2021-2022学年陕西省西安中学高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年度第一学期期中考试高一数学试题

第Ⅰ卷（选择题  共42分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题3.5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知写出集合B，应用集合的交运算求即可.

【详解】由题意，得，而，

∴.

故选：B

2. 下列函数与是同一函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判断两个函数是否为同一个函数，从定义域和解析式一一验证即可.

【详解】由题意得，的定义域为，

A：的定义域为，与的定义域不一样，排除A；

B：定义域为，但是，排除B；

C: ，定义域也相同，故C正确；

D：的定义域为，排除D，所以正确答案选C．

故选：C

【点睛】判断两个函数相同的方法：

(1)看定义域是否相同，如果定义域不同，就算解析式相同，也不是相同的函数；

(2)定义域相同的情况下，看解析式是否相同．

3. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】时，函数定义域不是R,不合题意；

时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，

故选A.

4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由抽象函数的定义域及二次根式的意义可得答案．

【详解】由题意得，解得；

故选：D．

5. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围即可判断.

【详解】由题意，

，则，

，则，

则有.

故选：D.

6. 设函数的零点为，则所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断各端点函数值的正负，根据零点存在性定理即可判断.

【详解】单调递增 ，且，，

由零点存在性定理可得函数的零点在区间内，

即所在的区间是.

故选：A.

7. 函数 (且)的图象单调递增、且过第四象限，则必有（    ）

A. 0<a<1，b>0 B. 0<a<1，b<0

C. a>1，b<1 D. a>1，b>0

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数的性质计算可得；

【详解】解：因为函数 (且)的图象单调递增、且过第四象限，所以，即，

故选：D

8. 已知函数，那么的值是（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用解析式直接计算即可.

【详解】由题意，，∴.

故选：C.

9. 设函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意知函数在其定义域上单调递增，将函数不等式转化为自变量的不等式．

【详解】

函数是定义在上的增函数，∵，

∴，解得，即

故选

【点睛】本题考查函数单调性的应用，属于基础题．

10. 中国北斗导航系统是继美国GPS等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统.北斗卫星由长征三号乙运载火箭送入太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音，声音的等级（单位：）与声音的强度（单位：）满足，火箭发射时的声音等级约为，两人交谈时的声音等级大约为，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的（    ）

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

【答案】C

【解析】

【分析】结合对数运算求得，进而求得声音强度的倍数.

【详解】由，得，

所以火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的倍.

故选：C

11. 函数在上是增函数，函数是偶函数，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系，即可得出结果.

【详解】因为函数是偶函数，则，

所以，函数的图象关于直线对称，

因为，，且，

因为函数在上为增函数，所以，，即.

故选：B.

12. 已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意只需对一切恒成立，作出与的图象，数形结合即可求解．

【详解】只需对一切恒成立，作出与的图象如下：

由图象可得：当时，，解得.

当时，，解得

故选：C

第Ⅱ卷（非选择题  共58分）

二、填空题（本题共4小题，每小题3.5分，共14分）

13. 函数（且）恒过定点的坐标为________.

【答案】

【解析】

【分析】令，求出的值，代入函数的解析式可得出函数的图象所过的定点坐标.

详解】对于函数（且），

令可得，所以，.

因此，函数的图象恒过定点.

故答案为：.

14. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则时，_________.

【答案】

【解析】

【分析】当时，，可求出表达式，利用奇函数的性质求出的表达式.

【详解】由题意知，当时，，

当时，，则，而在上为奇函数，

∴，故当时，.

故答案：

15. 不等式的解集为________．

【答案】．

【解析】

【分析】先把原不等式化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式即可.

【详解】不等式，再由函数在定义域内单调递增，从而可得：

．

故答案为：

【点睛】(1)利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；

(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．

16. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为_____．

【答案】；

【解析】

【详解】令 ,则为偶函数,且 ,当时, 为减函数

所以当时, ;当时, ;因此当时, ;当时, ,即不等式的解集为

点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.

三、解答题：共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 计算下列各题：

（1）；

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；

（2）根据指数与对数的运算性质即可求解.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式.

18. 已知全集，集合，集合是的定义域.

（1）当时，求集合；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】（1）代入的值,可得集合A,根据对数的图像与性质求得集合B,进而求得集合.

（2）根据集合关系可知,即B为的子集,根据包含关系即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）因为

则

根据对数图像与性质可知的定义域为

所以

（2）解不等式可得

所以,

因为

所以

所以,即

实数的取值范围为

【点睛】本题考查了集合与集合的关系,集合的交集与补集运算,属于基础题.

19. 已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值，并判断函数的单调性（给出单调性即可，不要求证明）；

（2）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.

【答案】（1），函数是减函数   

（2）

【解析】

【分析】（1）由可求得，然后利用函数奇偶性的定义验证即可，判断出函数为上的减函数，然后任取、且，作差，变形后判断的符号，即可得出结论；

（2）由可得出，由并结合二次函数的基本性质可求得的取值范围，即为所求.

【小问1详解】

解：因为函数为上的奇函数，则，可得，此时，

对任意的，，

所以，当时，函数为奇函数，合乎题意.

因此，.

因为，故函数在上为减函数，证明如下：

任取、且，所以，，

则，

所以，，故函数为上的减函数.

【小问2详解】

解：由可得，

因为函数在上的减函数，则，所以，，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，

因此，当时，函数有零点.

20. 某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

（I）求的值;

（II）给出以下二种函数模型：

①，②，

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;

（III）求该商品的日销售收入（元）的最小值.

（函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增.性质直接应用.）

【答案】(I)1,(II) ;(III) 121元

【解析】

【分析】（I）利用列方程，解方程求得的值.

（II）根据题目所给表格的数据，判断出日销售量不单调，由此确定选择模型②.将表格数据代入，待定系数法求得的值，也即求得的解析式.

（III）将写成分段函数的形式，由计算出日销售收入的解析式，根据函数的单调性求得的最小值.

【详解】（I）依题意知第10天该商品的日销售收入为

，解得.

（II）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.

从表中任意取两组值代入可求得

（III）由（2）知

∴

当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，

所以当时，取得最小值，且;

当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.

综上所述，当时，取得最小值，且.

故该商品的日销售收入的最小值为121元.

【点睛】本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用，考查利用函数的单调性求最值，考查运算求解能力，属于中档题.

21. 对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把叫闭函数.

（1）求证：函数是的闭函数；

（2）求闭函数符合条件②的区间；

（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）是，

【解析】

【分析】（1）根据定义与单调性求出，，即可证明；

（2）根据定义与单调性得，求出即可求解；

（3）根据定义与单调性得，转化为有两个根，利用一元二次方程即可求解.

【小问1详解】

依题意，

在区间上是增加的，

又∵，，∴的值域是

∴函数是的闭函数

【小问2详解】

在上递减，

则，解得，

所以，所求的区间为.

【小问3详解】

若闭函数，则存在区间，

在区间上，函数的值域为，

即，∴，为方程的两个实根，

即方程有两个不等的实根，

当时，有，解得；

当时，有无解.

综上所述，.

【点睛】方法点睛：以新定义作为载体的题型，主要是理解新定义的要求与条件，结合函数的性质进行化归转化，转化为熟悉的题型求解.