2022-2023学年上海交通大学附属中学高一年级上册学期分考试数学试题【含答案】

这是一份2022-2023学年上海交通大学附属中学高一年级上册学期分考试数学试题【含答案】，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海交通大学附属中学高一上学期分考试数学试题 一、填空题1．关于x的不等式的解集是___________.【答案】【分析】把给定不等式化成一元二次不等式求解即可.【详解】不等式化为：，解得，所以不等式的解集是.故答案为：.2．已知a、，且，则ab的最大值是____________.【答案】##0.25【分析】利用基本不等式得，即可得到最大值.【详解】因为实数满足，所以由基本不等式可得：所以，当且仅当，即或时等号成立，即的最大值为.故答案为：.3．若点P(3，y)是角终边上一点，且，则y的值是____________.【答案】【分析】利用三角函数值的定义，即可求解.【详解】，解得.故答案为：.4．已知.若是奇函数，则实数a的值是____________.【答案】【分析】利用已知函数的定义域，结合奇函数的定义计算作答即可.【详解】函数的定义域为且，因为函数是奇函数，则当且时，恒成立，因此，整理得，即，于是得，解得，所以实数a的值是.故答案为：5．若函数的值域是，则函数的值域是____________.【答案】【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，时，，而时，，时，，即，所以原函数值域是.故答案为：.6．已知里氏震级R与地震释放的能量E的关系为.那么里氏8.4级的地震释放的能量大约是里氏6.8级地震释放的能量的_____________倍.(精确到0.1)【答案】【分析】根据给定条件，作差并结合对数运算求解作答.【详解】令里氏8.4级的地震释放的能量为，里氏6.8级的地震释放的能量为，则，，两式相减并整理得，即，因此.故答案为：7．若一个等腰三角形顶角的正弦值为，则其底角的余弦值为____________.【答案】或.【分析】设顶角，则其底角的余弦值为，由半角公式求值即可.【详解】设顶角，则，∴或则其底角的余弦值为或.故答案为：或.8．已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点顺时针旋转至，则点的横坐标是____________.【答案】【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合差角的余弦公式求解作答.【详解】以x轴非负半轴为角的始边，令射线OA为终边的角为，则射线为终边的角为，显然，，因此，所以点的横坐标是.故答案为：9．方程的实数解为____________.【答案】【分析】分、两种情况化简方程，求出的值，解之即可.【详解】当时，则，由可得，可得（舍）；当时，则，由可得，可得，解得.故答案为：.10．设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.【答案】【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为，即，可得恒成立，即在上恒成立，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.11．已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是_____________.【答案】【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值.【详解】因为函数在上单调递增，对任意的，都存在唯一的，使得，则，解得.故答案为：.12．对任意集合M，定义，X是全集，集合，则对任意的，下列命题中真命题的序号是_____________.（1）若，则；（2）；（3）；（4）(其中符号[a]表示不大于a的最大整数).【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.【详解】对于(1)，因，时，，，时，，而或，则，(1)正确；对于(2)，时，，则，时，，即，，从而有，(2)正确；对于(3)，，则，，即，，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个成立，从而成立，综上知(3)正确；对于(4)，时，，若，则，，若，则，，若，同理可得，若，则，，，综上得，(4)正确.故答案为：（1）（2）（3）（4）.【点睛】方法点睛：本题关键是理解函数的新定义，题目的来源是数学中著名的狄利克雷函数，需要对函数的新定义充分理解，进行合理的分类讨论，做到不重复不遗漏，可以利用维恩图进行辅助. 二、单选题13．若a，b为实数，则“”是“”的（    ）A．充分但非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】D【分析】通过举反例和反例即可判断.【详解】当时，满足，但此时，故正向无法推出，同样时，满足，但此时，故反向也无法推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.14．已知是钝角，那么下列各值中能取到的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式可得出，求出的取值范围，结合正弦函数的值域可得出的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为，则，所以，，所以，可取的值为.