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第十九章《一次函数》导学案2022-2023学年人教版八年级数学下册
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这是一份第十九章《一次函数》导学案2022-2023学年人教版八年级数学下册，共22页。
初二数学
《一次函数》
导学案
第十九章 ：一次函数
单元概述
【学科大概念】
反映两个变量间的一一对应关系.
【课程大概念】
在具体情境中能运用一次函数的知识将数形结合思想渗透进入教学中，发展学生将问题信息转化到函数图象上的能力
【单元内容】
函数是数学的重要内容之一，在中学阶段有着承上启下的重要作用。函数的基础知识在数学及相近学科中也有广泛的应用，函数可以使学生从认识到知识形成的过程，为学生提供一个发挥、探索和创造的空间背景。本单元在学习了二元一次方程（组）、实数、直角坐标系中点和有序数对一一对应关系、一元一次不等式等知识后，让学生进一步用图象表示函数关系，并利用一次函数的图象作为工具研究各节内容，从而体会数形结合、转化、模型思想的运用；学习完本单元后，对进一步学习反比例函数、二次函数以及一般性函数的概念打下基础.
【课标要求】
(1)结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式(参见例58).
(2)会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
(3)能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和表达式探索并理解k>0和k<0时，图像的变化情况.
(4)理解正比例函数.
(5)体会一次函数与二元一次方程的关系.
(6)能用一次函数解决简单实际问题.
【单元目标】
1.在不同情境中找出常量与变量、并识别两个变量是否存在函数关系，用描点法画出函数的图象，根据图象抽象出一次函数的概念、图象及性质，猜想一次函数的研究路径，初步构建一次函数的结构体系.
2.用两点法画出一次函数的图象，结合图象探索一次函数的性质，初步体验借助图象研究函数性质的方法，探究一次函数图象与方程（组）、不等式的关系.
3.建立一次函数模型，利用数与形的联系解决“租车”方案最优问题及几何图形的面积问题，归纳一次函数模型在解决实际生活问题中的应用价值；
4.围绕一次函数核心概念重构思维导图，进行单元过关，灵活应用一次函数图象性质与方程、不等式解决综合问题.
【学习导航】
本单元的学习中，我们将其分为四个阶段进行单元学习。在整体感知部分，我们将结合课本资源对函数这个新知识来进行初步的认知，感知函数的概念及表示方法。在探究构建阶段，我们会在整体感知的基础上进行加深学习，先对正比例函数的性质、图像及解析式进行探究学习，然后再通过类比的方法来探究一次函数的性质、图像及其解析式。最后在与所学的不等式与方程进行对比分析。在应用迁移阶段我们将利用在探究构建所学的知识来解决与之相关的数学问题和实际问题，理解一次函数的实际价值。在重构拓展阶段先对本单元，对函数的基础知识进行重构，然后再利用所学知识解决一次函数的综合性问题.
一次函数
【学习目标】
1.在不同情境中找出常量与变量、用自己的话说出学习函数的基础和意义：
2.通过用描点法画出函数的图象，抽象概括并用自己的话说出一次函数的概念、图象及性质；
3.写出围绕一次函数学习的相关内容，并画出学习导图。
【学习任务】
学习活动1
初探一次函数的研究路径
——感知一次函数的研究背景
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在你周围的事物中这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
问题1：汽车以80 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km ，行驶时间为t h ，填写下表
t/h
1
2
3
4
5
S/km
（1） 在以上这个过程中，变量是什么？常量又是什么？
（2） 你能表示出t与s的关系吗？
问题2：下列关于变量x和y的关系，其中y是x的函数关系吗？为什么？
（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5）长方形的长为5时，其宽x与面积y.
问题3：图中是A市某天一昼夜气温变化的曲线。请根据此图回答下列问题：
（1）这天6时、8时和20时的气温T分别是多少？从4时到14时，气温发生了怎样的变化？曲线是怎样刻画这种变化的？
（2）怎样确定这天某一时刻t的气温T？
（3） 这条曲线反映的是哪两个变量之间的关系？
【归纳生成】
1. 函数的定义
2. 若y是x的函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的 .
