2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分别求出集合，再进行交集运算即可求解.

【详解】由题意知: ，

所以．

故选：D

2．复数（其中i为虚数单位），则（    ）

A． B．2 C． D．5

【答案】A

【分析】，根据复数的模代入计算．

【详解】∵，则

故选：A．

3．已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】在不等式两边平方并化简得，判断出角的属性，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】三角形中，“”，可得为锐角，此时三角形不一定为锐角三角形.

三角形为锐角三角形为锐角.

三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查必要而不充分条件的判断，同时也考查了平面向量数量积的应用，考查推理能力，属于中等题.

4．已知双曲线，直线过左焦点交双曲线于，两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】本题首先可以考虑“垂直轴”这种情况，通过计算得出离心率，然后考虑“直线斜率存在”这种情况，可先设出直线的方程，然后利用计算求出离心率，最后通过以上两种情况即可得出结果．

【详解】①当垂直轴时，，即，从而有

，故；

②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，交双曲线于，，右顶点为，由条件知，即

由 ，

，，

，

即，

，即

从而，，故，

综上所述，故选C．

【点睛】本题考查双曲线的相关性质，主要考查过双曲线的焦点的线段的相关性质以及圆的相关性质，可利用圆的半径相等以及圆的直径所对应的圆周角是直角列出方程求解，考查方程思想，考查计算能力，是难题．

5．随机变量，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正态分布的对称性计算即可求解

【详解】因为随机变量

所以正态曲线关于直线对称

所以

因为

所以

所以 ，

故选：A.

6．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设的坐标为，函数的导数，根据条件可得，可解得，即，再根据双曲线的定义可求出其，从而得到离心率.

【详解】设的坐标为，由左焦点，所以

函数的导数，

则在处的切线斜率，

即，得，则，

设右焦点为，则，即，

，∴双曲线的离心率.

故选：D

7．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【答案】B

【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．

或

，

,可知

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．

8．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝lgx，h（x）＝log3x，直线y＝a（a＜0）与这三个函数的交点的横坐标分别是x1、x2、x3，则x1、x2、x3的大小关系是（　　）

A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1

【答案】A

【分析】利用取特殊值法解决，取a＝﹣1，计算出直线y＝a（a＜0）与这三个函数f（x）＝lnx，g（x）＝lgx，h（x）＝log3x，的交点的横坐标，从而解决问题．

【详解】取a＝﹣1，则直线y＝a（a＜0）与这三个函数

f（x）＝lnx，g（x）＝lgx，h（x）＝log3x，的交点的横坐标分别是：

，，，

故有：x2＜x3＜x1．

故选A．

【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，其中根据对数的运算性质特殊值法代入，计算出对应的x值，是解答本题的关键．

9．已知函数的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a-b的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b的取值范围．

【详解】由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，

f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，

由3x2+4ax+3b＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，

即，令z＝2a﹣b，

∴转化为在约束条件为时，求z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），

目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（，0）处取得最小值，

因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（，）．

故选B．

【点睛】本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果 ，则求的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正四棱锥的体积公式，列出方程，求得，再利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】由题意，设外接球的半径为，则，

则正四棱锥的体积为，解得，

所以球的表面积为．

【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及锥体的体积、球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，结合锥体的体积公式和球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力。

11．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和值域逐项判断可得答案.

【详解】函数的定义域为，

且，，所以函数为偶函数，

排除BC选项；当时，，则，排除D选项.

故选：A.

12．如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合几何关系得到关于a,b,c的齐次方程，然后求解椭圆的离心率即可.

【详解】设椭圆的右端点为，根据对称性可知，那么，

又根据椭圆的对称性可知，点关于轴对称，，

设点的横坐标是，代入椭圆方程得，解得，

即 ，，

因为，所以，即，可得，即，即，故选C.

【点睛】本题考查了椭圆性质的综合，其中求圆锥曲线的离心率是重点考查内容，一般可利用几何性质转化为关于的齐次方程，再利用化简求解，本题的关键是利用椭圆的对称性，可知点关于轴对称，以及点关于轴对称，这样得到点的坐标，以及这样的关键条件.

二、填空题

13．设O是坐标原点，已知=(k，12)，=(10，k)，=(4，5)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为________.

【答案】11或-2

【分析】先求出和的坐标，利用向量和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．

【详解】由题意得=-=(k-4，7)，

=-=(6，k-5)，

所以(k-4)(k-5)=6×7，

k-4=7或k-4=-6，

即k=11或k=-2.

故答案为11或-2.

【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算．属于基础题．

14．直线与圆相交于两点则___________.

【答案】或##或

【分析】由圆的弦长公式，结合点到直线的距离可得答案.

【详解】设圆心到直线的距离为，则

又圆，直线，，

即，解得或

故答案为：或

15．在的二项展开式中,若常数项为60,则n等于____.

