2023年吉林省长春市九台区第二十二中学中考数学一模试卷（含答案）

2023年吉林省长春二十二中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中：、、，，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个位的量子计算机的数据处理速度约是目前世界上最快的“太湖之光”超级计算机的倍其中数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，沿的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从上取一点，取，测得，，点、、在同一直线上，那么开挖点离点的距离是米．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，作，，；以为圆心，长为半径画弧，交斜边于点；以为圆心，以长为半径画弧，交于点若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在菱形中，是对角线上的一点，过点作，，若，，则图中阴影部分的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在▱中，轴，点、在反比例函数的图象上，若▱的面积是，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：______．

10.  已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是        ．

11.  如图，五边形是正五边形，过点作的垂线交于点，则       

12.  如图，在扇形中，，，若以点为圆心，为半径画弧，与交于点，则图中阴影部分的面积和是        ．

13.  如图，将沿直线翻折，使点与边上的点重合，若，，则______．

14.  如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，直线平行于轴，交抛物线于点，为轴上任意一点，若，，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
今年是农历癸卯年，即兔年，如图，现有三张正面印有不同兔图案的不透明卡片、、，卡片除正面图案不同外其余均相同将三张卡片正面向下洗匀，小希从中随机抽取一张卡片，记下图案并放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张请用画树状图或列表的方法，求小希两次抽出的卡片图案相同的概率．
 

17.  本小题分
九年二班计划购买、两种相册作为毕业礼品，已知种相册的单价比种相册的单价多元，买册种相册与买册种相册的费用相同，求、两种相册的单价分别是多少元？

18.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点每个小正方形的边长均为，点、均在格点上在图、图给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
在图中，以线段为腰画一个等腰直角；
在图中，以线段为边画一个四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，并且其中一个内角为．
 

19.  本小题分
如图，在四边形中，，平分，，．

如图，求证：；
如图，当、、三点在一条直线上时，，则四边形的面积是        ．

20.  本小题分
某校为培养学生的个性特长，准备组建四个兴趣小组．规定七年级每名学生至少参加个兴趣小组，可以兼报多个兴趣小组．该校调查了七年级若干名学生的报名情况，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图：

根据图中信息，解答下列问题：
本次共调查了______名学生；
在扇形统计图中，部分所对应的扇形圆心角是______度；
补全条形统计图；
若该校七年级有名学生，估计报名参加个兴趣小组的学生约有多少人？

21.  本小题分
货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为单位：，货车、轿车与甲地的距离为单位：，单位：，图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．
货车行驶的速度为______；
求所在直线的函数解析式；
直接写出两车出发多长时间相距．

22.  本小题分
【问题情境】如图，在正方形中，为边上一点不与点、重合，垂直于的一条直线分别交、、于点、、判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题探究】在“问题情境”的基础上，如图，若垂足恰好为的中点，连结，交于点，连结，并延长交边于点则的大小为度．
 

23.  本小题分
如图，在中，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，过点作的垂线交于点，以为边向上作矩形，点在或的延长线上，，当点与点重合时点停止运动，设点运动的时间为秒．
求的长；
当平分矩形的周长时，求的值；
当点在的直角边的垂直平分线上时，直接写出的值；
如图，当点在的延长线上时，、分别交边于点、，当与图中某个三角形全等时，求的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线为常数．
若点在抛物线上．
求抛物线的表达式；
当为何值时随的增大而减小？
若，当抛物线的最低点到轴的距离恰好是时，求的值；
已知、，连结当抛物线与线段有交点时，该交点为点不与、重合，将线段绕点顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形当抛物线在矩形内部包含边界图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
、、，这些数中，最小的是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】

解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形有一条公共边．
故选A．

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选：．
A、把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
B、根据完全平方公式计算；
C、根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算；
D、把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握公式、运算性质和法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
是直角三角形，
，
开挖点离点的距离．
故选：．
根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，再根据三角函数的知识解答．
本题考查了邻补角的定义，三角函数的知识，熟记性质并判断出是直角三角形是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
由勾股定理得，
，
，
，
，
故选：．
根据题意结合勾股定理求出的长，由得出，再根据，即可求出的长．
本题主要考查勾股定理的知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
，，
、都是等边三角形，
，
，，，，
，，，，
四边形、四边形都是平行四边形，
，，，，
，，，，
，
图中阴影部分的周长为，
故选：．
由菱形的性质得，，则、都是等边三角形，所以，再证明四边形、四边形都是平行四边形，则，，，，即可求得，，，，所以图中阴影部分的周长为．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明、都是等边三角形是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是平行四边形，▱的面积是，
的面积▱的面积，，
轴，
，
故选：．
连接，根据平行四边形的性质得到的面积▱的面积，，于是得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
解得，
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先利用多边形的内角和公式求出正五边形中每一个角的度数，再根据垂直定义可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

以点为圆心，为半径画弧，与交于点，，
，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：
连接，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出阴影部分的面积扇形的面积，再根据扇形的面积公式求出扇形的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能求出阴影部分的面积扇形的面积是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题可得，，，
，
中，，
，
，
又，
∽，
，即，
，
故答案为：．
先由平角的性质及三角形内角和定理可得到，由相似三角形的判定定理可得到∽，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得到的长．
本题考查的是图形的翻折变换，相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

14.【答案】 

【解析】解：点是抛物线与轴的交点，直线平行于轴，交抛物线于点，
、关于对称轴对称，
，，
，
，
对称轴为直线，
，
，
，
故答案为．
根据的面积求得，即可求得对称轴，根据的面积即可求得的纵坐标，从而求得的坐标．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得三角形的高是解题的关键．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