【学习测评】
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；(2) ；(3)；(4)．
2.小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离。假设小明家、菜地、玉米地在同一条直线上.
（1） 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
（2） 小明给菜地浇水用了多长时间？
（3） 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4） 小明给玉米地锄草用了多长时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
学习活动2
--描点法画函数图象
在我们的日常生活中，经常需要研究两个变量之间的关系。例如，我们正方形的面积和边长之间的关系感兴趣，需要查看一下两者之间存在着一种什么样的关系，此时，采用图象法就是一种极好的研究方法。
问题：正方形的面积S与边长x的函数解析式为，根据问题中的实际意义在坐标系中用画图的方法来表示S与x的关系。
（1）计算并填写下表
x
0
1
2
3
……
S
……
（2）在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，则这些点组成的图形就是这个函数的图象.
【归纳生成】画函数图象的步骤是什么？
【学习评测】
1.画出函数的图象.
★2.画出函数的图象.
学习活动3
----抽象概括一次函数的概念、图象及性质
问题1：写出下列问题中的函数解析式.
（1） 每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化.
（2）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化.
（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拔打电话x min的计时费（按0.1元／min收取)
（4）把一个长2cm、宽1cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化
问题2：以上这些函数解析式形式上有什么特征？（1）、（2）与（3）、（4）函数解析式有什么区别和联系？
问题3：尝试用描点法画出问题1（4）的图象，猜想一次函数图象和性质.
【归纳生成】
1. 一次函数的定义（说出正比例函数和一次函数的关联）.
2. 一次函数图象与性质.
【学习测评】
1. 下列函数：
① ② ③ ④ ⑤其中是一次函数的有 ,正比例函数的有 .
2. 某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1 km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高x km时，他们所处位置的气温是y℃．用解析式表示y与x的关系为 .
学习活动4
——感知一次函数的研究路径并初步构建结构体系
根据上面的研究感知，相信同学们对一次函数有了一定的认识，请你写出一次函数研究路径并初步构建本单元结构体系.
一次函数
【学习目标】
1. 用两点法画一次函数的图象，说出如何取点更方便，并说出待定系数法确定一次函数解析式的原理；
2. 结合图象说出k和b 的几何意义，并举例说明参数对函数图象的影响;
3. 探究一次函数与方程（组）、不等式的关系，解决函数比较大小问题，说出数形结合的至少2点应用.
【学习任务】
探究一次函数的图象与性质
学习活动1
——描点法画一次函数图象（两点法）
问题1：选择合适的自变量的值，在同一坐标系中画出函数，，的图象.
问题2：待定系数法求一次函数解析式
已知y是x的一次函数，当x=3，y=5，x=-4，y=-9，求y与x之间的函数解析式？
【归纳生成】
1. 画一次函数图象时选取哪两个点画图更方便？正比例函数呢？
2.待定系数法求一次函数解析式的步骤.
学习活动2
——结合一次函数图象探究一次函数的性质
在学习活动1中我们已经用描点法画出了函数，，的图象.
问题1：观察这3个图象，这3个函数图象形状都是_________，并且倾斜度_______，从左向右 .函数的图象经过原点，函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到；函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到.
问题2：观察图象当自变量x值变化时函数值y如何变化？它们分别经过那几个象限？
接下来请你适当选择自变量的值，在同一直角坐标系中再画出函数，，的图象.
问题3：观察这三个图象，这三个函数图象形状都是_________，并且倾斜度_______，从左向右 .函数的图象经过原点，函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到；同样的，函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到.
问题4：观察图象当自变量x值变化时函数值y如何变化？它们分别经过那几个象限？
【归纳生成】
1. 一次函数（k≠0）的图象是一条____ _.
当时，它是由直线向_____平移_____个单位长度得到；
当时，它是由直线向_____平移_____个单位长度得到.
2. 填表
图象
性质
直线经过的象限
增减性
【学习测评】
1.下列函数中是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.如图，已知一次函数的图象，当x＜0，y的取值范围是（ ）
A．y＞0 B．y＜0 C．y＜﹣2 D．2＜y＜0
4.一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
5.已知一次函数的图象经过一、三、四象限，则m的取值范围为 .
