2021-2022学年湖南省衡阳市第一中年高一年级下册学期创新班第一次月考数学试题【含答案】

2021-2022学年湖南省衡阳市第一中年高一下学期创新班第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列各组中，终边相同的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】分别求出各选项在范围内终边相同的角，比较即可.

【详解】对A，与终边相同，与终边相同，A错；

对B，与终边相同，与终边相同，B错；

对C，与终边相同，与终边相同，C对；

对D，与终边相同，与终边相同，D错.

故选：C

2．为了得到函数的图像，只需把的图像上的所有点（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位

【答案】B

【分析】由即可比较判断.

【详解】，故只需把的图像上的所有点向右平移个单位.

故选：B

3．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】通过函数的图象，求出，的值，利用周期公式求出的值，再根据五点法作图求出的值即可．

【详解】解：由函数的图象知，，

，

由五点法作图可得，且，

，

函数的解析式为．

故选：．

4．如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义求解.

【详解】因为小正方形的面积为1，所以小正方形的边长为1，

所以设直角三角形直角边为，

因为大正方形的面积为25，所以大正方形的边长为5，

所以由勾股定理得即，

解得（舍），所以.

故选：B.

5．已知，则的值是（    ）

A． B．不存在 C． 或 不存在 D．

【答案】C

【分析】结合倍角公式化简、因式分解，即可求的值.

【详解】由得，

故或.

故选：C

6．已知角和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据任意角三角函数的定义结合任意角的周期性逐项分析判断.

【详解】设角与标准单位圆的交点为，则与标准单位圆的交点为，

故，，A正确，C错误；

∵，B错误；

∵，D错误.

故选：A.

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由可得，根据角的范围可得到答案.

【详解】由题意知，

则，即，

所以，即，

又，，则，所以，

，，则

所以有即.

故选：A.

8．若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.

【详解】由题意，可得，，

因为，，可得，，

则

.

故选：C.

二、多选题

9．满足不等式的x的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由辅助角公式可将条件等价成，由整体法求解或者逐个代入检验即可.

【详解】由得，，

可解得，即，选项AD均符合.

故选：AD

10．已知函数，则（    ）

A．的最大值是2 B．的最小正周期为

C．在上是增函数 D．的图像关于点对称

【答案】AC

【分析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C，先求出的单调递增区间，即可判断.

【详解】解：对A，，

故当时，，故A正确；

对B，的最小正周期，故B错误；

对C，令，

解得：，

故的单调递增区间为：，

当时，的一个单调递增区间为：，

故在上单调递增，故C正确；

对D，令，

解得：，

故的对称中心为：，

令，

即，

解得：，

故不是的对称中心，故D错误.

故选：AC.

11．下列各式中，值为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】对A，由诱导公式及正弦和公式化简求值；

对B，由余弦和差公式、辅助角公式、正弦倍角公式化简求值；

对C，由辅助角公式化简求值；

对D，先去括号，由正切和公式化简得，通过讨论的单调性判断是否符合..

【详解】对A，，A对；

对B，

，B对；

对C，，C错；

对D，

设，∴单调递增，

又，∴，∴，D错.

故选：AB

12．若函数的最小值为，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】应用二倍角余弦公式可得，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论与区间的位置关系，求的值.

【详解】由题设，，

令，则，其开口向上且对称轴为，

当时，，则；

当时，，则(舍) 或 （舍）；

当时，，则；

综上，或.

故选：AC

三、填空题

13．求值：___________

【答案】

【分析】由诱导公式化简求值.

【详解】.

故答案为：.

14．如果，且，则的化简为_________

【答案】

【分析】先由条件判断角的范围，即可去绝对值化简.

【详解】∵，且，∴，

∴.

故答案为：.

15．已知，则___________

【答案】

【分析】先由和角公式得，再平方结合倍角公式及平方关系求解即可.

【详解】由得，即，两边同时平方得，

即，解得.

故答案为：.

16．，使得关于的不等式函数成立，则实数的取值范围是_________

【答案】

【分析】由三角恒等变化得出，再由的范围得出实数的取值范围.

【详解】因为

所以.

因为，所以.

要使得关于的不等式函数成立，只需.

故答案为：

四、解答题

17．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．

问题：若锐角满足________，求的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】

【分析】利用三角函数的诱导公式和恒等变换公式即可求解.

【详解】依题意，

若选①：则有，且为锐角，

因为，所以，即，

又因为为锐角，所以，

所以

；

若选②：则有，且为锐角，

因为，所以，

解得：，所以，

所以

；

若选③：则有，且为锐角

因为，所以，

解得：，所以，，

所以

；

18．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】由正切和公式化简解方程得，

（1）由倍角公式化简求值；

（2）由倍角公式，平方关系，弦化切化简求值.

【详解】（1），解得.

∴.

（2）.

19．已知函数，（其中，）的最小正周期为10．

(1)求的值；

(2)设，，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由求值；

（2）由，整理得，结合平方关系及余弦和公式求值即可.

【详解】（1）由得；

（2）由整理得，

∵，∴，

∴.

20．如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上．记梯形ABCD的周长为y．

(1)设∠CAB＝θ，将y表示成θ的函数；

(2)求梯形ABCD周长的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过O作OE⊥CD于E，连接CO，由几何关系得，则可由三角函数表示y；

（2），讨论二次函数最大值即可.

【详解】（1）AB是直径，则，

如题图，O为圆心，过O作OE⊥CD于E，连接CO，则，

∴，

∴.

（2），则，对称轴，∴当时，y有最大值.

21．已知函数，的图象关于直线对称，若实数满足时，的最小值为．

(1)求的解析式；

(2)将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，求的单调递减区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由时，的最小值为得周期，求得，由整体法得对称轴，列方程求得；

（2）先平移得的解析式，再由整体法求单调递减区间.

【详解】（1）由时，的最小值为得，∴.

∵的图象关于直线对称，∴，又，∴.

∴；

（2），

由得，

∴的单调递减区间为.

22．已知函数，其中．

(1)解不等式；

(2)若函数，且对任意的，恒有成立，求实数的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据三角恒等变换化简解析式，并根据三角函数性质求解；

(2)根据三角函数的性质以及单调性的定义求解.

【详解】（1）由题可得

，

令可得即，

所以，解得，

所以不等式的解为.

（2），

由解得，

所以在单调递增，

又因为即成立，

所以在单调递增，

所以，所以实数的最大值为.