2021-2022学年湖南省沅陵县高二年级下册学期月考模拟数学试题【含答案】

2021-2022学年湖南省沅陵县高二下学期月考模拟数学试题

一、单选题

1．学校要求学生从物理､历史､化学､生物､政治､地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（    ）

A．5 B．12 C．20 D．120

【答案】B

【分析】先从物理和历史中选一科，再从剩下4科中选一科，进而用分布计数原理得到答案.

【详解】从物理和历史中任选1科，有种，然后从其他4科中任选2科，有种，

共有种.

故选：B.

2．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据数列的递推公式，逐项计算，即可求解.

【详解】由题意，数列中，，，

可得.

故选：B.

3．在的展开式中.常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令，求出，最后代入计算可得；

【详解】解：二项式展开式的通项为，

令，解得，所以

故选：B

4．若函数图象如图所示，则图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据原函数的单调性与导函数的正负的关系，及导数的几何意义，逐一分析选项，即可得答案

【详解】由图象可得：在上，在上，

根据原函数图象与导函数图象关系可得：图象在上为增函数，在上为减函数，可排除A、D，

且在x=0处，，即在x=0处，的切线的斜率为0，可排除B，

故选：C

5．已知等比数列的公比，前6项和，则（    ）

A． B． C．16 D．32

【答案】D

【分析】将代入等比数列前项和公式，可求出的值，然后利用等比数列通项公式即可求出.

【详解】解：因为，，则有

即，所以.

故选：D.

6．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项公式求出四指板的高度，再计算，然后利用二倍角的正切即可求解.

【详解】设等差数列为，则厘米，厘米，所以公差，所以厘米，

则，则．

故选：A

7．函数的图像在点处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．

【详解】由，得，

∴，

设的图像在点处的切线的倾斜角为（），

∴，即．

故选：B．

8．若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数求出的单调性，然后、，然后可得答案.

【详解】令，则

故时，时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

因为，，，

所以，

故选：D

二、多选题

9．已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为.且满足，，则下列说法正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】对于A，由数列为递增数列，，可得，从而可求得的范围，对于B，由数列 为递增数列，，可得从而可求出 的取值范围，对于CD，求出，，然后比较即可.

【详解】∵数列为递增数列；

；

，

，

，

；故A正确．

；

因为数列为递增数列；

，

，，

即

所以，

所以所以B正确；

；

所以对于任意的；故C正确，D错误．

故选：ABC

10．关于的说法，正确的是（    ）

A．展开式中的二项式系数之和为2048

B．展开式中只有第6项的二项式系数最大

C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最大

【答案】AC

【解析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知正确，不正确，正确，根据项的系数的符号可知不正确.

【详解】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；

因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；

展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.

故选：AC

【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.

11．等差数列的前项和记为，若a1＞0，S10＝S20，则成立的是（　　）

A．d＜0 B．a16＜0

C．Sn的最大值是S15 D．当且仅当Sn＜0时，n＝32

【答案】ABC

【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解.

【详解】设等差数列的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d＝0，

又a1＞0，所以d＜0，故选项正确；

由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0，

即是递减数列，且n≤15时，an＞0；当n≥16时，an＜0，所以选项和正确．

因为，所以选项错误．

故选：ABC

12．已知函数，若的零点为，极值点为，则（    ）

A． B．

C．的极小值为 D．有最大值

【答案】BC

【解析】分别讨论和时函数的零点，极值和最值，再结合选项即可得到答案.

【详解】当时，，此时函数无零点，

当时，，函数的零点为，所以，

当时，，

由得，由，得，

所以在为减函数，在为增函数，

即函数在处取得极小值，极小值点为，极小值为，

当时，为递增函数，此时无极值，也无最大值，

所以，所以.

故选：BC

【点睛】本题主要考查函数的极值和最值，同时考查函数的零点，属于中档题.

三、填空题

13．在的二项展开式中，若第9项系数与第13项系数相等，则第20项系数为______．

【答案】20

【详解】设二项式展开式的通项为，

所以第9项的系数为，第13项的系数为，

由题得

所以第20项的系数为

故答案为20

14．已知直线是曲线在处的切线，直线是曲线的一条切线，且，则直线的方程是__________.