6.已知一次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 .
7.将一次函数的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数关系式为．
第2题图 第3题图 第5题图
8.已知一次函数根据下列条件，求m的取值范围.
（1）y随x的增大而增大；
（2）直线与y轴的交点在x轴的上方；
（3）图象经过第一、三、四象限；
（4）图象不经过第四象限.
学习活动3
——探究一次函数图象与方程、不等式的关系
问题1：1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
（1）请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y（m）与气球上升时间 x（min）的函数关系．并在同一坐标系中画出其函数图象.你有什么发现？
h1
h2
（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
（3）二元一次方程与一次函数有什么关系？
问题2：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．
（1）乙复印社的每月承包费是多少？
（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
问题3: 画出函数y＝的图象，根据图象，指出：
(1) x取什么值时，函数值 y等于零？
(2) x取什么值时，函数值 y始终大于零？
【归纳生成】
1. 总结一次函数图象与方程（组）的关系
2. 利用图象解不等式的步骤.
【学习评测】
1. 利用图象解下列方程组.
(1) (2)
2. 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？
3. 画出函数的图象，根据图象，指出：
(1) x取什么值时，函数值 y等于零？
(2) x取什么值时，函数值 y大于零？
(3) x取什么值时，函数值 y小于零？
4. 利用图象解不等式：(1)2x－5＞－x＋1，(2) 2x－5＜－x＋1．
一次函数
【学习目标】
1.应用一次函数中的变量关系解决销售类问题，并选择最优购买方案；
2.构建函数模型，解决生活中常见的行程、工程问题，说出模型思想在解决实际问题中的应用；
3.借助函数图象获取信息，利用一次函数相关性质解决图形面积问题，说出数与形如何结合的3点收获.
【学习任务】建立一次函数模型解决实际问题
学习活动1
——最优方案的选择
某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
【归纳生成】
总结最优方案选择问题的一般步骤.
【学习评测】
1.小亮家最近购买了一套住房．准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅．经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样．小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用x(m2)表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制成下图．请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)预算中铺设居室的费用为 元/ m2，铺设客厅的费用为 元/ m2；
(2)表示铺设居室的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 ，表示铺设客厅的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 .
(3)已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元；购买1m2的瓷砖是购买1m2的木质地板费用的.那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少？
2.某校初一共有师生930人，计划选出234名优秀学生由6名教师带队到云南陆军讲武堂接受爱国主义教育；计划总费用在2300元限额内，租用客车出行，要求每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲乙两种客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示：
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
3.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
(1)求如图所示的y与x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)；
(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
学习活动2
——借助函数图象获取信息，解决行程、工程问题
问题1：甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了________h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
问题2：甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．
（1） 求乙组加工零件总量a的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
【实践生成】
归纳总结利用函数图象解决实际问题的方法步骤及注意事项.
【学习评测】
1.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300 km；
②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；
③乙车出发后2.5 h追上甲车；
④当甲、乙两车相距50 km时，t＝或.
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
2.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数解析式．
学习活动3
——利用图象解决几何问题
问题1：如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示：
（1）点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；
（2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；
（3）当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2 ？
问题2：如图，直线分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线与x轴交于点C，两直线相交于点C，两直线相交于点B，连接AC.
（1） 求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2） 求△ABC的面积
【学习评测】
1.已知一次函数的图象经过点A(3，－3)，且与直线的交点B在x轴上．
（1）求直线AB对应的函数解析式；
（2）求直线AB与坐标轴所围成的三角形BOC(O为坐标原点，C为直线AB与y轴的交点)的面积．
2.如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A(3，4)，其中一次函数与y轴交于B点，且OA＝OB.
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求△AOB的面积S.
一次函数
【学习目标】
1.以一次函数图象与性质为核心，梳理核心内容、逻辑关系，重构一次函数的思维导图；
2.综合运用一次函数的图象与性质解决常见的生活实际类问题，说出至少2种思想方法；
3.围绕一次函数图象与性质、2个关系、一次函数应用进行二次过关，说出建立函数模型解决实际生活问题的2-4点收获.