【答案】6

【分析】利用二项展开式的通项公式列出通项，化简后令未知数x的指数等于0，从而确定通项公式中r与n的等式，再根据常数项等于60，得到另一个r与n的等式，解方程组即可得.

【详解】   n，r∈N*

得 ，解得n=6

【点睛】本题实际考查了二项展开式的通项公式的应用，求展开式中特定项，以及零指数幂和组合数的相关运算知识的掌握.

16．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据题意，得到，从而转化为存在，使，判断出，从而分离出，利用导数得到在的范围，再得到关于的不等式，解得的范围.

【详解】对任意都存在使成立，

所以得到，

而，所以，

即存在，使，

此时，，

所以，

因此将问题转化为

存在，使成立，

设，则，

，

当，，单调递增，

所以，

即，所以，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据不等式的恒成立和存在性问题，利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.

三、解答题

17．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.

（1）求an和bn；

（2）是前项和，求和.

【答案】（1），；（2），

【分析】（1）利用已知及等差数列前n项和公式可得公差，进一步可得数列的通项，利用等比数列的通项公式结合已知得到公比即可得到通项；

（2）直接利用等差、等比数列的前n项和公式计算即可.

【详解】（1）设数列的公差为，由题意，，即，

解得，所以，

设数列的公比为，则，解得，所以.

（2），

【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和的计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.

18．年月日，在全国脱贫攻坚总结表彰大会上，习近平总书记庄严宣告：我国脱贫攻坚战取得全面胜利．目前，河南省个贫困县已经全部脱贫摘帽，退出贫困县序列．年起，我省某贫困地区创新开展产业扶贫，响应第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加．该地的经济收入变化及构成比例如图所示：

（1）根据以上图表，试分析：与年相比，年第三产业与种植业收入变化情况；

（2）求经济收入关于的线性回归方程，并预测年该地区的经济收入．

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【答案】（1）答案见解析；（2）；年该地区的经济收入预测为百万元．

【分析】（1）根据第三产业占比、数量、增长情况进行判断即可；

（2）根据题中所给的公式进行求解，并做出预测即可.

【详解】解：（1）①与年相比，年第三产业的收入占比大幅度增加；

②年第三产业的收入为百万元，年第三产业的收入为百万元，收入大幅度增加；

③与年相比，种植业收入占比减少，但种植业收入依然保持增长；

（2）由表格中的数据可知，，，

，，

则，

所以，

故经济收入关于的线性回归方程为，

当时，，则年该地区的经济收入预测为百万元．

19．已知函数

(1)求函数的的最小正周期与单调递增区间；

(2)若锐角三角形中，角的对边分别为，且，求面积的取值范围.

【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为；

(2).

【分析】(1)利用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化函数为即可列式求解.

(2)利用(1)中函数求出角A，再利用正弦定理及面积公式求出面积的函数关系，借助三角函数性质计算作答.

【详解】（1）依题意，函数，

于是得函数的的最小正周期为，

，解得：

所以的单调递增区间为.

（2）由(1)及得：，而是锐角三角形，即，，

则，解得，于是有，，解得，

而，由正弦定理得：，即，

所以，

由得：，即，有，于是得，

所以面积的取值范围是.

20．如图，四棱锥的底面是平行四边形，底面，，

(1)证明：AC⊥CD；

(2)若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直得到，再由得到，即可证明平面，从而得到；

（2）由平面，即可得到，再由等腰三角形三线合一得到，即可得到平面，则即为直线与平面所成的角，再根据锐角三角函数计算可得；

【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以，

因为，所以，，平面，

所以平面，因为平面，

所以．

（2）解：由（1）平面，平面，所以，，

因为，为的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，因为，所以，，所以，所以，因为，所以，即直线与平面所成的角为；

21．已知抛物线，焦点到准线的距离为4.

（1）求抛物线的方程；

（2）若抛物线上存在两点关于直线对称，且两点的横坐标之积为2，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)根据题干得到，进而得到方程；（2）设存在两点分别为，，则根据对称性得到直线的斜率为，代入AB的中点坐标得到，再由两根的和与积得到参数值.

【详解】（1）由题意可得抛物线的焦点到准线的距离为，.

抛物线方程是.

（2）设存在两点分别为，，则直线的斜率，

又两点在抛物线上，

，

.

又的中点在直线上，

即，

.

，

即.

又，，

.

【点睛】当题目中已知直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，可以设出直线和双曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程中，运用点差法，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．（2）“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．

22．已知函数．

（Ⅰ）设是的极值点，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，求证：．

【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，单调递增区间为 ；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】（Ⅰ）由极值点的概念可得，再求不等式、的解集，即可得解；

（Ⅱ）问题转化为证明，记，根据导数确定函数的单调性，求出的最小值，即可得证．

【详解】（Ⅰ）的定义域为，，

所以，解得，

所以，在上单调递增，且，

所以当时，；当时，；

所以的单调递减区间为，单调递增区间为；

（Ⅱ）证明：由可得，所以，

记，

则，在上单调递增，

令可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，

故

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．