故选：A.15．已知.对于正实数，下列关系式中不可能成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，结合均值不等式可得，再探讨函数的单调性，确定中不可能最大的作答.【详解】正实数，则，有，于是，因此，函数，即有函数在上单调递减，在上单调递增，若，则有，C正确；若，则有，A正确；若且，则当时，，当时，，实数最大数记为，于是，因此选项B可能，选项D一定不可能.故选：D16．若，，下列判断错误的是（     ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】D【分析】根据给定条件，结合辅助角公式的变形，确定辅助角的取值作答.【详解】由选项知，，，令，有，，则，对于A，当时，为第一象限角，且，，，则，A正确；对于B，当时，为第四象限角，且，，，则，B正确；对于C，当时，为第二象限角，且，，，则，C正确；对于D，当时，为第三象限角，且，，，则，D错误.故选：D 三、解答题17．已知，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解；(2)利用弦化切的方法求解.【详解】（1）因为，所以解得或，因为，所以.（2）.18．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为.(1)假定函数的定义域是，写出，的值，并判断的单调性；(2)设，求实数t的值，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由.【答案】(1)；；严格单调递减；(2)；答案见解析. 【分析】（1）根据给定信息，直接求出，的值，再根据题意判断的单调性即可；（2）分别计算两种方式的农药残留量，再作差比较大小即可.【详解】（1）表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量将保持原样，则，因为用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，因此，因为用水越多洗掉的农药量也越多，则蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比越小，因此函数严格单调递减.（2）由（1）知，，而函数，于是，解得，，清洗一次，残留在蔬菜上的农药量为，把水平均分成2份后清洗两次，残留在蔬菜上的农药量为，，当时，，当时，，当时，，所以当时，分成2份后清洗两次，清洗后蔬菜上残留的农药量少；当时，两种清洗方案效果相同；当时，清洗一次，清洗后蔬菜上残留的农药量少.19．已知是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的值，并写出的解析式；(2)若，求实数a，b的值.【答案】(1),.(2) 【分析】(1)根据函数奇偶性的概念求函数值和解析式；(2)根据函数的单调性结合值域列出方程即可求解.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，当时，，所以，即.（2）因为当时，单调递减，且函数为奇函数，所以在上单调递减，所以当时，，当时，，因为，所以，所以，即解得.20．在平面直角坐标系中，两点、的“直角距离”定义为，记为.如，点、的“直角距离”为9，记为.(1)已知点，Γ是满足的动点Q的集合，求点集Γ所占区域的面积；(2)已知点，点，求的取值范围；(3)已知动点P在函数的图像上，定点，若的最小值为1，求的值.【答案】(1)2(2)(3)或或 【分析】（1）分类讨论区绝对值，得到其图形为正方形，求出其边长，则得到面积；（2）分，，，四类讨论即可；（3）利用绝对值不等式有，再根据范围即可得到答案.【详解】（1）设，则，当，则，当，则，当，则，当，则，顺次连接四点，得到如图所示正方形，其边长为,则得到点集所占区域面积.（2），当，此时，则，，，，即，则，当，此时，则，，，，即，则，当，此时，则，，，则，则，当，此时，，则，，，则，，综上，.（3）设，根据绝对值不等式有，若，即，，，或，或.若，即，，综上或或.21．设函数的反函数存在，记为.设，.(1)若，判断是否是、中的元素；(2)若在其定义域上为严格增函数，求证：；(3)若，若关于的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)证明见解析(3) 【分析】（1）求出函数的解析式，利用元素与集合的关系判断与集合、的关系，可得出结论；（2）分析可知，利用集合的包含关系以及函数的单调性证得，，即可证得结论成立；（3）令，分析可得，由已知方程可得，可得，可得出，分析可得方程有两个不等的非负实根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.【详解】（1）解：因为，则，所以，，则，所以，，，则，所以，.（2）解：由题意可得，任取，则，所以，，，故；任取，则，下面证明出.因为函数在其定义域内为严格增函数，若，则，与题设矛盾；若，则，与题设矛盾.故，即，故.综上所述，.（3）解：令，则，则，即，由可得，所以，，因为在其定义域内单调递增，所以，，即有两个不等的非负实根，整理可得，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.