黄金卷05-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（永州、益阳、湘西土家族苗族自治州专用）

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【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（永州、益阳、湘西土家族苗族自治州专用）
第一模拟
（本卷共26小题，满分150分，考试用时120分钟）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)的相反数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简，然后根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：∵，的相反数是．
∴的相反数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值和相反数的意义，熟练掌握意义是解答本题的关键．
2．(本题4分)古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（    ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．(本题4分)2022年11月13日，第十四届中国国际航空航天博览会在珠海圆满落幕，本届航展参展规模远超预期、参展展品全领域覆盖、商贸交流活动成效显著.航展6天，共签订总值超过398亿美元的合作协议书，39800000000用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：；
故选：C．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．(本题4分)将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据俯视图的画法画出它的俯视图即可．
【详解】解：这个几何体的俯视图为：

故选：C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法及形状是正确解答的前提．
5．(本题4分)下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式的运算法则依次判断即可.
【详解】A.是一个完全平方式，结果应该为，故A选项错误，不符合题意.
B.是幂的乘方，结果应该为，故B选正确，符合题意.
C.是合并同类项，结果应该为，故C选项错误，不符合题意.    
D.是同底数幂相除，结果应该为，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项的法则是解题的关键.
6．(本题4分)一组从小到大排列的数据：2，5，x，y  ，2x，11，这组数据的平均数与中位数都是7，则这组数据的众数是（  ）
A．2 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】根据平均数与中位数的定义可以先求出x，y的值，进而就可以确定这组数据的众数．
【详解】∵一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11的平均数与中位数都是7，
∴平均数为（2+5+x+y+2x+11）=7
中位数为：（x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴这组数据的众数是5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平均数、众数与中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
7．(本题4分)下列四个命题中，是真命题的是（    ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【分析】根据矩形的判定方法、三角形外角的性质、平行线的性质、平行公理进行判断即可．
【详解】解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故A不符合题意；
B．三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题是假命题，故B不符合题意；
C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故C不符合题意；
D．平行于同一条直线的两条直线平行是真命题，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法、三角形外角的性质、平行线的性质、平行公理．
8．(本题4分)如图，直线被一组平行线所截，则下列比例式正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只需要证明得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
9．(本题4分)如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（      ）

A． B． C． D．10
【答案】A
【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN≅△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BD，
∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF≅△NEG（SAS)，
∴∠ENG=∠A=60°，
∴∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≅△BGN（SAS)，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，
∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH==1，EH=，
在Rt△ECH中，EC=，
∴GB+GC≥，
∴GB+GC的最小值为
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．(本题4分)已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.
【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，
∵点C到直线l的距离，半径为1，
∴的最小值是，
故选：B.

【点睛】此题考查公式的运用，垂线段最短的性质，正确理解公式中的各字母的含义，确定点P与点Q最小时的位置是解题的关键.
二、填空题(共32分)
11．(本题4分)函数的定义域是________.
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件列出不等式即可求解．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解题的关键．
12．(本题4分)将分解因式的结果为______．
【答案】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：


【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．(本题4分)方程组的解为_____．
【答案】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
①得：③，
②+③得：，
解得：，
将代入①得：，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练运用消元方法是解题的关键．
14．(本题4分)已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15．(本题4分)已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为___________．
【答案】
【分析】根据题意可求出圆锥底面周长，然后利用扇形面积公式即可求出圆锥的侧面积．
【详解】解：圆锥的底面周长为：，
∴圆锥侧面展开图的弧长为：，
∵圆锥的母线长，
∴圆锥侧面展开图的半径为：，
∴圆锥侧面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练运用圆锥的相关计算公式，本题属于基础题型．
16．(本题4分)如图，若直线（为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点，则常数的取值范围是______．

【答案】
【分析】根据函数的图象即可确定m的取值范围．
【详解】解：分段函数的图象如图：

故要使直线（m为常数）与函数的图象恒有两个不同的交点，
常数m的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的图象．通过数形结合的方法找到满足条件的m的范围即可．
17．(本题4分)如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为______．

【答案】6
【分析】根据，，结合勾股定理求出和的长度，过点C作于点M，交于点N，根据相似三角形高的比等于相似比即可进行解答．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴根据勾股定理可得：，
即，解得：，（舍），
∴，，
过点C作于点M，交于点N，

∵，
∴，
即，解得：，
∵四边形为正方形，
∴，即，
∴，
∴，
设正方形边长为y，
∵，，，
∴，，
∴，即，
，解得：，
∴正方形的边长为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理和解直角三角形等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．(本题4分)如图，的两个顶点、在上，的半径为2，，，若动点在上运动，，则的取值范围是______．

【答案】
【分析】连接，作，且，连接，，，证明得到，再根据勾股定理求得，然后根据两点之间线段最短求解即可．
【详解】解：如图，连接，作，且，连接，，，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
在中，，
根据两点之间线段最短得，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了圆的有关概念、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、等角的余角相等，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．

三、解答题(共78分)
19．(本题8分)计算：．
【答案】
【分析】先分别进行立方根、特殊角的正弦值、绝对值和零指数幂的运算，再加减运算即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、特殊角的正弦值、绝对值和零指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
20．(本题8分)先化简，再求值：，其中．
【答案】，12
【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：



∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和为0、及整式的化简求值．解决本题的关键是利用非负数的和为0确定a、b的值．
21．(本题8分)为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：1.414，1.732）

