2022-2023学年上海市浦东新区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．

【答案】

【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．

【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2

∴圆锥的高，

底面半径.

∴这个圆锥的表面积：

.

故答案为．

【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．已知数列是等差数列，，，则这个数列的公差_________.

【答案】

【分析】根据等差数列通项公式直接计算.

【详解】由等差数列得，

解得，

故答案为：.

3．设，则方程的解集为______.

【答案】##

【分析】解方程即得解.

【详解】解：由题得.

所以方程的解集为.

故答案为：

4．的展开式中的系数为_______．

【答案】

【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数．

【详解】根据二项定理展开式的通项式得

所以 ，解得

所以系数

故答案为：

【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．

5．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________人．

【答案】12

【分析】根据分层抽样的抽样原理即可求解．

【详解】采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为．

故答案为：12．

6．从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）.

【答案】

【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果.

【详解】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，

由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为.

故答案为：.

7．已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则__________

【答案】

【分析】求出的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得的值.

【详解】由对立事件的概率公式可得，

由独立事件的概率乘法公式可得，因此，.

故答案为：.

8．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则______.

【答案】

【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列的通项即可求解.

【详解】因为对任意的，均有，则有，

当时，，所以；

当时，，也即，

因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，则，

故答案为：.

9．由0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字且数字2、3相邻的四位数共______个（结果用数字表示）．

【答案】60

【分析】分两种情况：四位数有0和没有0时，然后求出数字2,3相邻的即可.

【详解】四位数没有0时，数字2,3相邻看作一个数字，2,3需要排列，所以有种，

四位数有0时，求出数字2,3相邻，看作一个数，2,3排列，0只能在后两位置选一个，所以有种，故满足题意的共有60个；

故答案为：60.

10．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.

【答案】32

【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果.

【详解】每档可取7到14中的每个整数，

若公差为0，共有8种；

若公差为±1，则共有12种；

若公差为±2，则共有8种；

若公差为±3，则共有4种；

所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种，

故答案为32

【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.

11．已知矩形的周长为6，则将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为______．

【答案】

【分析】根据已知条件及圆柱的体积公式，再利用导数法求解最值即可.

【详解】设，则，

所以将周长为6的矩形绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为

.则，

令，即，解得（舍）或.

当时，；

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以当，即，时，取得最大值为

所以将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为.

故答案为：.

12．已知，则______________.

【答案】10206

【分析】对已知关系式两边同时求导，

可得，再根据的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等求解即可.

【详解】对已知关系式两边同时求导，

可得，

因为的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等，

所以.

故答案为：10206.

二、单选题

13．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.

A．90 B．75 C．60 D．45

【答案】A

【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36，

∴样本总数为.

∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，

∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90.

【解析】频率分布直方图.

14．函数可导，“函数在点处的导数值为0”是“函数在点处取极值”的（    ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】举特例说明导数值为0，但不是极值点，即可得到结果.

【详解】导数值为0的点不一定是函数的极值点.

对于函数，，虽然，但是由于无论还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.

一般地，函数在一点处的导数值为0是函数在该点处取极值的必要条件，而非充分条件.

故选：B.

15．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ）

A．72项 B．75项 C．78项 D．81项

【答案】C

【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.

【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，

故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.

故选：C

16．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：

①    在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②    在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③    在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④    在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是（   ）

A．①② B．①③④ C．②③ D．①③

【答案】D

【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．

【详解】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；

对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即③正确；

对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即④错误．

故正确的只有①③；

故选：D．

三、解答题

17．2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：

(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；

(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．

【答案】(1)3位；第75百分位数是30

(2)

【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果；

（2）根据对立事件和组合数公式求概率.

【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；

因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位球员的年龄是30；

（2）11名球员没有年龄不小于30的概率,

所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.

18．在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．

(1)求三棱锥的体积；

(2)求证：∥平面；

(3)求三棱柱的外接球的表面积．

【答案】(1)5；

(2)详见解析；

(3).

【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得；

（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；

（3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得.

【详解】（1）因为，，，

所以，即，又D是AB的中点，

所以；

（2）设与相交于点，连接，

在中，为的中点，为的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，

所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，

设直三棱柱的外接球的半径为，则，

即，

所以三棱柱的外接球的表面积为.

19．已知数列满足，.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式；

(3)写出的具体展开式，并求其值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列；

（2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；

（3）直接写出的具体展开式，根据，利用等比数列的前项和公式，直接计算可得答案.

【详解】（1），等式两边同时加上2，

得，又，

则为首项是3，公比的等比数列

（2）由（1）得，为首项是3，公比的等比数列，

，故.

（3）

20．已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求：

(1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率；

(2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率；

(3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率．

【答案】(1)0.21；

(2)0.44；

(3)0.94.

【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；

（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；

（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】（1）设事件：甲投篮命中;

事件：乙投篮命中;

事件：丙投篮命中.

甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率

.

所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.

（2）设事件:恰有两人命中.

所以

所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.

（3）设事件:至少有一人命中.

所以

所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.

21．已知，

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调区间；

(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；

（2）求导，分类讨论求单调区间；

（3）根据题意整理可得在区间内有唯一实数解，构建，利用导数求的单调性，数形结合分析运算.

【详解】（1）当时，则，可得，

故，

即切点坐标为，切线斜率，

故函数在点处的切线方程为．

（2）由题意可知：函数定义域为，且，

注意到，令，解得或，

①当，即时，与在上的变化情况如下

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

②当时，在定义域内恒成立，

所以函数的单调递增区间为；

综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为．

（3）当时，则，

因为方程在区间内有唯一实数解，

即，整理得，

原题意等价于在区间内有唯一实数解，

设，则，

注意到，

当时，；当时，；

故在上单调递增，在上单调递减，

且，

则在上的图像如图所示，

若在区间内的唯一实数解，则或，

解得或，

故实数的取值范围．

【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）画出函数草图，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．