2023年山东省聊城市临清市中考数学一模试卷(含解析）

2023年山东省聊城市临清市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  微米，一根头发丝的直径约为微米，微米用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  一个由完全相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若、是方程的两个实数根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是(    )
 

A. 这次调查的样本容量是
B. 全校名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有人
C. 扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是
D. 被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有人

9.  如图，中，弦，相交于点，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数的图象如图所示，那么一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，在平行四边形中，为上一点，且：：，与相交于点，，则为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  将两个等腰直角三角形与其中，，如图放置在一起，点在上，与交于点，连接，，且下列结论：
垂直平分；
为等边三角形；
；
．
正确的结论是(    )

A. 只有 B. 只有 C. 只有 D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  分解因式：______．

14.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，点恰好落在边上，且，则的度数为        ．

15.  如图，将半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，这个圆锥的高是        ．

16.  看了田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为，，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为______ ．

17.  如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，，依此规律，点的坐标是        ．

三、解答题（本大题共7小题，共59.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
化简求值：，其中．

19.  本小题分
为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取七、八年级部分学生进行测试，并对成绩百分制进行整理，过程如下：
收集数据．
从该校七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数，其中八年级的分数如下：
         
         
整理、描述数据．
按下表分段整理描述样本数据：

分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：

填空：        ，        ，        ；根据以上提供的信息，解答下列问题：
样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为分，        同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前填“甲”或“乙”；
从样本数据分析哪个年级的分数较整齐；
如果七年级共有人参赛，则估计该年级分数不低于分的人数．

20.  本小题分
如图，平行四边形的对角线、相交于点，．
求证：≌；
若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由．

21.  本小题分
某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪．若购买个大地球仪和个小地球仪需用元；若购买个大地球仪和个小地球仪需用元．
求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
若该中学决定购买以上两种地球仪共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个大地球仪？

22.  本小题分
数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得塔楼顶端点的仰角，台阶长米，台阶坡面的坡度：，然后在点处测得塔楼顶端点的仰角，则塔顶到地面的高度约为多少米．
参考数据：，，，

23.  本小题分
如图，矩形的顶点与坐标原点重合，点在轴上，点在对角线上，且，反比例函数的图象经过点，交、于点、，，连接、、．
求反比例函数的解析式及点的坐标；
若点在轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点的坐标．

24.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．
求抛物线和直线的解析式；
如图，点是线段上一动点，过点作，交于点，连接，若点的坐标为，求的面积与的函数表达式，并写出是否存在最大值？若存在，求出的最大值，并直接写出此时点的坐标；
如图，直线交轴于点，点为抛物线对称轴上的动点，点在轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点和点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，则的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义可直接解答．
本题考查了倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：微米，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式，故B错误；
由于与不是同类项二次根式，故C错误；
原式，故D错误；
故选：．
根据整式与二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，
由得，
由得，，
不等式组的解集．
在数轴上表示为：

故选：．
根据第二象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层两列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】
解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有个小正方体，第二层应该有个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为个，
若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
根据根与系数的关系以及一元二次方程的解，可得出、，将其代入中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系以及一元二次方程的解，找出、是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
这次调查的样本容量为，
故A选项结论正确，不符合题意；
人，
全校名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有人，
故B选项结论不正确，符合题意；
人，
被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有人，
故D选项结论正确，不符合题意；
，
扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是，
故C选项结论正确，不符合题意；
故选：．
根据统计图分别判断各个选项即可．
本题主要考查统计图的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的外角，
；
，，
；
．
故选：．
欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，即可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．
此题主要考查了圆周角定理的应用及三角形的外角性质．熟练掌握定理及性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向下，
，反比例函数的图象位于二、四象限，故C错误；
二次函数的图象经过原点，
，
直线直线过原点，故D错误．
对称轴在轴左侧，
、符号相同，
，
经过原点且呈下降趋势，
故B错误．
故选：．
先根据二次函数的图象开口向下可知，再由函数图象经过原点可知，利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，．
：：，
：：，
：：．
，
∽，
，
．
∽，
，
：：：，
，
，
故选：．
利用平行四边形的对边平行且相等的性质，相似三角形的判定与性质求得的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底的比求得的面积，则．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底的比，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：和是等腰直角三角形，
，，
，
，
垂直平分，故结论正确；
垂直平分，
，，
，
，
，
是等边三角形，故结论正确；
，，
，
，
，
在中，，
，故结论正确；
设，
在中，，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
，，
，故结论错误；
故选：．
由等腰直角三角形的性质得出，判断正确；再用等腰直角三角形的内角的关系即可得出，即可得出正确，判断出即可判断出正确；设出，由等腰直角三角形和等边三角形的性质得出，，，，最后用三角形的面积公式即可得出错误．
此题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是灵活运用特殊三角形的性质；是一道基础题目．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故填：．
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，分解因式时有公因式的先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
 

