浙江省十校联盟2023届高三下学期2月第三次联考高考模拟数学试题(含解析）

这是一份浙江省十校联盟2023届高三下学期2月第三次联考高考模拟数学试题(含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
浙江省十校联盟2023届高三下学期2月第三次联考高考模拟数学试题 一、单选题1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知集，，则（    ）A． B． C． D．2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知复数，，则复数的模等于（    ）A． B． C． D．3．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图像是（    ）A． B．C． D．4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知向量满足，，，则（    ）A． B． C． D．5．（2023·浙江·校联考模拟预测）记为数列的前n项积，已知，则（    ）A．8 B．9 C．10 D．116．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增，且，则（    ）A． B． C． D．7．（2023·浙江·校联考模拟预测）甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（    ）A．54 B．81 C．135 D．1628．（2023·浙江·校联考模拟预测）若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（    ）A．65 B．70 C．75 D．80 二、多选题9．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（    ）A． B．C． D．10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机变量从二项分布，则（    ）A． B．C． D．最大时或50111．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（    ）A．点在第一象限 B．的面积为C．的斜率为 D．直线和圆相切12．（2023·浙江·校联考模拟预测）数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（    ）A．数列的第项为 B．数列的第2023项为C．数列的前项和为 D． 三、填空题13．（2023·浙江·校联考模拟预测）展开式中项的系数为________.14．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则________.15．（2023·浙江·校联考模拟预测）在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为________. 四、解答题16．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y3.94.34.65.45.86.26.9 (1)求y关于x的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.参考数据17．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在中，D为边BC上一点，，，，.(1)求的大小；(2)求的面积.18．（2023·浙江·校联考模拟预测）在数列中，，在数列中，.(1)求证数列成等差数列并求；(2)求证：.19．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.(1)证明：平面平面；(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.20．（2023·浙江·校联考模拟预测）设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C的方程；(2)过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，（i）求的值；（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.21．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，函数，.(1)求函数的单调区间和极值；(2)设较小的零点为，证明：. 五、双空题22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.
参考答案：1．A【分析】先化简集合，然后利用交集的定义进行求解即可【详解】∵，，因此，.故选：A2．B【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出，再求出其模作答.【详解】复数，，则，所以.故选：B3．B【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像.【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C.故选：B.4．C【分析】根据向量模的公式得，再求模即可.【详解】解：因为，，，所以，，所以，.又，所以.故选：C5．D【分析】当时，有，当时，有，结合题目条件，即可求得本题答案.【详解】1.当时，，，；2.当时，有，代入，得，化简得：，则，.故选：D6．D【分析】由整体法结合正弦函数性质即可列式求解.【详解】当时，，∵在上单调递增，∴，∴，即，∴，，，则由得：，解得：.当时，满足题要求.故选：D7．C【分析】先选出选择菜的两人，再分两人中有1人选用了B菜和都没有选择B菜两种情况讨论求解即可.【详解】菜有2人选用有种，比如甲、乙选用了菜，①甲、乙之中有1人选用了B菜，有种，比如甲用了B菜，则乙从中任意选用1种，有种，丙从C，D，E中任意选用2种，有种，故共有②丙选用了B菜，丙再从中任意选用1种，有种，甲、乙再从中各任意选用1种，有种，故共有由①②可知所有情形是.故选：C8．A【分析】根据函数的周期性和对称性求解.【详解】由，，知函数关于，点对称，结合当时，，作出函数图象如图，为向上攀爬的类周期函数，由图象可得，由可得，，由可得，，所以，则有，因为，所以，所以，故选:A.9．AC【分析】逐个分析各函数的定义域、单调性、奇偶性及，使.【详解】对A，，定义域为，在上单调递增，，所以为偶函数，又，故A正确对B，，定义域为，为奇函数，故B错误；对C，，定义域为，，所以为偶函数，又，故C正确；对D，因为在上分区间单调，故D错误.故选：AC.10．AD【分析】结合二项分布的性质，逐项计算，即可得到本题答案.【详解】对A，，所以A对；对B，因为，且，所以，所以B错；对C，因为，所以，所以C错；对D，因为，由组合数的性质得，最大时或501，所以D对.故选：AD11．BCD【分析】对于A，设椭圆的上顶点为，，即可解决；对于B，求得为等腰三角形即可解决；对于C，由，即可解决；对于D，过作于，求得即可解决；【详解】由题知，椭圆，焦点在轴上，，所以，，所以，所以，故B正确；因为的中点为，所以，过作于，，故D正确；因为，所以为中点，，故C正确；设椭圆的上顶点为，，所以点在第二象限，故A错误；故选：BCD12．