可得B′E=BE，
∵点E为BC中点，
∴B′E=BE=EC，
∴∠BB′C=90°，
又∵BB′⊥EF，
∴EF//AC，
∴F为AB中点，
∴BF=12AB=2，
∴t=2．
如图，当EF⊥BD时，作FG⊥BE于点G，
∵BD所在直线斜率为CDBC=23，
∴EF所在直线斜率为−32，即FGGE=32，
∵BG=AF=t−4，BE=12BC=3，
∴GE=BE−BG=7−t，
又∵FG=AB=4，
∴47−t=32，
解得t=133．
故答案为：2或133
①连接BB′，由翻折及点E为BC中点可得B′E=BE=EC，即BB′分别垂直EF，AC，再由平行线分线段成比例计求解．
②由两直线垂直，斜率互为负倒数求解．
本题考查四边形翻折问题，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半．
17.【答案】解：原式=[2a−b+b(a+b)(a−b)]⋅a−b2a+3b
=2(a+b)+b(a+b)(a−b)⋅a−b2a+3b
=1a+b．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)180；
(2)126°；
(3)列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
一
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
一
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
一
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P(选中甲、乙)=212=16，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为16．
【解析】
【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；
(2)用360°乘以篮球的学生所占的百分比即可；
(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：(1)根据题意得：
54÷30%=180(人)，
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
(2)根据题意得：
360°×(1−20%−15%−30%)=126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
(3)见答案．
19.【答案】x≤−3或−2≤x<0
【解析】解：(1)∵一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象相交于A(−2,m)，
∴m=−2+5=3，
∴k=−2×3=−6，
∴反比例函数解析式为：y=−6x；
(2)由y=−6xy=x+5得x=−2y=3或x=−3y=2，
∴B(−3,2)，
由图象可知，不等式x+5≤kx的解集是x≤−3或−2≤x<0，
故答案为：x≤−3或−2≤x<0；
(3)∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，
∴y=x+5−b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5−b=−6x，
∴x2+(5−b)x+6=0，
∵△=(5−b)2−24=0，
解得b=2 6+5或−2 6+5，
故b的值为2 6+5或−2 6+5．
(1)由一次函数y=x+5求得A的坐标，然后根据待定系数法可求反比例函数的表达式；
(2)解析式联立长方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据图象即可求得；
(3)根据一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，可得y=x+5−b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式=0即可求出b的值．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质、数形结合思想的运用是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
60k+b=140065k+b=1300，
解得，k=−20b=2600，
即y与x之间的函数表达式是y=−20x+2600；
(2)(x−50)(−20x+2600)=24000，
解得，x1=70，x2=110，
∵尽量给客户优惠，
∴这种衬衫定价为70元；
(3)由题意可得，
w=(x−50)(−20x+2600)=−20(x−90)2+32000，
∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，(x−50)÷50≤30%，
解得，50≤x≤65，
∴当x=65时，w取得最大值，此时w=19500，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以得到y与x之间的函数表达式；
(2)根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；
(3)根据题意，可以得到w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
21.【答案】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，
则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK−AB=x−30，
∴HD=x−30+10=x−20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=HDBH，
∴ 33=x−20x，
解得x=30+10 3≈47.3．
∴河的宽度为47.3米．
【解析】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=HDBH列出方程即可解决问题．
22.【答案】(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADF=90°，
∴∠F+∠DAF=90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
∴∠F+∠ABF=90°，
∴∠DAF=∠ABF，
∵AD=CD，
∴∠ABF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAD，
∴∠F=∠AEF，
∴AF=AE；
(2)解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C=90°，
∵AB=8，BC=2，
∴AC= AB2−BC2= 82−22=2 15，
∵∠C=∠FAB=90°，∠CEB=∠AEF=∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴BCAB=CEAF，即28=CEAF，
∴CE=14AF，
∵AF=AE，
∴CE=14AE，
∵AE+CE=AC=2 15，
∴AE=8 155，
∴AF=AE=8 155．
【解析】(1)利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF=∠ABF，利用AD=CD得到∠ABF=∠CAD，进而证得∠F=∠AEF，根据等角对等边即可证得AF=AE；
(2)利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到BCAB=CEAF，求得CE=14AF=14AE，根据AE+CE=AC即可求得AF．