【学习任务】应用一次函数的图象和性质解决综合性问题
【单元重构】一次函数解决综合问题
通过学习，相信同学们对一次函数有了更加深入的认识，下面有两个任务更大家任选一个完成。
任务1：从函数的概念、图象、性质、应用等方面层层深入，再次阅读课本内容，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图.
任务2：选择一类你深入研究的函数，总结其概念、图象、性质、与方程不等式的关系、应用等内容，且总结学习思想和方法，与同学交流.
【单元拓展】
在同一坐标系内画出一次函数和的图象，并回答下列问题：
（1） 直线和的交点坐标是 ；
（2）当 时，.
【基础过关】
1. 函数的图象与x轴的交点坐标是_______,与y轴的交点坐标是 .
2. 一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 若一次函数中的y随x的增大而减小，且图象交x轴于负半轴，则（ ）
A.k＞0,b＞0 B.k＞0,b＜0 C.k＜0,b＞0 D.k＜0,b＜0
4. 函数自变量x的取值范围是___________.
5. 若是正比例函数，求m的值.
6. 若一次函数的图象过（1,2），（2,0）求一次函数的解析式．
7. 已知y与x+2成正比例，当时y＝10，求y与x之间的函数关系式.
8. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（-2，-1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积和△AOC的面积.
【应用过关】
1.如图，、分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系.
（1）B出发时与A相距 千米；
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，
则修车所用的时间是 小时；
（3）B出发后 小时与A相遇；
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
则经过 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米；
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式.
2.某校校长要带市级“三好学生”去“世界恐龙谷”研学旅行，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的6折优惠。”全票的价格为240元。
（1）设学生的人数为x，甲旅行社收费y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费。
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生人数x讨论哪家旅行社更优惠？
初二数学
《一次函数》
导学案
第十九章 ：一次函数
单元概述
【学科大概念】
反映两个变量间的一一对应关系.
【课程大概念】
在具体情境中能运用一次函数的知识将数形结合思想渗透进入教学中，发展学生将问题信息转化到函数图象上的能力
【单元内容】
函数是数学的重要内容之一，在中学阶段有着承上启下的重要作用。函数的基础知识在数学及相近学科中也有广泛的应用，函数可以使学生从认识到知识形成的过程，为学生提供一个发挥、探索和创造的空间背景。本单元在学习了二元一次方程（组）、实数、直角坐标系中点和有序数对一一对应关系、一元一次不等式等知识后，让学生进一步用图象表示函数关系，并利用一次函数的图象作为工具研究各节内容，从而体会数形结合、转化、模型思想的运用；学习完本单元后，对进一步学习反比例函数、二次函数以及一般性函数的概念打下基础.
【课标要求】
(1)结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式(参见例58).
(2)会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
(3)能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和表达式探索并理解k>0和k<0时，图像的变化情况.
(4)理解正比例函数.
(5)体会一次函数与二元一次方程的关系.
(6)能用一次函数解决简单实际问题.
【单元目标】
1.在不同情境中找出常量与变量、并识别两个变量是否存在函数关系，用描点法画出函数的图象，根据图象抽象出一次函数的概念、图象及性质，猜想一次函数的研究路径，初步构建一次函数的结构体系.
2.用两点法画出一次函数的图象，结合图象探索一次函数的性质，初步体验借助图象研究函数性质的方法，探究一次函数图象与方程（组）、不等式的关系.
3.建立一次函数模型，利用数与形的联系解决“租车”方案最优问题及几何图形的面积问题，归纳一次函数模型在解决实际生活问题中的应用价值；
4.围绕一次函数核心概念重构思维导图，进行单元过关，灵活应用一次函数图象性质与方程、不等式解决综合问题.
【学习导航】
本单元的学习中，我们将其分为四个阶段进行单元学习。在整体感知部分，我们将结合课本资源对函数这个新知识来进行初步的认知，感知函数的概念及表示方法。在探究构建阶段，我们会在整体感知的基础上进行加深学习，先对正比例函数的性质、图像及解析式进行探究学习，然后再通过类比的方法来探究一次函数的性质、图像及其解析式。最后在与所学的不等式与方程进行对比分析。在应用迁移阶段我们将利用在探究构建所学的知识来解决与之相关的数学问题和实际问题，理解一次函数的实际价值。在重构拓展阶段先对本单元，对函数的基础知识进行重构，然后再利用所学知识解决一次函数的综合性问题.
