2022-2023学年上海市浦东新区高二年级上册学期期末数学试题1【含答案】

这是一份2022-2023学年上海市浦东新区高二年级上册学期期末数学试题1【含答案】，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题 一、填空题1．与的等差中项是____________________．【答案】15【分析】利用等差中项的定义即得解.【详解】3与27的等差中项为：．故答案为：15．2．已知等差数列满足，则公差__________;【答案】1【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】由等差数列的性质可得故答案为：13．在等比数列中，若，则__________;【答案】【分析】由等比中项即可求解.【详解】由等比中项可得，故答案为：4．计算:__________;【答案】【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接求出答案即可.【详解】因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：.5．有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须排在一起的排法共有________种.（用具体数字回答）【答案】720【分析】根据相邻问题捆绑法即可由分步乘法计数原理求解.【详解】第一步：利用捆绑法把3名老师看做一个整体与学生全排列，则有,第二步：解绑，3位老师之间的顺序为，由乘法计数原理可得，故答案为：7206．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______．【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值.【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即，解得：.故答案为：107．若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________.【答案】【分析】由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a即可.【详解】由题设，二项式展开式通项为，∴当，常数项为，可得.故答案为：.8．已知若三向量共面，则实数______．【答案】【分析】利用空间向量共面定理即可求解.【详解】因为三向量共面，所以，即所以，解得，故答案为:5.9．用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等式左边与时的等式左边的差等于___.【答案】3k+2【详解】试题分析：当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，所以当时等式左边与时的等式左边的差等于.【解析】数学归纳法.10．对于数列满足:，记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则__________;【答案】【分析】先根据求，，观察规律可得，进而可得答案.【详解】因为，所以，即，所以；，所以或，即或；，所以或或或，即或或或或；以此类推，可得的最小值为，的最大值，所以.故答案为：11．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图.则级分形图的周长为__________;【答案】【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周长，从而可求出周长.【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个图形的边长又是第2个图形边长的，……，所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，所以第个图形的边长为，由图可知，各个图形的边数,构成首项为3，公比为4的等比数列，所以第个图形的边数为，所以第个图形的周长为，故答案为：12．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的和共有__________个组合.【答案】【分析】先分析集合A,分别有多少种选择方法，根据分步计数原理相乘，再对、求和即可求得结果.【详解】设A中最大的数为，中最大的数为，依题意有.记，，.因为中最小的数大于A中最大的数，所以A中其它元素只能取自集合，有种选择方法；中其它元素只能取自集合，有种选择方法；内的数既不属于A也不属于.根据分步计数原理，集合A，的选择方法有种. 因为，所以满足题目条件的所有集合A，的选择方法种数为.【点睛】本题求解的关键是：把集合分成三部分，利用分步计数原理求出集合A,B的选择方法，利用等比数列的求和公式求和，综合了集合子集，数列求和，计数原理三模块的知识. 二、单选题13．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断.【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且，，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为，，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列，故选：C14．设等差数列的前项和为，若，则（   ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】根据题意，利用等差数列求和公式和等差中项性质可判断，的正负.【详解】因为，所以，因为，所以，故选：C.15．设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）A．0 B．1 C．5 D．10【答案】B【详解】【解析】向量的加法及其几何意义．分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．解：根据所给的四个向量的和是一个零向量，当A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B．16．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使,成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（   ）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用等差数列的通项表示出的关系式，结合,成等比数列，分类讨论可得答案.【详解】根据题意可知，，化简可得，因为各项均为正整数，则，故是337的倍数，且，因为，成等比数列，所以，则   ，  又因为，分为以下情况讨论：① 若，则，可得，，解得，合乎题意；②若，则，可得，，解得，合乎题意；③ 若，则，可得，，解得，合乎题意；④若，则，可得，，解得，不合乎题意；⑤若，则，可得，此时不是整数，不合题意；⑥若，则，可得，此时是常数列，且每一项均为，合乎题意；综上所述，公差的所有可能取值的个数为.故选：C. 三、解答题17．已知数列是公差大于零的等差数列，且，求数列的通项公式以及前项和.【答案】，【分析】通过联立方程组解得和的值，求出首项和公差，通过等差数列的通项公式和前项和公式，求出数列的通项公式以及前项和【详解】依题意，，解得或，公差大于零，（舍去），，，，，，数列的通项公式；数列的前项和.18．如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，请运用空间向量方法（建系如图）.求解下列问题:(1)求异面直线与所成角的大小;(2)求到平面的距离.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意得到各点的坐标，从而得到与，再利用空间向量夹角的余弦表示即可得解；（2）先求得与平面的一个法向量，再利用点到平面距离的向量解法即可得解.【详解】（1）根据题意，得，，，，，，，，.则，，设异面直线与所成的角为，则，所以，则，所以异面直线与所成的角为.（2）由（1）得，，，设是平面的一个法向量，则，即，取，则，故，所以点E到平面的距离为.19．已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和.(1)若公比为2，求满足的最小正整数;(2)若，设，求数列的前项和的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据首项和公比，写出的公式，再解不等式即可；（2）根据，代入首项即可求得公比，进而求得的通项公式，根据等差数列的定义可证明为等差数列，进而求得，化简后根据二次函数性质求最小值即可.【详解】（1）因为等比数列首项为，公比为，所以，，即，，因为，所以只需即可，解得，，故满足的最小正整数；（2）因为等比数列首项为，设公比为，代入中有：，解得（舍）或，所以，故，因为，所以是等差数列，且，所以，因为，所以，且有，所以当或时，取得最小值，最小值为.20．已知数列满足.(1)若，求数列的通项公式;(2)若，求证:数列为等差数列，并求的通项公式;(3)对于（2）中的数列，设，则数列是否有最大项，如有，请求出是第几项，若没有，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)有, 第8项和第9项 【分析】（1）将代入，再用累加法即可求得的通项公式；（2）将代入，令，根据等差数列的定义即可证明，再根据的通项公式，即可求得的通项公式；（3）先求出的通项公式，若有最大项，只需该项大于等于其前一项以及后一项，建立不等式解出即可.【详解】（1）因为，所以，当时，，，，，上述式子累加，可得，因为，所以，当时，，符合通项公式，故；（2）因为，所以，两边同时乘以，可得，令，上式即为，即，因为，故，即为以9为首项，9为公差的等差数列，所以，即，解得；（3）由（2）知，所以，假设数列最大项为，则有，即，解得，所以数列有最大项，最大项为第8项和第9项.【点睛】思路点睛：该题考查数列的综合应用，属于中难题，关于求数列最大项和最小项的思路有：（1）将数列视为函数，当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相对应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求得数列的最值项；（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用，确定最大项，利用确定最小项.21．设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.【答案】(1)(2)数列为“紧密”数列；理由见详解.(3) 【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果；（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论；（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果.【详解】（1）若数列为“紧密”数列，则，且，解得：，即的取值范围为.（2）数列为“紧密”数列；理由如下：数列的前项和，当时，； 当时，，又，即满足，因此，所以对任意，，所以，因此数列为“紧密”数列；（3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，当时，有，，所以，，满足题意；当时，，，因为为“紧密”数列，所以，即或，当时，，，所以，满足为“紧密”数列；当时，，不满足为“紧密”数列；综上，实数的取值范围是.