2021-2022学年海南省新盈中学高二年级下册学期期中考试模拟数学试题【含答案】

2021-2022学年海南省新盈中学高二下学期期中考试模拟数学试题

一、单选题

1．下列各式正确的是（    ）

A． (为常数) B．

C． D．

【答案】C

【分析】由基本的求导公式可得解

【详解】 (为常数)； ；   ； .

错误

故选：C

【点睛】本题考查导数的求导公式，熟练记住常见函数的求导公式是关键,属于基础题

2．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（    ）

A．y=2x+1

B．y=2x-1

C．y=-2x-3

D．y=-2x-2

【答案】A

【分析】对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.

【详解】，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，

曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.

故选：A

3．已知，若，则x0等于（　　）

A．e2 B．e C．ln 22 D．ln 2

【答案】B

【分析】利用乘法求导法则求导，代入即可求解.

【详解】由可得：，所以，

故选：B

4．已知对任意实数，有，且时，，则时

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B

5．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）

A．[-1，+∞） B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）

【答案】C

【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

6．若函数在处取得极值，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.

【详解】因为，所以，

又函数在处取得极值，

所以，即．

此时，

当或时，，当时，，

故是的极大值点，故符合题意．

故选：D．

7．对任意的x∈R,函数不存在极值点的充要条件是(　　)

A． B．或

C．或 D．或

【答案】A

【详解】，对任意的x∈R,函数不存在极值点,只需

，选A.

8．如图是函数 的导函数的图象，则下列结论正确的是（　　）

A．在区间内是增函数

B．在区间内是减函数

C．在区间内是增函数

D．在时，取极小值

【答案】C

【分析】根据图象确定的正负，即可得函数的单调性.

【详解】由图象可知：当，时，，此时单调递减，

当和时， 此时单调递增，

对于A，在单调递减，单调递增，故A错误，

对于B，在单调递增，单调递减，故B错误，

对于C，在单调递增，故C正确，

对于D，时，取极大值，故D错误，

故选：C

9．若函数在区间上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为（    ）

A．-5 B．7 C．10 D．-19

【答案】A

【分析】利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可求得，再求函数在该区间的最小值.

【详解】，，

当时，，函数单调递减，

所以函数的最大值是，得，

函数的最小值是.

故选：A

10．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于(　　)

A．  B．  C．1 D．

【答案】D

【详解】函数y＝x2－1与x轴的交点为(－1,0)，(1,0)，且函数图象关于y轴对称，故所求面积为

S＝2＝2(x－x3)＝2×＝.

故选D

11．设f（x）＝则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用定积分的计算法则可求得结果.

【详解】由函数f（x）＝，则

.

故选：A.

12．如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，由曲线y＝sinx（ ）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据定积分求解曲边梯形的面积，结合几何概型的概率计算公式即可求解.

【详解】阴影部分的面积为，

由几何概型的概率公式可得：点落在阴影部分的概率是，

故选：A

13．由与直线围成的图形的面积是

A． B． C． D．9

【答案】C

【详解】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=﹣x2与直线y=2x﹣3的面积，即可求得结论．

详解：由y=﹣x2与直线y=2x﹣3联立，

解得y=﹣x2与直线y=2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）

因此，y=﹣x2与直线y=2x﹣3围成的图形的面积是

S= =（﹣x3﹣x2+3x）= ．

故答案为：C．

点睛：（1）本题主要考查利用定积分的几何意义和定积分求面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.

二、填空题

14．如果函数在区间内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是___________.

【答案】

【分析】由分离常数，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】，

依题意可知，在区间内有解，

，在内递增，所以.

故答案为：

15．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.

【答案】4

【详解】∵y′＝3x2＋2ax＋b，

∴或

当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝4

16．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为________．

【答案】##

【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则，即，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．

【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，即，

，，

，

圆柱体积的最大值为.

故答案为：.

17．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v（t）＝2－t（速度的正方向与x轴的正方向一致），则t＝3时，动点P移动的路程为________．

【答案】##

【分析】利用定积分的物理意义解答即可.

【详解】由得：，

即当时，P点向x轴正方向运动,

当时，P点向x轴负方向运动.

故t＝3时，点P运动的路程.

故答案为：.

三、解答题

18．计算下列定积分:

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)50

(2)

(3)

【分析】（1）（2）（3）根据牛顿-莱布尼茨公式求解原函数，即可代入上下限的值求解.

【详解】（1）

（2）

（3）

19．设函数，其中，且在x=3处取得极值.

(1)求函数的解析式：

(2)求在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，由，求出，得到解析式；

（2）在第一问基础上，得到故A点在上，，从而得到切线方程.

【详解】（1）.

因为在处取得极值，所以.

解得：，所以，经检验符合题意.

（2），

故A点在上，由（1）可知，

则，所以切线方程为.

20．已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.

（1）求实数，的值；

（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.

（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.

【详解】（1）的图象经过点,

①,

因为，则,

由条件，即②，

由①②解得.

（2），

令得或，

函数在区间上单调递增，

,

或，

或

【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.

21．若函数在处取得极值．

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间及极值．

【答案】（1）（2）单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，极大值为．

【详解】试题分析：（1）求出原函数的导函数，由函数在x=1时的导数为0列式求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入，求其导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用导函数在不同区间段内的符号求单调期间，进一步求得极值点，代入原函数求得极值．

试题解析：（1），由，得．

（2），．

由，得或．

当时；②当时或．

当变化时，的变化情况如下表：

因此，的单调递增区间是，单调递减区间是．

函数的极小值为，极大值为．

【解析】利用导数求过曲线上某点处的切线方程；利用导数研究函数的单调性