一次函数
【学习目标】
1.在不同情境中找出常量与变量、用自己的话说出学习函数的基础和意义：
2.通过用描点法画出函数的图象，抽象概括并用自己的话说出一次函数的概念、图象及性质；
3.写出围绕一次函数学习的相关内容，并画出学习导图。
【学习任务】
学习活动1
初探一次函数的研究路径
——感知一次函数的研究背景
“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在你周围的事物中这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.
问题1：汽车以80 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km ，行驶时间为t h ，填写下表
t/h
1
2
3
4
5
S/km
（1） 在以上这个过程中，变量是什么？常量又是什么？
（2） 你能表示出t与s的关系吗？
问题2：下列关于变量x和y的关系，其中y是x的函数关系吗？为什么？
（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5）长方形的长为5时，其宽x与面积y.
问题3：图中是A市某天一昼夜气温变化的曲线。请根据此图回答下列问题：
（1）这天6时、8时和20时的气温T分别是多少？从4时到14时，气温发生了怎样的变化？曲线是怎样刻画这种变化的？
（2）怎样确定这天某一时刻t的气温T？
（3） 这条曲线反映的是哪两个变量之间的关系？
【归纳生成】
1. 函数的定义
2. 若y是x的函数，如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的 .
【学习测评】
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)；(2) ；(3)；(4)．
2.小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离。假设小明家、菜地、玉米地在同一条直线上.
（1） 菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
（2） 小明给菜地浇水用了多长时间？
（3） 菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？
（4） 小明给玉米地锄草用了多长时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
学习活动2
--描点法画函数图象
在我们的日常生活中，经常需要研究两个变量之间的关系。例如，我们正方形的面积和边长之间的关系感兴趣，需要查看一下两者之间存在着一种什么样的关系，此时，采用图象法就是一种极好的研究方法。
问题：正方形的面积S与边长x的函数解析式为，根据问题中的实际意义在坐标系中用画图的方法来表示S与x的关系。
（1）计算并填写下表
x
0
1
2
3
……
S
……
（2）在直角坐标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，则这些点组成的图形就是这个函数的图象.
【归纳生成】画函数图象的步骤是什么？
【学习评测】
1.画出函数的图象.
★2.画出函数的图象.
学习活动3
----抽象概括一次函数的概念、图象及性质
问题1：写出下列问题中的函数解析式.
（1） 每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化.
（2）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化.
（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括月租费22元和拔打电话x min的计时费（按0.1元／min收取)
（4）把一个长2cm、宽1cm的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化
问题2：以上这些函数解析式形式上有什么特征？（1）、（2）与（3）、（4）函数解析式有什么区别和联系？
问题3：尝试用描点法画出问题1（4）的图象，猜想一次函数图象和性质.
【归纳生成】
1. 一次函数的定义（说出正比例函数和一次函数的关联）.
2. 一次函数图象与性质.
【学习测评】
1. 下列函数：
① ② ③ ④ ⑤其中是一次函数的有 ,正比例函数的有 .
2. 某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1 km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高x km时，他们所处位置的气温是y℃．用解析式表示y与x的关系为 .
学习活动4
——感知一次函数的研究路径并初步构建结构体系
根据上面的研究感知，相信同学们对一次函数有了一定的认识，请你写出一次函数研究路径并初步构建本单元结构体系.
一次函数
【学习目标】
1. 用两点法画一次函数的图象，说出如何取点更方便，并说出待定系数法确定一次函数解析式的原理；
2. 结合图象说出k和b 的几何意义，并举例说明参数对函数图象的影响;
3. 探究一次函数与方程（组）、不等式的关系，解决函数比较大小问题，说出数形结合的至少2点应用.
【学习任务】
探究一次函数的图象与性质
学习活动1
——描点法画一次函数图象（两点法）
问题1：选择合适的自变量的值，在同一坐标系中画出函数，，的图象.
