2021-2022学年河南省林虑中学（林州市分校）高一年级下册学期开学考数学试题【含答案】

2021-2022学年河南省林虑中学（林州市分校）高一下学期开学考数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合N、、，根据集合的包含关系即可判断正确答案.

【详解】或，

，，

∴，

故选：A.

2．若，则下列不等式成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.

【详解】对于A，因为，，故，故A错误．

对于B，因为，，故，故，故B错误．

对于C，取，易得，故C错误．

对于D，因为，所以，故D正确．

故选：D．

3．下列各组函数中，为同一函数的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】根据相等函数的概念依次判断选项即可.

【详解】A：的定义域为，

的定义域为，故A中的两个函数不是同一函数；

B：的定义域为，

的定义域为，故B中的两个函数不是同一函数；

C：，定义域为R，

的定义域为R，故C中的两个函数是同一函数；

D：与的解析式不同．所以D中的两个函数不是同一函数．

故选：C．

4．设，，若，则下列关系一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】比大小一种方法为取特值排除法，第二种就是理论证明法，对于这个题而言特值排除法可以利用.

【详解】由条件可知，所以，对数函数底数小于1，单调递减，则A不正确；若，，则B不正确；由指数函数的单调性可知，，则C正确；

若，，则，则D不正确．

故选：C.

5．已知角的终边经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.

【详解】由题意可知，

则,

故选：C.

6．若，则的最小值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故，的最小值为6．

故选：C．

7．已知函数，则（       ）

A．的最大值为3，最小值为1

B．的最大值为，无最小值

C．的最大值为，最小值为1

D．的最大值为3，最小值为-1

【答案】B

【分析】解方程可得函数与图象的交点坐标，画出函数的图象即可求出．

【详解】解：，

由与，

解得；

解得；

所以与的交点坐标为，，

因为，所以，

所以的图象如下图所示：

由图象，可知最大值为，无最小值，

故选：B．

8．函数的零点个数为（       ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.

【详解】由得：，即，解得，即，

所以函数的零点个数为2.

故选：C

9．为将“两山”理念落到实处，某地区大力开展植树造林．现该地区原有森林面积m亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是5年，为使森林面积达到5m亩以上，至少需要植树造林（       ）年．（参考数据：）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】C

【分析】由已知求出增长率，构造函数模型，结合对数的运算解不等式即可得解.

【详解】设增长率为，依题意可得，即，即

设为使森林面积达到5m亩以上，至少需要植树造林年,

则，即，即

即，

所以至少需要植树造林12年．

故选：C

10．函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性可排除D，取特殊值验证可排除A,B,即得答案.

【详解】函数满足：，

故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除D;

又 ,，故排除A,B;

故选：C.

11．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：

①；

②对任意，恒有成立；

③任取一个不为零的有理数对任意实数均成立；

④存在三个点，使得为等边三角形；

其中真命题的序号为（       ）

A．①②③ B．②③ C．②④ D．②③④

【答案】D

【分析】命题①，根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值，命题②和命题③，分为无理数和为有理数两种情况进行验证，命题④，结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证.

【详解】当为无理数时，，所以，当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，①错误；

当为无理数时，也为无理数，所以，当为有理数时，也为有理数，所以，②正确；

对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以，

当为有理数时，也为有理数，所以，

所以任取一个不为零的有理数，对任意实数均成立，③正确；

取，则，

此时，三点恰好构成等边三角形，④正确.

所以其中真命题的序号为②③④.

故选：D.

12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.

【详解】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.

二、填空题

13．若，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】一元二次不等式，对任意的实数都成立，与x轴最多有一个交点；由对勾函数的单调性可以求出m的范围.

【详解】由，得.由题意可得，，即.因为，所以，故.

故答案为：

14．函数的定义域是______.

【答案】

【分析】根据函数的定义域得到，解得答案.

【详解】由题意可得，解得或.

故答案为：

15．若函数有最小值，则a的取值范围为______．

【答案】

【分析】分和两种情况讨论，根据外层函数的单调性、内层函数的最值以及真数恒大于零可得出关于实数的不等式组，由此可解出实数的取值范围.

【详解】当时，外层函数为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数，，又，所以；

当时，外层函数为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数，

则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】作出函数的图象，设，求出的取值范围以及的值，由此可求得的取值范围.

【详解】作出函数的图象，设，如下图所示：

二次函数的图象关于直线对称，则，

由图可得，可得，解得，

所以，.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查零点有关代数式的取值范围的求解，解题的关键在于利用利用图象结合对称性以及对数运算得出零点相关的等式与不等式，进而求解.

三、解答题

17．已知全集，集合，集合．

(1)求集合及；

(2)若集合，且，求实数的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再应用集合的交并补运算求及.

（2）由集合的包含关系可得，结合已知即可得的取值范围．

【详解】(1)由得：，所以，则，

由，所以，．

(2)因为且，

所以，解得．

所以的取值范围是．

18．已知函数，且关于x的不等式的解集为．

(1)求实数b，m的值；

(2)当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据韦达定理求解即可；

（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.

【详解】(1)由题意得：，1是方程的根，由韦达定理得，

所以，又，解得．

所以，．

(2)由题意得，在上恒成立，令，只需即可，

由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立．

所以，则的取值范围是．

19．已知幂函数为偶函数．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值．

【答案】（1）的解析式为；（2）实数的值为2.

【分析】（1）由幂函数可知，在结合幂函数为偶函数进行取舍；

（2）根据二次函数的性质判断出函数在上的最大值为，代入求参数即可.

【详解】解：（1）由幂函数可知，解得或

当时，，函数为偶函数，符合题意；

当时，，不符合题意；

故求的解析式为

（2）由（1）得：

函数的对称轴为：，开口朝上

，

由题意得在区间上，解得

所以实数的值为2.

20．如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm．

(1)建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;

(2)求的最大面积以及此时的的值．

【答案】(1)，定义域为

(2)，的最大面积为

【分析】（1）由题意可得，再由可求出的取值范围，

（2）设，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，从而可求得，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】(1)因为，，矩形ABCD的周长为20cm，

所以，因为，所以，

解得．所以，定义域为．

(2)因为ABCD是矩形，所以有，．

因为是沿折起所得，

所以有，，因此有，

，所以≌，因此，．

设．而ABCD是矩形，所以，

因此．

在直角三角形ADP中，有，．

所以，

化简得，

当且仅当时取等号，即时，的最大面积为．

21．（1）化简：

（2）求值：

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据诱导公式化简求值即可得答案；

（2）根据指数运算法则运算求解即可.

【详解】解：（1）

（2）

22．已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断并证明函数的单调性；

（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．

【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）

【解析】（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；

（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；

（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.

【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，

即对定义域内任意恒成立，所以，即，

显然，又当时，的定义域关于原点对称．

所以为满足题意的值．

（2）结论：在，上均为增函数．

证明：由（1）知，其定义域为，

任取，不妨设，则

，

因为，又，

所以，所以，

即，所以在上为增函数．

同理，在上为增函数．

（3）由（2）知在上为增函数，

又因为函数在上的值域为，

所以，且，所以，

即是方程的两实根，   

问题等价于方程在上有两个不等实根，

令，对称轴

则，

即，解得．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.