2023年山东省枣庄市山亭区中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省枣庄市山亭区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数，，，中最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列图形属于中心对称的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  已知抛物线，下列结论错误的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴的交点坐标为
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小

6.  在下面网格中，小正方形的边长为，的顶点都是格点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是(    )

A.
B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 点的坐标为
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为        ．

10.  如图，是的直径，，，在上，若，则的度数为______．

11.  如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为          ．
 

12.  如图所示，小区内有个圆形花坛，点在弦上，，，，则这个花坛的面积为          结果保留
 

13.  如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为        ．

14.  如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形若，，则阴影部分的面积为          ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：

该班的总人数为______人，并补全条形图注：在所补小矩形上方标出人数；
在该班团支部人中，有人参加美术社团，人参加演讲社团，人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们人中任选人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有人参加美术社团、人参加演讲社团的概率．

18.  本小题分
小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图，已知，，，，．
连结，求线段的长．
求点，之间的距离．
结果精确到参考数据：，，，，，
 

19.  本小题分
和均为等边三角形，点、分别从点，同时出发，以相同的速度沿、运动，运动到点、停止．

如图，当点、分别与点、重合时，请判断：线段、的数量关系是______，位置关系是______；
如图，当点、不与点，重合时，中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
当点运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．

20.  本小题分
小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质其研究过程如下：
绘制函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，其中        ；

描点：根据表中的数值描点，请补充描出点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
探究函数性质：
函数值随的增大而减小；
函数图象关于原点对称；
函数图象与直线没有交点；
此函数图象是轴对称图形；
以上结论正确的是把正确结论的序号写在横线上：        ．
 

21.  本小题分
如图，点在以为直径的上，与过点的切线垂直，垂足为点．
求证：平分；
求证：；
若，，求线段的长．

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．

求抛物线的表达式；
当线段的长度最大时，求点的坐标；
抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了有理数大小比较的方法．在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．正数大于，负数小于，正数大于负数．两个正数中绝对值大的数大．两个负数中绝对值大的反而小．根据有理数大小比较的方法即可得出答案．
【解答】
解：，
所以最大的是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：作的高，下列作法正确的是．
故选：．
根据三角形高的定义对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故错误；
B.，故错误；
C.，故错误；
D.，正确．
故选：．
根据平方差公式、幂的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行判断．
本题综合考查了平方差公式，幂的乘方与合并同类项，单项式乘单项式．此题属于基础题，难度较低．
 

4.【答案】 

【解析】解：第个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
第、、个图形中都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，抛物线开口向上，正确，不符合题意；
B、令，则，抛物线与轴的交点为，原结论错误，符合题意；
C、抛物线的顶点坐标为，正确，不符合题意；
D、抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小，正确，不符合题意．
故选：．
根据抛物线时，开口向上，时，开口向下判断选项；令求出的值即可得出抛物线与轴的交点判断选项；根据抛物线的顶点坐标为判断选项；根据抛物线，时，随的增大而减小判断选项．
本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特点，掌握抛物线，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大；时，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图：在中，，，则；
；
故选：．
利用网格构造直角三角形，求出边长后，以及三角函数的意义求出结果．
考查三角函数的意义，一般的解法就是构造直角三角形，依据三角函数的定义求解，在网格中通常借助网格构造直角三角形，依据网格的边长为长度进行计算．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
利用三角形中位线定理知；然后在直角三角形中根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可求出的长度．
【解答】
解：、分别是、的中点，
是的中位线，
；
又是线段的中点，，
，
，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项A错误，不符合题意；
B、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；
C、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项C错误，不符合题意；
D、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为的点在第一象限，
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得，
即的值为．
把把代入原方程得，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理，可分别求出，，即可求的度数．
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
根据勾股定理得到，由作图可知，是线段的垂直平分线，求得，，推出，根据平行四边形的性质得到，，，同理证得，于是得到结论．
【解答】
解：，，，
，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
同理证得，
四边形的周长，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及圆面积的计算公式是正确解答的前提．
根据垂径定理，勾股定理求出，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．
【解答】
解：如图，连接，过点作于，
，过圆心，是弦，
，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：由图易得点坐标为，
为的中点，
，旋转之后，，
过作轴，垂足为，
，
，，
点坐标为，
将代入反比例函数，
得，
可得．
故答案为：．
先判断出的坐标，根据旋转的特点，求出的坐标即可求解．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出的坐标是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，设交于点，连接首先证明，根据求解即可．
本题考查扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．