问题2：待定系数法求一次函数解析式
已知y是x的一次函数，当x=3，y=5，x=-4，y=-9，求y与x之间的函数解析式？
【归纳生成】
1. 画一次函数图象时选取哪两个点画图更方便？正比例函数呢？
2.待定系数法求一次函数解析式的步骤.
学习活动2
——结合一次函数图象探究一次函数的性质
在学习活动1中我们已经用描点法画出了函数，，的图象.
问题1：观察这3个图象，这3个函数图象形状都是_________，并且倾斜度_______，从左向右 .函数的图象经过原点，函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到；函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到.
问题2：观察图象当自变量x值变化时函数值y如何变化？它们分别经过那几个象限？
接下来请你适当选择自变量的值，在同一直角坐标系中再画出函数，，的图象.
问题3：观察这三个图象，这三个函数图象形状都是_________，并且倾斜度_______，从左向右 .函数的图象经过原点，函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到；同样的，函数与y轴交于点________，即它可以看作由直线向_____平移_____个单位长度得到.
问题4：观察图象当自变量x值变化时函数值y如何变化？它们分别经过那几个象限？
【归纳生成】
1. 一次函数（k≠0）的图象是一条____ _.
当时，它是由直线向_____平移_____个单位长度得到；
当时，它是由直线向_____平移_____个单位长度得到.
2. 填表
图象
性质
直线经过的象限
增减性
【学习测评】
1.下列函数中是正比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.如图，已知一次函数的图象，当x＜0，y的取值范围是（ ）
A．y＞0 B．y＜0 C．y＜﹣2 D．2＜y＜0
4.一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＞0，b＜0
5.已知一次函数的图象经过一、三、四象限，则m的取值范围为 .
6.已知一次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 .
7.将一次函数的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数关系式为．
第2题图 第3题图 第5题图
8.已知一次函数根据下列条件，求m的取值范围.
（1）y随x的增大而增大；
（2）直线与y轴的交点在x轴的上方；
（3）图象经过第一、三、四象限；
（4）图象不经过第四象限.
学习活动3
——探究一次函数图象与方程、不等式的关系
问题1：1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．
（1）请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y（m）与气球上升时间 x（min）的函数关系．并在同一坐标系中画出其函数图象.你有什么发现？
h1
h2
（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
（3）二元一次方程与一次函数有什么关系？
问题2：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如下图所示．
（1）乙复印社的每月承包费是多少？
（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？
（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？
问题3: 画出函数y＝的图象，根据图象，指出：
(1) x取什么值时，函数值 y等于零？
(2) x取什么值时，函数值 y始终大于零？
【归纳生成】
1. 总结一次函数图象与方程（组）的关系
2. 利用图象解不等式的步骤.
【学习评测】
1. 利用图象解下列方程组.
(1) (2)
2. 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张．请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？
3. 画出函数的图象，根据图象，指出：
(1) x取什么值时，函数值 y等于零？
(2) x取什么值时，函数值 y大于零？
(3) x取什么值时，函数值 y小于零？
4. 利用图象解不等式：(1)2x－5＞－x＋1，(2) 2x－5＜－x＋1．
一次函数
【学习目标】
1.应用一次函数中的变量关系解决销售类问题，并选择最优购买方案；
2.构建函数模型，解决生活中常见的行程、工程问题，说出模型思想在解决实际问题中的应用；
3.借助函数图象获取信息，利用一次函数相关性质解决图形面积问题，说出数与形如何结合的3点收获.
【学习任务】建立一次函数模型解决实际问题
学习活动1
——最优方案的选择
某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者．果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．
【归纳生成】
总结最优方案选择问题的一般步骤.
【学习评测】
1.小亮家最近购买了一套住房．准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅．经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样．小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用x(m2)表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制成下图．请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)预算中铺设居室的费用为 元/ m2，铺设客厅的费用为 元/ m2；
(2)表示铺设居室的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 ，表示铺设客厅的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 .
