2021-2022学年重庆市渝东九校联盟高二年级下册学期期中联考数学试题【含答案】

2021-2022学年重庆市渝东九校联盟高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．展开后，共有多少项？（    ）

A．3 B．4 C．7 D．12

【答案】D

【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.

【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，

第一步，在第一个因式中选一项，有种方法；

第二步，在第二个因式中选一项，有种方法；

根据乘法分步原理可得，展开后共有项，

故选：.

2．一个质点M沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系，则质点M在时的瞬时速度为（    ）

A．7.25m/s B．5m/s C．6m/s D．5.1m/s

【答案】B

【分析】利用导数的实际意义求解

【详解】由，有，则时，.

质点M在时的瞬时速度为5m/s.

故选：B

3．从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？（    ）

A．60 B．80 C．100 D．120

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算即可求解.

【详解】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数，

百位上的数字有除0外的5种选法，

十位上的数字有除百位上的数字外的5种选法，

个位上的数字有除百位、十位上的数字外的4种选法，

所以总共有种不同的三位数，

故选：C

4．如图，小芳从街道B处出发先到C处与小明会合，再一起到位于D处的社区参加志愿者活动，则小芳到社区的最短路径的条数为（    ）

A．9 B．12 C．18 D．24

【答案】C

【分析】最短路径的条数，即横向和纵向走法的不同组合数，由组合数公式和分步乘法计数原理进行计算即可.

【详解】不妨设图中向上方向为北，向右方向为东，图中最小矩形的一条边长为1个街道，

则最短路径即通过的街道最少，从B处到D处，共需2个步骤：

第1步，从B处到C处，最短路径为向北通过1个街道和向东通过2个街道共3个街道，从3次通过的街道中，选出1次向北，其余向东，共有条路径；

第2步，从C出到D出，最短路径为向北通过2个街道和向东通过2个街道共4个街道，从4次通过的街道中，选出2次向北，其余向东，共有条路径，

∴由分步乘法计数原理，小芳到社区的最短路径的共有条.

故选：C.

5．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数图象确定函数的单调性，由此确定的值，比较其大小.

【详解】由已知可得：

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，函数在时取极小值，

所以，

所以，

故选：A.

6．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率公式和对立事件概率公式求解即可.

【详解】由可得，

所以,

所以，

故选：C

7．一袋中共有5个大小相同的球，其中红色球1个，蓝色球、黑色球各2个，某同学从中随机任取2个，若取得的2个中有一个是蓝色球，则另一个是红色球或黑色球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，利用古典概型的概率公式求解即可.

【详解】设1个红色球为，2个蓝色球为，2个黑色球为，

从中随机任取2个，事件“取得的2个中有一个是蓝色球”包含的基本事件有：

7种，

其中“另一个是红色球或黑色球”有6种，

所以所求概率，

故选：D

8．定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的奇偶性和判断出在上的奇偶性和单调性，利用的单调性和奇偶性，求不等式的解集即可.

【详解】∵为奇函数，∴，

∴当时，，

又∵，∴，

当时，，∴在区间上单调递减，

又∵当时，，

∴为上的奇函数，

∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.

又∵，

∴，即，

∴，

∵在区间上单调递增，∴，

解得.

故选：D.

二、多选题

9．随机变量X服从两点分布,若,则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】先根据已知条件写出两点分布,再根据期望和方差公式求出,再根据,计算即可.

【详解】因为随机变量X服从两点分布且,所以,故A正确;

,,故B错误;

,故C错误;

,故D正确.

故选:AD.

三、单选题

10．下列式子正确的有（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的运算法则逐项判断对错即可.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误.

故选：B.

四、多选题

11．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（    ）

A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480

B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240

C．6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法

D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种

【答案】AC

【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，再进行全排列，得到答案.

【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，

再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确；

B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误；

C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C正确；

D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，

先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法，

再将三组同学和三个活动进行全排列，则有种安排方法，

故不同的分组方法有种方法，D错误.

故选：AC

12．已知函数，函数，下列对函数描述正确的是（    ）

A．当时，有三个零点 B．当时，有三个零点

C．当时，有三个零点 D．当时，有两个零点

【答案】ACD

【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零点为方程和方程的解，结合函数的性质确定取不同值时函数的零点个数，可得结论.

【详解】当时，，

所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，，，

当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，

从而，，当时，，

所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且，，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，

从而，，

当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：

函数的零点个数与方程的解的个数一致，

方程，可化为，

所以或，

由图象可得没有解，

所以方程的解的个数与方程解的个数相等，

而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，

所以当时，有两个零点，B错误；

当时，函数的图象与函数的图象有两个交点，

所以当时，有两个零点，D正确；

当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，

所以当时，有三个零点，A正确；

当时，函数的图象与函数的图象有三个交点，

所以当时，有三个零点，C正确；

故选：ACD.

五、填空题

13．已知随机变量X的分布列为

则______．

【答案】0.3

【分析】根据已知条件，利用离散型随机变量的分布列的概率和为1，即可求解的值，再由，即可求解．

【详解】依题意有：，则，

所以

故答案为：0.3

14．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会隆重开幕，双奥之城北京成功谱写了精彩、非凡、卓越的奥林匹克新篇章，镌刻下这个冬天的美好记忆．奥林匹克标志由五个互扣的环圈组成，五环象征五大洲的团结．五个奥林匹克环总共有8个交点，从中任取4个点，则这4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率为______．

【答案】

【分析】由条件确定样本空间中的基本事件总数，再确定事件4个点恰好位于同一个奥林匹克环上所包含的基本事件数，由古典概型概率公式求概率.