，，
，
，
，，
，   ，


．
故答案为：．  

15.【答案】解：


 

【解析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角形函数值，要熟练掌握运算法则牢记、、角的各种三角函数值是解题的关键．
先将各数进行化简，再计算即可．
 

16.【答案】解：




，
当时，原式． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

17.【答案】解：
选择“演讲”人数为人，
补全图形如下：


设美术社团为，演讲社团为，声乐社团为画树状图为：

由树状图知，共有种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有人参加美术社团、人参加演讲社团的有种结果，
所以选出的两人中恰好有人参加美术社团、人参加演讲社团的概率为． 

【解析】解：该班总人数为人，
则选择“演讲”人数为人，
补全图形如下：

故答案为：；
设美术社团为，演讲社团为，声乐社团为画树状图为：

由树状图知，共有种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有人参加美术社团、人参加演讲社团的有种结果，
所以选出的两人中恰好有人参加美术社团、人参加演讲社团的概率为．
由选择“声乐”社团人数及其所占百分比可得该班总人数，用该班总人数乘以选择“演讲”人数所占比例即可得出其人数，据此可补全图形；
设美术社团为，演讲社团为，声乐社团为画树状图列出所有等可能结果，从中找到恰好有人参加美术社团、人参加演讲社团的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图，过点作于点，

，．
，
，
，
线段的长约为；
横截面是一个轴对称图形，
延长交、延长线于点，
连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
点，之间的距离． 

【解析】过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，利用锐角三角函数即可解决问题；
根据横截面是一个轴对称图形，延长交、延长线于点，连接，所以，根据直角三角形两个锐角互余可得，然后利用锐角三角函数即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
 

19.【答案】解：；．
结论成立．
理由：如图中，连接．

，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，

≌，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
；

当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．
理由：如图中，连接．

由可知，是等边三角形，，
，
，
∽，
，
，，
四边形是平行四边形，

． 

【解析】，都是等边三角形，
，，
，
故答案为：，；
证明≌，推出，，再证明是等边三角形，可得结论；
当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．利用相似三角形的性质，等高模型解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

20.【答案】   

【解析】解：时，，
，
故答案为：；
点如图所示；图象如图所示．

根据函数图象可得：
每一个分支上，函数值随的增大而减小，故错误；
图象关于对称，故错误；
时，无意义，函数图象与直线没有交点，故正确；
此函数图象是轴对称图形，故正确；
故答案为：．
将代入即得的值；
描出即可；
把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可；
根据图象，数形结合即可判断．
观察图象即可求得．
本题考查函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示：

切于，
，
又，
，
，
，
，
，
平分；
证明：为的直径，
，
，
∽，
：：，
；
解：由得：∽，
，
，
，
，
，
，
在中，． 

【解析】连接，由可以得到，证出，由平行线的性质证出，即可得出结论；
由圆周角定理证出，证明∽，得出对应边成比例，即可得出结论；
由相似三角形的性质得出，得出，求出，，在中，由勾股定理即可求出的长．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：因为过点、，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，
点，
设直线的解析式为，由直线过点、的坐标得，
，
解得，
直线的表达式为：，
设点的横坐标为，则点，
点，
，
，
有最大值，此时，
点；
存在，理由：
点，则，，
以点，，为顶点的三角形与相似，
当∽，即时，
，
解得：或舍去，
同理当∽时，
，
故，或．

 

【解析】直接利用待定系数法即可得到答案；
先求得点的坐标，再求直线的表达式，设点的横坐标为，则点，再得的表达式即可得到答案；
利用相似三角形的性质可得方程式，求解可得答案．
此题考查的是待定系数法求解析式、二次函数的最值问题、相似三角形的性质等知识，利用待定系数法求得解析式是解决此题关键．