2021-2022学年上海市杨浦高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市杨浦高二下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.

【答案】2

【分析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.

【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，

所以，解得，

故答案为：2.

2．已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________.

【答案】##

【分析】根据截距定义，分别令，可得.

【详解】由直线，令得，即

令，得，即，

故.

故答案为：

3．直线的一个法向量________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量的意义求解作答.

【详解】直线的方向向量为，而，

所以直线的一个法向量.

故答案为：

4．已知直线与直线重合，则的值为__．

【答案】4

【分析】直接根据直线一般式对应系数的比相等列式计算即可.

【详解】直线与直线重合，且明显，

则，

解得.

故答案为：.

5．若直线l的倾斜角的范围为，则该直线的斜率的取值范围为_______．

【答案】

【分析】由直线的斜率公式，可得直线的斜率的取值范围．

【详解】解：由直线的倾斜角的变化范围，

结合直线的斜率公式，

可得的范围是．

故答案为：．

6．若直线，的夹角为，则m的值为___________.

【答案】0

【分析】先求出的倾斜角，根据直线与的夹角为，求出的倾斜角，继而求出m.

【详解】直线的斜率为-1，倾斜角为，由题知，直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或0（舍），所以.

故答案为：0.

7．经过两直线l1: 2x－3y＋2＝0与l2: 3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线l3: 4x－2y＋7＝0的直线方程是_______.

【答案】2x－y－18＝0

【分析】求出交点坐标，由平行设直线方程，代入交点坐标求得参数值，得直线方程．

【详解】解：由解得

所以直线l1, l2的交点坐标是(14, 10).

设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋c＝0(c≠7).

因为直线l过直线l1与l2的交点(14, 10)，

所以c＝－36，

从而直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.

8．与直线和直线的距离相等的直线方程为______．

【答案】

【分析】设直线方程为，根据两平行直线之间距离公式即可求解.

【详解】设该直线为：，则由两平行直线之间距离公式得：

，故该直线为：；

故答案为：.

9．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为________．

【答案】

【解析】可知表示直线上的点与点连线的斜率，即可求出.

【详解】实数，满足方程，当时，

表示直线上的点与点连线的斜率，

设、为直线上的两个点，且，

的斜率为，的斜率为  ，

故的范围为，

故答案为：．

10．已知点，B是x轴的正半轴上一点，C是直线上一点，则周长的最小值为___________.

【答案】

【分析】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，求出点的坐标，数形结合即得解.

【详解】如图，分别作出点A关于直线与x轴对称的点，，

则，解得.所以.

当，C，B，四点共线时，

的周长最小，且最小值为.

故答案为：.

二、单选题

11．已知点到直线：的距离为1，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.

【详解】因为点到直线：的距离为1，

故可得，整理得，解得.

故选：.

12．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.

【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，

将直线绕着原点逆时针旋转，

则    

故新直线的斜率是.

故选：B.

13．已知直线l：，直线m：，若直线l与m的交点在第一象限，则实数k的取值范围为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】求出两直线的交点，利用交点在第一象限得出关于k的不等式，解之即可得解.

【详解】因为直线l：，直线m：相交，，即

联立，解得

又直线l与m的交点在第一象限，，解得

故选：A

14．原点到直线的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出直线过的定点，当时，原点到直线距离最大，则可求出原点到直线距离的最大值；

【详解】因为可化为，

所以直线过直线与直线交点，

联立可得

所以直线过定点，

当时，原点到直线距离最大，最大距离即为，

此时最大值为，

故选：C.

三、解答题

15．分别求满足下列条件的直线的方程：

(1)直线过点，且与直线垂直，求的点法式方程；

(2)直线过点和，求的两点式方程；

(3)直线的倾斜角为，另一直线的倾斜角，且过点，求的点斜式方程；

(4)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程.

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)或

【分析】（1）求出的法向量，写成点法式方程；

（2）直接用两点式写成直线方程；

（3）求出，进而求出，得知直线的斜率，写成点斜式方程；

（4）分截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，代入点的坐标，求出答案.

【详解】（1）直线的法向量即为直线的方向向量，

故的点法式方程为；

（2）的两点式方程为；

（3）由题意得：

，又，

所以，故，所以的斜率为，

的点斜式方程为；

（4）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设，将代入得：，解得：，

故直线的方程为，化为一般式方程为；

当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设，

将代入得：，解得：，

故直线的方程为，化为一般式方程为；

故直线的方程为或．

16．已知直线和点，若正方形的边在直线上，点为正方形的中心，求直线和的一般式方程.

【答案】直线的方程或；直线方程为．

【分析】由点到直线的距离和到直线距离相等，得出直线方程；根据垂直关系结合点到直线的距离得出直线方程.

【详解】点到直线的距离为，

因为直线与直线平行，设方程为，

则或（舍去），故直线方程为；

直线与直线垂直，设其方程为，

则或，

故直线方程为或．

17．已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.

(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；

(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．

【答案】(1)

(2)，的最小值为4

【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程；

（2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程，

【详解】（1）设的方程为，

由直线过得，

由基本不等式得：，即，解得：，

当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；

（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，

所以直线的斜率存在，

可设直线的方程为，

所以，，所以，，

所以，

当且仅当时取等号，此时，

此时直线的方程为，的最小值为4.

18．如图，已知的三个顶点分别为．

(1)若点为的中点，求直线与直线的夹角大小；

(2)若的平分线为，求所在直线的直线方程．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根据中点坐标，结合与平面向量的夹角公式求解即可；

（2）设上的任意一点，结合点到直线距离等于点到直线距离相等列式可得的方程即可.

【详解】（1）因为点为的中点，，故即，，

所以，

所以直线与直线的夹角大小为；

（2）设上的任意一点，又直线方程为，直线的方程为，

点到直线距离等于点到直线距离，，则，解得，或.

由题意可得所在直线的直线斜率为正，所以角平分线所在直线方程为．

19．如图，已知，，，直线．

(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；

(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；

(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．

【答案】(1)证明见解析，定点坐标为；

(2)；

(3)．

【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；

（2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程；

（3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程.

【详解】（1）直线可化为，

令，解得，故直线经过的定点坐标为；

（2）因为，，，所以，

由题意得直线方程为，

故直线经过的定点在直线上，所以，

设直线与交于点，所以，

即，所以，

设，所以，即，

所以，，所以，

将点坐标代入直线的方程，解得，

所以直线的方程为；

（3）设关于的对称点，关于的对称点，

直线的方程为，即，

直线的方程为，所以，

解得，所以，

由题意得四点共线，，由对称性得，

所以入射光线的直线方程为，

即．