本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的性质和圆周角定理得到90°角．
23.【答案】解：(1)40；480；
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)，
∴2k+b=806k+b=480，
解得k=100b=−120，
∴y与x之间的函数关系式为y=100x−120(2⩽x⩽6)；
(3)两车相遇前：80+100(x−2)=240−100，解得x=135；
两车相遇后：80+100(x−2)=240+100，解得x=235，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a=240×2=480；
(2)运用待定系数法解得即可；
(3)分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．
【解答】
(1)解：由题意可知，甲车的速度为：80÷2=40(千米/时)；
a=40×6×2=480，
故答案为：40；480；
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)，
∴2k+b=806k+b=480，
解得k=100b=−120，
∴y与x之间的函数关系式为y=100x−120(2⩽x⩽6)；
(3)两车相遇前：80+100(x−2)=240−100，解得x=135；
两车相遇后：80+100(x−2)=240+100，解得x=235，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时．
24.【答案】3249
【解析】解：(1)如图1，
，
当x=87时，△PQR与△ABC重叠部分的面积就是△PQR的面积，
∵PQ=87，QR=PQ，
∴QR=87，
∴S=12×(87)2=12×6449=3249．
故答案为：3249．
(2)如图2，
，
根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：
当0
当点Q点运动到点A时，
x=2AD=4，
∴m=4．
当87
AP=2+x2，AQ=2−x2，
∵△AQE∽△AQ1R1，AQAQ1=QEQ1R1，
∴QE=45(2−x2)，
设FG=PG=a，
∵△AGF∽△AQ1R1，AGAQ1=FGQ1R1，
∴AG=2+x2−a，
2+x2−a107=a87
∴a=49(2+x2)，
∴S=S△APF−S△AQE
=12AP⋅FG−12AQ⋅EQ
=12(2+x2)⋅49(2+x2)−12(2−x2)⋅45(2−x2)
=−245x2+5645x−3245
∴S=−245x2+5645x−3245．
综上可得，S=12x2(0
(2)首先根据S关于x的函数图象，可得S关于x的函数表达式有两种情况：当0
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B(6,0)两点，
∴4a−2+c=036a+6+c=0，
解得：a=−14c=3，
∴抛物线的表达式为y=−14x2+x+3；
(2)∵抛物线y=−14x2+x+3与y轴交于点C，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，把B(6,0)、C(0,3)代入，
得：6k+b=0b=3，
解得：k=−12b=3，
∴直线BC的解析式为y=−12x+3，
设点P的横坐标为m，则P(m,−14m2+m+3)，E(m,−12m+3)，
∴h=−14m2+m+3−(−12m+3)=−14m2+32m，
∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
∴0
∵P(m,−14m2+m+3)，E(m,−12m+3)，
∴PE=−14m2+32m，
∵PF⊥CE，
∴∠EPF+∠PEF=90°，
∵PD⊥x轴，
∴∠EBD+∠BED=90°，
又∵∠PEF=∠BED，
∴∠EPF=∠EBD，
∵∠BOC=∠PFE=90°，
∴△BOC∽△PFE，
∴EFPE=OCBC，
在Rt△BOC中，BC= OB2+OC2= 62+32=3 5，
∴EF=OCBC×PE=33 5(−14m2+32m)= 55(−14m2+32m)，
∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠EHO=∠EDO=∠DOH=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴EH=OD=m，
∵EH//x轴，
∴△CEH∽△CBO，
∴CEEH=BCOB，即CEm=3 56，
∴CE= 52m，
∵CF=EF，
∴EF=12CE= 54m，
∴ 54m= 55(−14m2+32m)，
解得：m=0或m=1，
∵0
(4)∵抛物线y=−14x2+x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=−12×(−14)=2，
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴设Q(2,t)，设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，
则GQ=3−t，CG=2，∠CGQ=90°，
①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，
则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，
∴∠COP+∠OCQ=90°，
又∵四边形OCPD是矩形，
∴CP=OD=4，OC=3，∠OCP=90°，
∴∠PCQ+∠OCQ=90°，
∴∠PCQ=∠COP，
∴tan∠PCQ=tan∠COP=CPOC=43，
∴GQCG=tan∠PCQ=43，
∴3−t2=43，
解得：t=13，
∴Q(2,13)；
②当点O′恰好落在该矩形对角线CD所在的直线上时，如图，连接CD交GH于点K，
∵点O与点O′关于直线CQ对称，
∴CQ垂直平分OO′，
∴∠OCQ=∠DCQ，
∵GH//OC，
∴∠CQG=∠OCQ，
∴∠DCQ=∠CQG，
∴CK=KQ，
∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，
∴点K是CD的中点，
∴K(2,32)，
∴GK=32，
∴CK=KQ=32−t，
在Rt△CKG中，CG2+GK2=CK2，
∴22+(32)2=(32−t)2，
解得：t1=1(舍去)，t2=−1，
∴Q(2,−1)；
综上所述，点Q的坐标为(2,13)或(2,−1)．
【解析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−12x+3，设点P的横坐标为m，则P(m,−14m2+m+3)，E(m,−12m+3)，即可得出h=−14m2+32m；
(3)如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，可证得△BOC∽△PFE，得出EFPE=OCBC，可求得EF= 55(−14m2+32m)，再由△CEH∽△CBO，可得CEEH=BCOB，求得CE= 52m，结合CF=EF，可得EF=12CE= 54m，建立方程求解即可得出答案；
(4)设Q(2,t)，分两种情况：①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，②当点O′恰好落在该矩形对角线CD所在的直线上时，分别求出点Q的坐标即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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