14.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质得，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质得到，，，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等．
 

15.【答案】 

【解析】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径为，
所以这个圆锥的高为．
故答案为：．
设这个圆锥的底面圆的半径为，利用这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，解得，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算这个圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为，，时，田忌的马按，，的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
田忌能赢得比赛的概率为．
列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了利用列表法或树状图法求概率；用的的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：观察，发现：、，，，，，，，，，
为自然数．
，
，
即点的坐标是
故答案为：
根据正方形的性质可找出部分点的坐标，根据坐标的变化即可找出为自然数再根据，即可找出点的坐标．
本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据点坐标的变化找出变化规律“为自然数”是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】      甲 

【解析】解：七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数，
，
八年级学生的成绩从低到高排列，第，名学生的成绩为分，分，
分，
八年级成绩的分出现了次，次数最多，
，
故答案为：，，；
甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前，理由如下：
八年级的中位数是分，七年级的中位数是分，
分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，
七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
故答案为：甲；
八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，
分数较整齐的是八年级，

因为样本中七年级不低于分的有人，
所以人．
根据七、八年级学生中各随机抽取名学生的分数可得，第，名学生的成绩为分，分，即可求出的值，分出现了次，次数最多，可得的值；
根据八年级的中位数是分，七年级的中位数是分，可得分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论；
根据方差进行评价即可作出判断；
用七年级不低于分的比例乘以总人数即可．
本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，

≌．

解：四边形是菱形．
理由如下：连接、．
四边形是平行四边形，
，，

，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】只要证明，，即可根据证明；
根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明；
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设每个大地球仪元，每个小地球仪元，
依题意得：，
解得：．
答：每个大地球仪元，每个小地球仪元．
设购买个大地球仪，则购买个小地球仪，
依题意得：，
解得：．
答：最多可购买个大地球仪． 

【解析】设每个大地球仪元，每个小地球仪元，利用总价单价数量，结合“若购买个大地球仪和个小地球仪需用元；若购买个大地球仪和个小地球仪需用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个大地球仪，则购买个小地球仪，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，

，，
由：，可以假设，，
，
，
或负舍去，
，，
设米，米，
，，
，即，
，，
，
由得米，米，
答：塔顶到地面的高度约为米． 

【解析】如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，设，，构建方程组求解．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．
 

23.【答案】解：作轴于点，
由，可得，．
点的坐标是，
反比例函数的解析式为．
由，，
可得点的坐标为则．
又由，
，

设点的坐标为，代入，得，
点的坐标为；


．
设点的坐标为，
由，得，
点的坐标为或． 

【解析】作轴于点，由点的坐标与图形的性质求得点，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点的坐标易得点的坐标，再由此设点的坐标为，代入求得的值即可；
设点的坐标为，由“的面积与四边形的面积相等”可得，由此求得的值即可．
本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大．
 

24.【答案】解：根据题意得，，解得：，
抛物线的解析式为；
，对称轴为，
，
在抛物线的解析式上，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；

如图，作轴，设，

，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
面积的最大值是，
此时点坐标是；
如图，由可知直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于，轴于，
由条件可知，点，是关于对称轴对称，则四边形的周长最小，
此时直线的解析式为：，
当时，，即，
，
当时，，
．
存在点的坐标为，点的坐标为． 

【解析】由待定系数法得到抛物线的解析式为：；直线的解析式为；
作轴，设，根据相似三角形的性质得到，求得，根据二次函数的性质即可得到结论；
点的坐标为，过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于，轴于，由条件可知点，是关于对称轴对称，则四边形的周长最小，可求出直线的解析式，则可得出答案．
此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，轴对称的性质等知识．解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法．