ACD【分析】由数列的定义，对通项和前n项和的性质进行讨论，验证选项是否正确.【详解】…，，故A选项正确；，，故B选项错误；，，…，当时，，所以，故C选项正确；当时，，，故D选项正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决新定义问题，首先考查对定义的理解。其次是考查满足新定义的数列的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的数列有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需要结合新数列的新性质，探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力，主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.13．【分析】把二项展开，只有与相乘得到项，由此即可得到本题答案.【详解】因为所以展开式中项的系数为.故答案为：14．【分析】首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案.【详解】依题意得，所以故，所以.故答案为：.15．104【分析】首先根据平面向量的线性运算得到，根据的外接圆半径为3，得到，即可得到答案.【详解】如图所示：，，因为，所以.因为的外接圆半径为3，所以，当且仅当AE为圆直径时等号成立.所以，当且仅当AE为圆直径时等号成立.故答案为：16．(1)(2)过去七年该地区生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，2024年生活垃圾无害化处理量约为7.8万吨. 【分析】（1）由最小二乘法计算即可；（2）利用回归方程分析预测即可.【详解】（1）已知， ， 又，， 所以， 则，所以回归方程为；（2）由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，当时，，即2024年该地区生活垃圾无害化处理量约为7.8万吨.17．(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理，即可求得本题答案；（2）结合正弦定理和三角形的面积公式，逐步求解，即可得到本题答案.【详解】（1）在中，，又，所以 ；（2）在中，，则 ，因为，所以，在中，，则 ， ，在中，因为，所以，则 ，故.18．(1)证明见解析，(2)证明见解析 【分析】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可；（2）由累乘法求得的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明.【详解】（1）由知，故，即，数列成等差数列， 所以，所以；（2）由，得，于是所以， ，所以.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明平面，由此即可得到本题答案；（2）以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出向量与平面的法向量，然后代入公式，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以都是等腰三角形，因为于F，所以F为DE的中点，则，，又因为是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面 ；（2）因为，，所以，，，所以， ，由（1）知为二面角的平面角所以，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，易得，，知，因为，，可得，所以设平面的法向量，，所以，令，则，所以 ，又，设直线与平面所成角为θ，，所以直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)(2)（i）1；（ii）证明见解析 【分析】（1）结合点F到其中一条渐近线的距离为2和，即可求得本题答案； （2）（i）设AB直线方程为，，得，直线方程与双曲线方程联立消，然后由韦达定理得，，把逐步化简，即可求得本题答案；（ii）把和的直线方程分别求出，联立可得到点的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】（1）因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，所以，又，得，又因为，所以，所以双曲线C的方程为.（2）（2）设AB直线方程为，则，代入双曲线方程整理得：，设，则， ，（i）而，所以，，则，所以 ；（ii）过M平行于OA的直线方程为，直线OB方程为与联立，得，即，则，所以，由，两式相除得，，则，所以 ，因为，所以，故P为线段MQ的中点，所以.【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了如何用表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力21．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值，无极大值(2)证明见解析 【分析】（1）由导数法求极值及单调区间即可；（2）先由零点存在定理说明存在两个零点，法一：由导数法证，，结合函数单调性即可证明；法二：由导数法证明证明当时，，再令代入不等式化简得证.【详解】（1）因为，，所以， 当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故有极小值，无极大值；（2）因为当时，，所以，所以，又时，；时，，所以有两个零点 ；法1：下面证明，，设，则，所以在上递增，又时，，所以对成立，所以得证 ，，令，则，，，∴.设，，则，所以在上递减，所以，所以，所以得证 ，因为函数区间单调递减，又，，，、、，所以 ；法2：下面证明当时，，设，，，所以在上递增，所以，所以，再设，，，所以在上递增，所以，所以，综上，当时， ，现有，所以，故得，故得，所以 .【点睛】证明零点所在区间问题：（1）可结合零点存在定理说明在区间端点处异号及函数单调性证明；（2）通过将结论不等式变形，构造成题设函数的形式，从而将问题转化为证明不等式成立. 如本题变形成，变形成，则可转化为证；（3）证明不等关系可通过构造函数，结合导数法证明.22．          ##【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体长、宽、高的值，可计算出该三棱锥的外接球半径，计算出的表面积与体积，利用等体积法可求得该三棱锥内切球的半径，利用球体的体积和表面积公式可求得结果.【详解】因为三棱锥每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为、、，如下图所示：则，，，解得，，外接球直径，其半径为，三棱锥的体积，在中，，，取的中点，连接，如下图所示：则，且，所以，，因为三棱锥的每个面的三边分别为、、，所以，三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，则，可得，所以该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.故答案为：；.