16.【答案】解：根据题意列表如下：

共有种等可能结果，其中两次抽出的卡片图案相同有情况，
小希同学两次抽出的卡片图案相同的概率为：． 

【解析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片图案相同情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．会列表和画树状图是解题的关键．
 

17.【答案】解：设种相册的单价是元，种相册的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种相册的单价是元，种相册的单价是元． 

【解析】设种相册的单价是元，种相册的单价是元，根据“种相册的单价比种相册的单价多元，买册种相册与买册种相册的费用相同”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，等腰直角即为所求．
如图所示，四边形即为所求．
 

【解析】利用网格，取格点，使，且即可．
作平行四边形，且满足对角线与边垂直且相等即可．
本题考查作图应用与设计作图、等腰直角三角形、中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握等腰直角三角形的性质、中心对称图形、轴对称图形是解答本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：，平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
解：，平分，
，，
，
，
，
是斜边的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积，
的面积菱形的面积，
四边形是平行四边形，
的面积的面积，
四边形的面积菱形的面积的面积．
故答案为：．
证明四边形是平行四边形，进而可以解决问题；
首先证明是斜边的中线，再证明四边形是菱形，然后根据菱形和平行四边形的面积公式即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

20.【答案】解：；
；
类型人数为名，
补全图形如下：

人，
答：估计报名参加个兴趣小组的学生约有人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由类型人数及其所占百分比可得总人数；
用乘以类型人数所占比例即可；
根据四个类型人数之和等于总人数求出类型人数即可补全图形；
用总人数乘以样本中类型人数所占比例即可．
【解答】
解：本次调查的学生总人数为名，
故答案为：；
在扇形统计图中，部分所对应的扇形圆心角是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

21.【答案】 

【解析】解：由图象可得，货车行驶的速度为：，
故答案为：；
由题意可得所在直线为关于的正比例函数，
设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
；
则时，，
点的坐标为．
轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶，
轿车行驶后需．
点坐标为：．
设线段所在直线的函数表达式为，
将点，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
设段的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
．
当轿车休息前与货车相距时，有，
，
解得：；
当轿车休息后与货车相距时，有，
，
解得：．
故答案为：或．
观察图象，用点的纵坐标除以点的横坐标即可求得答案；
待定系数法求出的解析式，再根据点的纵坐标为求得其横坐标，即可得解；
轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶，可得轿车行驶后需，从而可得点的坐标，再结合点的坐标，用待定系数法可求得答案；
先用待定系数法求出段的解析式，然后分两种情况列方程求解即可：当轿车休息前与货车相距时；当轿车休息后与货车相距时．
本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合、分类讨论并明确行程问题的基本数量关系，是解题的关键．
 

22.【答案】解：【问题情境】线段、、之间的数量关系为：；理由如下：
四边形是正方形，
，，，
过点作分别交、于点、，如图所示：

四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
【问题探究】连接，过点作，分别交、于点、，如图所示：

四边形是正方形，
四边形为矩形，
，，，
是正方形的对角线，
，
是等腰直角三角形，，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即，
故答案为：． 

【解析】【问题情境】证明四边形为平行四边形和≌，则，而，故D；
【问题探究】证明是等腰直角三角形，得到，，在证明≌，得到是等腰直角三角形，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，
，，，
，
的长为．
如图，交于点，交于点，连结交于点，
四边形是矩形，
，，，，，
，，
当时，则≌，
，
，
，
平分矩形的周长，
于点，
，
，
，：：：：：：，，
，，
，
，，
，解得，
的值为．
如图，延长交于点，则，
，
当点在的垂直平分线上时，则，
，
四边形是矩形，
，
，解得；
如图，点在的垂直平分线上，
，
是的垂直平分线，
，
，解得，
综上所述，的值为或．
如图，≌，则，
，
，解得；
如图，≌，则，
，解得；
如图，≌，则，
，解得，
综上所述，的值为或或． 

【解析】由，，，根据勾股定理求得；
设交于点，交于点，连结交于点，可证明当时，则≌，得，则，此时平分矩形的周长，由，：：：：，可求得，，则，于是得，求得；
分两种情况，一是点在的垂直平分线上，则，得；二是点在的垂直平分线上，则，得；
分三种情况，一是≌，则，所以，得；二是≌，则，所以，得；三是≌，则，所以，得．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、锐角三角函数与解直角三角形、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

24.【答案】解：将点代入中，
得，解得，
故抛物线的表达式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小；
，
抛物线顶点坐标为，
当时，抛物线的最低点是顶点，
，
解得或舍去；
当时，，解得，
．
综上：或；
、，
所在直线解析式为，
将代入，得，
点坐标为，
当点在点下方时，，
解得，
，
点横坐标为，
的横坐标为，
的坐标为，
当点在点上方时，，
解得，
当，抛物线经过点时，将代入抛物线解析式得：
，
解得或舍，
抛物线与直线交点为，
当时，抛物线与矩形交点最高点为点，最低点纵坐标为，
时，解得舍．

当点为最高点，抛物线与交点为最低点时，
，
解得舍或．

当点在点下方时，，
解得，
当时，抛物线经过点时，，
时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为，最低点纵坐标为点纵坐标为，
当时，．

当时，抛物线与直线交点为最高点，点为最低点，
当时，解得舍或．

综上所述，或或． 

【解析】将点代入解析式，即可求解；
根据二次函数的性质即可求解；
求出顶点坐标，由题意列出方程即可求解；
分类讨论点在上方与点在下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，旋转的性质等知识，利用数形结合以及分类的思想解决问题是解题的关键．