【答案】山高AB为546.4米
【分析】设AB=x，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．
【详解】设AB＝x，
由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
∴AB＝BC＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+400，
在Rt△ADB中，
∴，
∴，
解得：.
∴山高AB为546.4米.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及一元一次方程的解法，本题属于中等题型．
22．(本题10分)为有效落实国家“双减”政策，某中学通过设计科学化作业，达到控制作业总量，减轻学生负担的目的，学校随机抽查了部分学生平均每天写作业所用的时间，以下是根据抽查结果绘制的统计图表的一部分．
学生平均每天写作业时间分组统计表：
组别
写作业时间x
人数
A

m
B

10
C

n
D

14
E

4


请结合图表完成下列问题：
(1)在统计表中，______，______；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数为______；
(3)请补全频数分布直方图；
(4)若该校共有5000名学生，如果平均每天写作业时间在1.5小时以内，说明作业量对该生比较适中，请你估算这所学校作业量适中的学生人数．
【答案】(1)2，20；
(2)
(3)答案见解析
(4)3200人

【分析】（1）根据“组别”的频数和所占的百分比可求出调查总数，进而求出、的值；
（2）求出“组”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）根据频数即可补全频数分布直方图；
（4）求出样本中平均每天作业时间在1.5小时以内的人数所占调查人数的百分比，即可估计总体中的百分比，进而求出相应的人数．
【详解】（1）解：（人，（人，
（人，
故答案为：2，20；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：补全频数分布直方图如下：

（4）解：（人．
答：这所学校作业量适中的学生人数约为3200人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．(本题10分)如图，中，M为的中点，为的平分线，于D．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)14

【分析】（1）延长，交于点E，通过证明≌，得到，，进而得到为的中位线，即可得证；
（2）利用勾股定理得到线段的长度，再结合（1）的结论，即可求出线段的长度．
【详解】（1）解：如图，延长，交于点E，

∵平分，
∴，
在与中，

∴≌，
∴，，
即点D为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的定义及性质，根据题目的提示，正确做出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
24．(本题10分)综合与实践
问题情境：“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套A型号的“文房四宝”的标价比B型号的“文房四宝”的标价高30%，若按标价购买需花费4300元，其中购买B型号“文房四宝”花费3000元．

问题解决：
(1)求每套B型号的“文房四宝”的标价．
(2)若经过与店主协商，考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”九折，B型号“文房四宝”八折的优惠价购入，则购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费多少元？
(3)一段时间后，由于传统文化广受关注，另一所学校想要购入A，B两种型号“文房四宝”共100套，店主继续以（2）中的折扣价进行销售，已知A，B两种型号的“文房四宝”每套进价分别为67元和50元，若通过此单生意，该店获利不低于3800元，则该校至少买了多少套A型“文房四宝”？
【答案】(1)100
(2)3570
(3)40

【分析】（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买A，B两种型号“文房四宝”共40套．列出分式方程，即可求解；
（2）算出打折后A型号的“文房四宝”需花费和打折后B型号的“文房四宝”需花费，即可求出总费用；
（3）该校购买了y套A型“文房四宝”，则购买了套B型“文房四宝”，根据该店获利不低于3800元，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A型号的“文房四宝”的标价为元．
根据题意得：

解得：
经检验：是分式方程的解
答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元．
（2）由（1）得：每套A型号的“文房四宝”的标价为130元，
∴购买A型号的“文房四宝”共（套），
购买B型号的“文房四宝”共（套）
打折后，A型号的“文房四宝”需花费：（元）
打折后，B型号的“文房四宝”需花费：（元）
∴购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费（元）
答：购买原定数量的A，B型号“文房四宝”共需花费3570元
（3）由（2）得：打折后每套A型号的“文房四宝”的售价为：（元）
打折后每套B型号的“文房四宝”的售价为：（元）
设该校购买了y套A型“文房四宝”，则购买了套B型“文房四宝”，
由题意得：
解得：
答：该校至少买了40套A型“文房四宝”．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系或者不等关系，列出方程和不等式．
25．(本题12分)如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点，顶点为点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上有一点，连接、，当时，求点坐标．
【答案】(1)
(2)不存在值，使得,理由见解析
(3)，或

【分析】（1）在中，求出，，用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）由，得，，而，即得或，当时， ，当时，，即可知不存在值，使得；
（3）设抛物线对称轴交轴于，过作于，由可得，抛物线对称轴为直线，由，，知是等腰直角三角形，设，可得，解得，从而可得，即得，或．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：不存在值，使得，理由如下：
由得：，
整理得，
直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，
，为的两个实数解，
，，
，
，即，
解得或，
当时，一元二次方程，根的判别式，
此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点，
不符合题意，舍去，
当时，一元二次方程，根的判别式，
此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点，
不符合题意，舍去，
不存在值，使得；
（3）解：设抛物线对称轴交轴于，过作于，如图：

由可得，抛物线对称轴为直线，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，，
在中，，
，
解得，
，
，
，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．
26．(本题12分)如图1，在中，，是上一点（不与点，重合），过点作于点，连接并延长交的外接圆于点，连接，，．
   
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)如图2，，．
①若，求的长．
②求的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②

【分析】（1）由等弧所对的圆周角相等得，由余角的性质得，进而可证结论成立；
（2）通过证明，得，由补角的性质可证，等量代换得，进而可证；
（3）①由，结合勾股定理求出和，由得，设，利用求出，再利用勾股定理即可求出的长；
②通过证明，可得，设，表示出和，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）①∵，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
设．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴A，C，P，D四点共圆，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的知识，以及二次函数的性质，熟练掌握圆的性质，相似三角形的判定，以及二次函数的性质是解答本题的关键．