2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期末数学（理）试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．某职校选出甲､乙､丙等6名学生参加职业技能比赛，并决出第1~6名的名次（无并列）.甲､乙､丙3名学生一同去询问成绩，评委对甲说：很遗憾，你和乙都没有得到冠军，对乙说：你当然不是最后两名，对丙说：你比甲和乙都好，但也不是冠军.从这个人的回答中分析，6人的名次情况共有（    ）

A．72种 B．36种 C．96种 D．48种

【答案】D

【分析】由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，然后利用分步分类计数原理求解即可

【详解】由题意，知甲､乙､丙都不是第1名且乙不是最后两名，丙比甲和乙都好，则丙只能是第2名或第3名，

当丙是第2名时，乙只能是第3名或第4名，甲只能是3至6名中除乙外的3个名次中的一个，所以有种情况；

当丙是第3名时，乙只能是第4名，甲只能是第5名或第6名，所以有种情况.

故共有种不同的情况.

故选：D.

2．已知，设展开式中含的奇次幂的项之和为，当时，等于

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二项式定理展开式，可先确定系数，再代入求得项的值，即可求得.

【详解】因为

则展开式中含的奇次幂的二项式系数分别为，

当时，含的奇次幂的项之和为

，

故选：B.

【点睛】本题考查了二项式定理展开式中项的求法，注意项的系数与二项式系数的符号，属于基础题.

3．若随机变量满足，.则下列说法正确的是（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

【答案】D

【分析】依据随机变量的数学期望与方差的运算规则求得和的值即可解决

【详解】随机变量满足，，

则，，据此可得，.

故选：D

4．设函数的导数为，若，则的值为（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】C

【解析】直接利用导数的定义公式，计算得到答案.

【详解】.

故选：.

【点睛】本题考查了导数的定义，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为

A． B． C．1 D．无法确定

【答案】B

【详解】由于函数是奇函数，

则恒成立，解得，

又是定义在上的奇函数，

则是关于原点对称的区间，

即，得，所以，

从而.

故选：B.

6．学校食堂分设有一､二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的概率为0.6，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为0.7，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为（    ）

A．0.18 B．0.28 C．0.42 D．0.65

【答案】D

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设为“第一天去一餐厅用餐”，为“第一天去二餐厅用餐”，为“第二天去一餐厅就餐”；

则,,,

由全概率公式可知

,

故选：D.

7．某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（    ）

A．216种 B．108种 C．72种 D．36种

【答案】A

【分析】根据题意，先安排4名男主任医师，有，再将三名女医生安排到这3家医院后，根据乘法原理求解即可.

【详解】由题，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有种方法，

再将3名女主任医师安排到这3家医院，有种方法，

所以根据乘法原理，共有种不同的安排方法.

故选：A

8．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件列方程求出公比，从而可求出

【详解】，整理得.

因为等比数列的各项均为正数，

所以公比，则，所以，即，

所以.

故选：A.

9．定义在R上的函数的导函数为，且的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值

【答案】D

【分析】先由函数图像得到在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.

【详解】由图像知：当时，，当时，，当时，，

则函数在区间上单调递增，A错误，B错误；

函数在区间上单调递减，C错误；函数在单减，在上单增，在处取得极小值，D正确.

故选：D.

10．随机变量ξ的分布列如表：

其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（　　）A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据a，b，c成等差数列，分布列的概率和为1，，构造等量关系，求解a，b，c，利用方差的公式即得解.

【详解】∵a，b，c成等差数列，E（ξ），

∴由变量ξ的分布列，知：，

解得a，b，c，

∴D（ξ）＝（﹣1）2（0）2（1）2（2）2．

故选：D．

【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列研究随机变量的期望和方差，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，

11．已知e为自然对数的底数，若对任意，总存在唯一的，使得，成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出（）中与一一对应的的取值集合，再求得（）的值域，由集合之间的关系可得结论．

【详解】设，，，，

，时，，递减，时，，递增，∴，，，∴

在上是减函数，∴，

由题意，∴，即．

故选：B．

【点睛】本题考查函数恒成立问题，通过分析函数值域之间的关系得出不等关系．解题时要注意题中任意，存在，唯一等词语的含义．

12．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得，得到的正确结论是（    ）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、

C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】B

【分析】根据临界值表，由的取值，可直接得出结果．

【详解】由，可得有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

故选：B．

二、填空题

13．若，，则_______．

【答案】

【分析】根据两点分布概率可求得，根据数学期望的性质可求得结果.

【详解】由题意得：    

故答案为：

【点睛】本题考查数学期望的性质应用，关键是明确，属于基础题.

14．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数大于3”为事件A．“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B，则_________．

【答案】

【解析】先利用古典概型求得，，再代入条件概率公式求解.