【详解】从8个点中任取4个点，共有种取法，

事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上包含3个基本事件，

所以事件所取4个点恰好位于同一个奥林匹克环上的概率，

故答案为：.

15．已知函数，则在点处的切线方程为______．

【答案】

【分析】先求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程.

【详解】因为，

所以，，

所以，

所以函数在点处的切线的斜率为-1，

所以切线方程为：，

化简可得，

故答案为：.

16．为美化重庆市忠县忠州中学校银山校区的校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班劳动课在如图所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区域颜色不同，则有______种不同方案．

【答案】72

【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种植方案数目，由加法原理计算可得答案

【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，

分2种情况讨论：

①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），

②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），

则不同的种植方案共有（种）.

故答案为：72

六、解答题

17．近年来大学生村官岗位竞争激烈．现有5名应届大学生通过了选拔考试．现分配他们到4个乡镇单位，每个人只能去一个乡镇单位．

(1)则不同的分配方案共有多少种？

(2)若每个乡镇单位至少有一名同学去，则不同的分配方案有多少种？

【答案】(1)1024

(2)240

【分析】(1)对分配过程进行分步，求每步的方法数，利用分步乘法计数原理求不同的分配方案；

(2)结合分堆分配问题处理方法求解.

【详解】（1）将5名应届大学生分配到4个乡镇单位，可分为5步完成，

第一步，先安排第一名的学生，有4种安排方法，

第二步，先安排第二名的学生，有4种安排方法，

第三步，先安排第三名的学生，有4种安排方法，

第四步，先安排第四名的学生，有4种安排方法，

第五步，先安排第五名的学生，有4种安排方法，

由分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种方法，即1024种方法.

（2）分配过程可分为两步完成，

第一步，可将5名学生分成四层，有种方法，

再将各层安排到四个乡镇单位，有种方法，

由分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种方法，即240种方法.

18．已知的展开式中二项式系数之和为64，求此展开式中：

(1)各项系数的和；

(2)含有项的系数．

【答案】(1)1

(2)-160

【分析】（1）由展开式中的各项二项式系数之和得到，求出，在展开式中，令，得各项系数和；

（2）由展开式的通项可知，时展开式第4项含有，用通项公式计算即可．

【详解】（1）已知的展开式中二项式系数之和为64，，则，

在的展开式中，令，得各项系数和为1.

（2）展开式的通项，当时，，

则，所以含有项的系数为-160.

19．袋子中有9个大小、材质都相同的小球，其中6个白球，3个红球．每次从袋子中随机摸出1个球摸出的球不再放回，求：

(1)在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；

(2)第二次摸到白球的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用条件概率的计算公式求解即可；

（2）第二次摸到白球的情况分为两种，分别求出这两种情况的概率，进而可求得答案.

【详解】（1）设第一次摸到红球的事件为，第二次摸到红球的事件为，

则，，

所以在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率.

（2）第二次摸到白球的情况分为两种：

第一种情况：第一次摸到红球，第二次摸到白球，此时的概率，

第二种情况：第一次摸到白球，第二次摸到白球，此时的概率，

所以第二次摸到白球的概率.

20．设函数，且满足，．

(1)求实数的值；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)1

(2)极大值，极小值

【分析】（1）求导数，由，列方程组求实数的值；

（2）利用导数研究函数单调性，找到极值点计算极值.

【详解】（1），则，

，解得，，

实数的值为1.

（2）由（1）得，函数定义域为R，，

，解得或；，解得，

则在和上单调递增，在上单调递减，

时，有极大值；时，有极小值.

21．某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．

(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；

(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

①若花店一天购进18枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．

【答案】(1)

(2)①数学期望86；方差；②花店一天应购进19枝玫瑰花

【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；

（2）①分别求出，，时，的取值，对应表中频率得出对应的概率，得出分布列代入期望与方差公式即可求解；②同理求出一天购进19枝玫瑰花的利润的期望，两者比较即可.

【详解】（1）当天需求量时，利润，

当天需求量时，利润，

所以当天的利润y关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式为：

.

（2）①时，，；

时，，；

时，，；

所以X的分布列为：

所以期望，

所以方差；

②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为，

设当一天购进19枝玫瑰花时，表示当天的利润，

时，，；

时，，；

时，，；

时，，；

所以.

所以，

所以花店一天应购进19枝玫瑰花.

【点睛】关键点点睛：离散型随机变量的分布列，数学期望与方差的求法，古典概型等基础知识点，需要考生有较强的分析转化与运算的求解能力.

22．已知函数．

(1)当为函数的极值点时，求函数的单调区间．

(2)当时，求证：．

【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增.

(2)证明见解析

【分析】（1）由为函数的极值点知，，求得的值，并进行检验，即可求得函数的单调区间；

（2）构造函数结合隐零点求最值即可证明

【详解】（1）的定义域为，

，

若为函数的极值点，则，解得，

当时，，，

令，则，

∴在区间上单调递增，

∵，

∴当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增.

∴当时，为函数的极小值点，满足题意，

即当为函数的极值点时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）当时，

设，，

则，易知在上单调递增，

又∵，，

∴，使，（即），

∴当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

在处取得极小值，也是最小值，，

当时，，∴，

∴，，

∴当且时，，原命题得证.

【点睛】通过零点存在定理，确定导函数零点所在区间，并通过代入、放缩等方式求解或证明与函数最值有关的不等式，是处理隐零点问题常用的方法.