【答案】

【解析】求出直线的斜率，得直线的斜率，再求出直线的切点坐标，得方程．

【详解】的导数为,时，，即，

的导数为，设切点为，则，，，

∴直线的方程为．

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的几何意义．求切线方程未知切点时，可设切点坐标，由其他条件求出切点坐标，得切线方程．

15．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.

【答案】

【解析】由等差数列的性质，，结合等差数列的前项和公式得到，在中取即可得出答案.

【详解】数列、为等差数列，且前项和分别为和，

则，且，

又，，

所以.

故答案为：     

【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

16．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，解不等式即可得结果．

【详解】由题意可得．因为，所以．

当时，，则在上单调递增，从而恒成立，故符合题意．

当时，令，得．

因为在上单调递增．

所以在上单调递减，在上单调递增，

则．

因为，所以，即，解得．

综上，的取值范围为．

故答案为：

四、解答题

17．若．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)对二项式进行赋值即可求解；

(2)先观察式子特征，注意到可进行平方变形，然后根据时的值来计算最终结果.

【详解】（1）∵，

令，可得，

令，可得，

∴．

（2）∵，

令，可得①，

令，可得②，

结合①②可得，

．

18．某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名参加赈灾医疗队．其中：

（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？

（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？

（4）队中至少有2名内科医生和1名外科医生，有几种选法？

【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.

【分析】（1）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选3人，即可求解；

（2）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中选5人，即可求解；

（3）可用间接法，先在 9人中选出5人，再求得甲乙均不能参加的选法，即可求解；

（4）由题意，分3中情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生；②队中有3名内科医生和2名外科医生；③队中有4名内科医生和1名外科医生，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】（1）根据题意，某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，

在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；

（2）甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；

（3）在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，

则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；

（4）由题意，分3中情况讨论：

①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；

②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；

③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，

由分类计数原理，可得种不同的选法.

19．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;

（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.

【详解】（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

[方法二]【最优解】：

 由已知条件知    ①

于是．       ②

由①②得．     ③

又，       ④

由③④得．

令，由，得．

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法三]：

  由，得，且，，．

又因为，所以，所以．

在中，当时，．

故数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法四]：数学归纳法

  由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．

下面用数学归纳法证明．

当时显然成立．

假设当时成立，即．

那么当时，．

综上，猜想对任意的都成立．

即数列是以为首项，为公差的等差数列．

(2)由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；

方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；

方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．

（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；

20．已知实数，设函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围．

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）．

【分析】（1）由，求导，再利用极值的定义求解；

（2）将，转化为，易知，时，的范围，当时，两边取对数，转化为恒成立，令，用导数法由在内恒成立求解即可.

【详解】（1）当时，由，解得．

当时，，故在内单调递增；

当时，，故在内单调递减．

函数在取得极小值，无极大值．

（2）由，则有．

令，得．

当时，不等式显然成立，

当时，两边取对数，即恒成立．

令函数，

即在内恒成立．

由，

得．

故当时，单调递增；

当时，单调递减．

因此．

令函数，其中，

则，得，

故当时，单调递减；

当时，单调递增．

又，

故当时，恒成立，因此恒成立，

即当时，对任意的，均有成立．

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；；

21．已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）记集合，，若中有3个元素，求的取值范围；

（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由．

【答案】（1），；（2），；（3）存在等差数列且满足题意．

【分析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的通项公式，即可得到所求通项；

（2）由题意可得，设，求得（1），（2），（3），（4），结合图象，即可得到所求范围；

（3）先假设存在等差数列，然后令，探求等差数列的通项，最后代入验证即可．

【详解】解：（1），可得时，，

解得；

时，可得，

相减可得，

即为，

可得，；

（2）集合，，

若中有3个元素，

可得，

设，

（1），（2），（3），

（4），（5），

则当时,

，

又集合中有且仅有3个元素，

则，

故实数的取值范围是，；

（3）设存在等差数列使得

对一切都成立，

则时有，；

则时有，，

等差数列的公差，，

设，

由，

，

，

存在等差数列且满足题意．

【点睛】本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要掌握．

22．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.