2021-2022学年上海市松江区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市松江区高一上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则___________

【答案】

【分析】利用交集的定义进行求解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

2．函数的定义域为______.

【答案】

【解析】根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.

【详解】由，

则，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

3．若，则=__________.

【答案】2

【分析】将对数式化为指数式，由此求得.

【详解】由于，所以.

故答案为：

4．已知、是方程的两个根，则______．

【答案】1

【分析】利用根与系数关系求得正确答案.

【详解】由题意得，所以．

故答案为：

5．设、为实数，比较两式的值的大小：_______ （用符号或=填入划线部分）．

【答案】

【分析】利用作差比较法求得正确答案.

【详解】因为，时等号成立，

所以．

故答案为：

6．已知是奇函数，当时，，则的值为________．

【答案】##1.5

【分析】根据奇函数的定义求值.

【详解】由题意.

故答案为：．

7．函数的严格减区间是_________.

【答案】

【解析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间.

【详解】由可得，解得，即的定义域为，

令，则是开口向下，对称轴为的二次函数，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又是增函数，

所以函数的严格减区间是.

故答案为：

8．已知函数，则不等式的解集为____

【答案】（1，＋∞）

【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集.

【详解】因为，所以函数为奇函数，

又，当时，，所以函数在时单调递增；

当时，，所以函数在时单调递增，

所以函数在R时单调递增.

所以不等式化为，所以，解得，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题.

9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用

【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，.

【解析】含绝对值的不等式的解法.

【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.

10．对任意的正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】分离参数为，由基本不等式求得的最大值即得．

【详解】由题意得恒成立，

因为，当且仅当时取等号，

所以，所以实数的取值范围是．

故答案为：．

11．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为_______.

【答案】

【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标.

【详解】设，线段的中点坐标为，，

因为是以为斜边的等腰直角三角形，

所以，因为点在函数的图像上，

所以，，

所以，所以，

解得，所以点的横坐标为.

故答案为：

12．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围

【详解】有两个零点，

有两个零点，即与的图象有两个交点，

由可得，或

①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意

②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意

③当时，函数单调递增，故不符合题意

④时，单调递增，故不符合题意

⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点

综上可得，或

故答案为：

【点睛】本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．

二、单选题

13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.

B选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.

C选项，，定义域、值域、和对应关系完全相同，是相同函数，C选项正确.

D选项，的定义域是，的定义域是，不是相同函数.

故选：C

14．已知函数可表示为

则下列结论正确的是（    ）A． B．的值域是

C．的值域是 D．在区间上单调递增

【答案】B

【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.

【详解】A. ，所以该选项错误；

B. 由表得的值域是，所以该选项正确；

C. 由表得的值域是，不是，所以该选项错误；

D. 在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.

故选：B

【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.

15．设、是实数，则“”是“且”的（    ）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时不能推出且，例如，满足，此时但，

当且同时成立时，，而，因此有，而，所以，即成立，

因此题中应不必要非充分条件．

故选：B．

16．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合对称性以及二次函数的性质求得正确答案.

【详解】由解析式易得的图象如下图所示，

当时，，令，得或，

因为，且，所以，

所以，

故选：D

三、解答题

17．已知全集，集合，．

(1)求 ；

(2)设集合，若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.

（2）根据列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1）因为，，

，解得.

，解得.

所以，．

所以．

（2）因为或，由题意得或，

解得或，所以实数a的取值范围是．

18．已知函数．

(1)证明：函数为偶函数；

(2)证明：函数在区间上是严格减函数.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据奇偶性定义证明；

（2）根据单调性的定义证明．

【详解】（1）因为，

所以的定义域为，且．

对于任意，因为，

所以为偶函数．

（2）当时，．      

任取，且，     

那么   

因为，所以，，

所以，即．    

所以是上的严格减函数．

19．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号国产电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h（不含80km/h）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的下列数据：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．

(1)当时，请选出符合表格所列实际数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)现有一辆同型号汽车在200km的国道上行驶，如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【答案】(1)符合，且

(2)此汽车以40km/h的速度行驶时，总耗电量最少，最少为28000Wh

【分析】（1）利用特殊值以及函数的单调性求得正确答案.

（2）结合二次函数的性质求得正确答案.

【详解】（1）选，理由如下：

若，由得，由得；由得，矛盾，舍

若，此时函数是减函数，，不符合题意；

若，由，解得，

，将代入，也符合．

（2）汽车在的国道上行驶所用时间为，

总耗电量为，

由于，

所以当时，  

所以，此汽车以的速度行驶时，总耗电量最少，

最少为.

20．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若关于的方程在上有解，求实数的最大值；

(3)证明：函数关于点中心对称.

【答案】(1)

(2)最大值为

(3)证明见解析

【分析】（1）解分式不等式来求得不等式的解集.

（2）通过求在上的值域来求得的取值范围，进而求得的最大值.

（3）通过证明、都在的图象上来证得函数关于点中心对称.

【详解】（1）的定义域为，

因为，

所以 ，即，

所以，

因为，所以，解得，

由，解得，

所以不等式的解集为.

（2）由题意得关于的方程在上有解，

则的取值范围即在上的值域.

因为，所以，

所以，

即，所以实数的最大值为.

（3）在函数的图象上任意取一点，

关于点的对称点，

由得，即 ,

把代入得

,

所以对称点在函数的图象上.

即函数的图象关于中心对称.

21．函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.

(1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由；

(2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.求证：是偶函数；

(3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.

【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案.

（2）性质的定义列不等式，求得，进而判断出是偶函数.

（3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围.

【详解】（1）对任意，得，

所以具有性质；

对任意，得.

易得只需取，则，

所以不具有性质

（2）设二次函数满足性质.

则对任意，

满足.

若，取，，矛盾.

所以，此时，

满足，即为偶函数

（3）由于，函数的定义域为R.

易得.

若函数具有性质，则对于任意实数，

有

，即.

即.

由于函数在上严格递增，得.

即.

当时，得，对任意实数恒成立.

当时，易得，由，得，

得，得.

由题意得对任意实数恒成立，

所以，即

当时，易得，由，得，

得，得.

由题意得对任意实数恒成立，

所以，即

综上所述，的取值范围为.

【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.