【详解】满足事件A的情况有红骰子向上的点数为4，5，6，

所以 ，

同时满足事件AB的情况有红骰子向上的点数为4，5，6，蓝骰子对应点数为4，3，2，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这3名员工的工作视为相同的工作)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.

【答案】360

【分析】理解题意，分两步安排，先安排接待工作，再安排讲解工作. 安排接待工作时，甲和乙至多安排1人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数.

【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有种，

一类是甲乙安排1人有种，

再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共种，

故不同的安排方案共有种.

故答案为：360.

【点睛】本题考查了排列、组合的综合应用，考查了分析理解能力，分类讨论思想，属于中档题.

16．函数与有公切线，则实数的值为__________．

【答案】4

【分析】根据题意，设两个函数的切点分别为、，求出函数的导数，由的导数分析可得的值，即可得公切线为，据此可得关于的方程组，解可得的值，即可得答案．

【详解】根据题意，函数与有公切线，

设切点分别为，，，，

；

所以且，

所以公切线为，

则有，

设，

则在 上递增，

又，故，，

故答案为：4

三、解答题

17．已知.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）设的展开式中前三项的二项式系数之和为M，的展开式中各项系数之和为N，若，求实数a的值.

【答案】（1）

（2）3，-1

【分析】（1）当或时，二项式系数最大，写出对应的项即得解；

（2）由题意：，即得解.

【详解】（1）

当或时，二项式系数最大

即：.

（2）由题意：

若，即

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

18．为了解学生是否会参加定向越野活动进行调查.随机抽取了200位中小学生进行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40人，准备参加定向越野的中学生有40人.

（1）完成下列列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关.

（2）现将小学生分组进行比赛．两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图视为一次），达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”、小超与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为，，且，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时，的值.

附：，．

【答案】（1）有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关；（2）理论上至少要进行27轮游戏，此时．

【分析】（1）利用题中的数据完成列联表，计算的值，对照临界值表即可得到答案；

（2）先求出他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率，利用，结合二次函数的性质即可得到的最大值和最小值，再利用换元法求出的最大值，从而得到的最小值以及此时，的值．

【详解】解：（1）由题意可得，列联表如下：

由表中的数据可得，，

所以有的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关；

（2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为，

则，

因为，所以，

因为，，

所以，

又，所以，

所以是关于的二次函数，

则当时，有最大值，

当或时，有最小值，

所以，

令，则，

所以，当时，的最大值为，

他们小组在轮游戏中获“优秀小组”次数满足，

因为，故，

所以理论上至少要进行27轮游戏，此时，，故．

19．各项均为正数的等比数列中，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记为数列的前项和，，求的值.

【答案】(1)

(2)6

【分析】（1）利用等比数列的通项公式，带入等式即可求出则可求出答案.

（2）先写出数列的通项公式，即可判断其为等差数列.则可写出，带入则可解出的值.

【详解】（1）∵是正项等比数列，不妨设且；

由题意得：

解得：

∴

（2）记

由（1）知：

∴是以0为首项，公差为1的等差数列

∴

由题意得：

解得： (舍）

所以的值为6

20．已知函数在与处都取得极值.

(1)求，的值；

(2)若方程有三个实数根，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点列出方程，求解验证作答.

（2）求出函数的极大值和极小值，再根据三次函数的图象特征列不等式即可求解作答.

【详解】（1）由求导得：，

依题意，，解得，此时，，

当或时，，当时，，即，是函数的极值点，

所以.

（2）由（1）知，，令，，

由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，

当时，取极大值，当时，取极小值，

因方程有三个实数根，则函数有三个零点，

于是得，解得，

所以实数的取值范围是.

21．已知数列满足，数列满足.

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析，；

(2)﹒

【分析】(1)证明为常数即可证明是等差数列，求出通项公式即可求出的通项公式；

(2)根据错位相减法即可求数列的前n项和.

【详解】（1）由，得，

由得，，

故，

∴{bn}是等差数列，首项为，公差为，

∴，

∴；

（2），

，

两式相减得：

∴﹒

22．已知函数．

(1)求证：在上单调递减

(2)若对于任意，都有恒成立，求正实数a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导函数得时，，由此得证；

（2）将问题等价于对于任意恒成立，令，求导函数，令，分，两种情况，运用导函数讨论函数的单调性和最值，从而得函数的单调性和最值，由此可求得正实数a的取值范围．

【详解】（1）证明：因为，则，

又，所以，

所以，故在上单调递减．

（2）解：不等式等价于对于任意恒成立，

即对于任意恒成立，

当时，则有对于任意恒成立，即，

令，则，

令，

所以，

若，则在上恒成立，故在上为减函数，

故，故在上为减函数，

所以．

若，则，

因为为不间断函数，故存在，使得时，，

故当时，，这与题设矛盾．

所以，又，故正实数a的取值范围为．