(3)已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元；购买1m2的瓷砖是购买1m2的木质地板费用的.那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少？
2.某校初一共有师生930人，计划选出234名优秀学生由6名教师带队到云南陆军讲武堂接受爱国主义教育；计划总费用在2300元限额内，租用客车出行，要求每辆汽车上至少要有1名教师.现有甲乙两种客车可供选择，它们的载客量和租金如下表所示：
甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
45
30
租金/（元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
3.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．
甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．
(1)求如图所示的y与x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)；
(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
学习活动2
——借助函数图象获取信息，解决行程、工程问题
问题1：甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了________h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
问题2：甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图象如图所示．
（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．
（1） 求乙组加工零件总量a的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
【实践生成】
归纳总结利用函数图象解决实际问题的方法步骤及注意事项.
【学习评测】
1.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300 km；
②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；
③乙车出发后2.5 h追上甲车；
④当甲、乙两车相距50 km时，t＝或.
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
2.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
（1）求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？
（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数解析式．
学习活动3
——利用图象解决几何问题
问题1：如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，三角形APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示：
（1）点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，三角形APD的面积S的最大值为________cm2；
（2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；
（3）当t为何值时，三角形APD的面积为10 cm2 ？
问题2：如图，直线分别与x轴、y轴交于点D、点A，直线与x轴交于点C，两直线相交于点C，两直线相交于点B，连接AC.
（1） 求点B的坐标和直线AC的解析式；
（2） 求△ABC的面积
【学习评测】
1.已知一次函数的图象经过点A(3，－3)，且与直线的交点B在x轴上．
（1）求直线AB对应的函数解析式；
（2）求直线AB与坐标轴所围成的三角形BOC(O为坐标原点，C为直线AB与y轴的交点)的面积．
2.如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A(3，4)，其中一次函数与y轴交于B点，且OA＝OB.
(1)求这两个函数的解析式；
(2)求△AOB的面积S.
一次函数
【学习目标】
1.以一次函数图象与性质为核心，梳理核心内容、逻辑关系，重构一次函数的思维导图；
2.综合运用一次函数的图象与性质解决常见的生活实际类问题，说出至少2种思想方法；
3.围绕一次函数图象与性质、2个关系、一次函数应用进行二次过关，说出建立函数模型解决实际生活问题的2-4点收获.
【学习任务】应用一次函数的图象和性质解决综合性问题
【单元重构】一次函数解决综合问题
通过学习，相信同学们对一次函数有了更加深入的认识，下面有两个任务更大家任选一个完成。
任务1：从函数的概念、图象、性质、应用等方面层层深入，再次阅读课本内容，梳理本单元的核心知识和它们逻辑体系，重构思维导图.
任务2：选择一类你深入研究的函数，总结其概念、图象、性质、与方程不等式的关系、应用等内容，且总结学习思想和方法，与同学交流.
【单元拓展】
在同一坐标系内画出一次函数和的图象，并回答下列问题：
（1） 直线和的交点坐标是 ；
（2）当 时，.
【基础过关】
1. 函数的图象与x轴的交点坐标是_______,与y轴的交点坐标是 .
2. 一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 若一次函数中的y随x的增大而减小，且图象交x轴于负半轴，则（ ）
A.k＞0,b＞0 B.k＞0,b＜0 C.k＜0,b＞0 D.k＜0,b＜0
4. 函数自变量x的取值范围是___________.
5. 若是正比例函数，求m的值.
6. 若一次函数的图象过（1,2），（2,0）求一次函数的解析式．
7. 已知y与x+2成正比例，当时y＝10，求y与x之间的函数关系式.
8. 如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A（m，2），一次函数图象经过点B（-2，-1），与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积和△AOC的面积.
【应用过关】
1.如图，、分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系.
（1）B出发时与A相距 千米；
（2）B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，
则修车所用的时间是 小时；
（3）B出发后 小时与A相遇；
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，
则经过 小时与A相遇，相遇点离B的出发点 千米；
（5）求出A行走的路程S与时间t的函数关系式.
2.某校校长要带市级“三好学生”去“世界恐龙谷”研学旅行，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的6折优惠。”全票的价格为240元。
（1）设学生的人数为x，甲旅行社收费y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费。
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费一样？
（3）就学生人数x讨论哪家旅行社更优惠？
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