2023年湖北省十堰市郧阳区中考数学质检试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023年湖北省十堰市郧阳区中考数学质检试卷（3月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖北省十堰市郧阳区中考数学质检试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  (    )A.  B.  C.  D. 2.  如图是由五个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，某同学在做“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长能正确解释这一现象的数学知识是
(    )
 A. 过一点有无数条直线 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 以上说法都不正确5.  某课外学习小组有人，在一次数学测验中的成绩分别是：，，，，，则他们的成绩的平均数和众数分别是(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和6.  我国明代数学读本算法统宗中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，还差两问客人有几人？设客人有人，则可列方程为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚和交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度的地方即同时使，，然后张开两脚，使、两个尖端分别在线段的两个端点上，若，则的长是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为米，那么这两树在坡面上的距离为(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个10.  如图，点是二次函数图象上的一点，且位于第一象限，点是直线上一点，点与点关于原点对称，连接，，若为等边三角形，则点的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  年月日凌晨，长征号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面米的高度，与空间站完成自主交会对接任务用科学记数法表示为        ．12.  不等式的解集为        ．13.  小聪和小明两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，随机出手一次是平局的概率是______．14.  将字母“”，“”按照所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中“”的个数是        ．
 15.  如图，在半径为，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，交弦于点，连接，则图中阴影部分的面积是______．
 16.  【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法如图，我们可以将绕点顺时针旋转得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．
【解决问题】如图，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值        ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
结合图象直接写出不等式的解集．
20.  本小题分
某校七年级数学备课组在“互联网”教学模式下进行一元一次方程章节教学前，设计了如下四种预习方案：
方案教材预习
方案导学案预习
方案导学案课外教辅资料预习
方案前置学习单课前微课预习
为达到良好的预习效果，备课组教师将上述预习方案作为调查内容发到全年级名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种，他们随机抽取部分学生的调查问卷进行统计，并根据统计数据画出如下不完整的两幅统计图．

请根据已有的信息完成下列任务：
备课组教师抽取了        名学生的调查问卷；
计算扇形统计图中方案的圆心角的度数是        ，并补全条形统计图；
估计该校七年级同学中选择“方案”这种预习方案的有多少人？21.  本小题分
如图，平行四边形，对角线、相交于点，，，、是对角线上的两个动点，点从点开始向点匀速运动，点从点开始向点匀速运动，点和点同时出发，且运动速度均为．
求证：当、运动过程中不与点重合时，四边形是平行四边形；
若四边形为矩形，求动点、运动时间．
22.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点，且平分．
求证：直线是的切线；
连接，若，，求的长．
23.  本小题分
服装店销售进价为元件的运动服，市场调查发现：当售价为元件时，月销售量为件；每提价元，月销售量减少件．若该运动服提价后的售价为元件为整数，月销售量为件，月利润元，请解答下列问题：
直接写出与的函数关系式和自变量的取值范围；
当售价为多少元时，月利润元最大，最大月利润是多少元？
若商场规定运动服销量不少于件月，且月利润不低于元时，求售价的取值范围．24.  本小题分
如图，在中，，，过点作于点，点为线段上一点不与，重合，在线段上取点，使，连接，．

观察猜想：线段与的数量关系是        ，与的位置关系是        ；
类比探究：将绕点旋转到如图所示的位置，请写出与的数量关系及位置关系，并就图的情形说明理由；
问题解决：已知，，将绕点旋转，当以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的长．25.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点．

求抛物线的解析式；
当面积最大时，求点的坐标；
如图，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是关键．
 2.【答案】 【解析】解：这个组合体的主视图为：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法画出它的主视图即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体的三视图的形状是正确解答的前提．
 3.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了同底数幂的乘法，除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：原式，正确；
B.原式，错误；
C.原式，错误；
D.原式，错误，
故选：．  4.【答案】 【解析】解：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长．能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
故选：．
根据两点之间，线段最短进行解答．
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
 5.【答案】 【解析】解：在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是；
他们的成绩的平均数为：．
故选A．
众数的定义求解；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；再利用平均数的求法得出答案．
此题主要考查了众数以及平均数的求法，此题比较简单注意计算时要认真减少不必要的计算错误．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，得．
故选：．
若每人两，还剩两，则银子共有两；若每人两，还差两，则银子共有两．根据银子数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，，
：：：，，
∽，
，
，
，
，
故选：．
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．
 8.【答案】 【解析】解：米，．
．
故选：．
利用所给的角的余弦值求解即可．
此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用．
 9.【答案】 【解析】解：如图所示，连接，
直径所对的圆周角为，
，

又为的中点，
为等腰三角形，
，正确；
，正确；
，
，
，正确；
，
，
，
，
，正确．

故选：．
连接，借助直径所对的圆周角为，得出为等腰三角形的结论，再根据等腰三角形等角及圆的性质作答．
此题考查了圆、圆周角的性质，等腰三角形的性质及判定，解题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的性质．
 10.【答案】 【解析】解：连接，作轴于，轴于，
点与点关于原点对称，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，，
，，
，
点是直线上一点，
，
解得或舍去，
，
故选：．
连接，作轴于，轴于，根据题意，，即可得到，设，通过证得∽，得到，代入直线即可得到关于的方程，解方程即可求得的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的特征，等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，表示出、的坐标是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 12.【答案】 【解析】解：不等式移项得：，
合并同类项得：，
故答案为：．
先移项，然后合并同类项，再把系数化为即可求出不等式的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：小聪和小明玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：

由表格可知，共有种等可能情况．其中平局的有种：石头，石头、剪刀，剪刀、布，布．
小聪和小明平局的概率为：．
故答案为：．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 【解析】解：第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，

第个图中的个数为，
故答案为：．
列举每个图形中的个数，找到规律即可得出答案．
本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多个是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．
已知为直径，则，得到在等腰直角三角形中，垂直平分，，为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形的面积与的面积之差．
【解答】
解：在中，，
是半圆的直径，
，
则在等腰中，垂直平分，，
为半圆的中点，
．
故答案为．  16.【答案】 【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，

在中，，，
，
由旋转的性质可知：，、是等边三角形，
，
，
，
当、、、共线时，的值最小，
，，
，
，，
，，
，
的最小值为，
故答案为：．
将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
 17.【答案】解：


． 【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 18.【答案】解：原式
，
当时，
原式
． 【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 19.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
点在反比例函数图象上，
．
，
把，的坐标代入，则，
解得，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
如图，设直线交轴于，

则，
；
观察函数图象知，
不等式的解集为或． 【解析】利用待定系数法求解即可；
设直线交轴于，则，根据求解即可；
观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，本题属于中考常考题型．
 20.【答案】   【解析】解：名，
备课组教师抽取了名学生的调查问卷；
方案的圆心角的度数是，
方案的人数为人，
方案的人数为人，
补全条形图如下：

人，
估计该校七年级同学中选择“方案”这种预习方案的有人．
根据方案的人数和所占的百分比即可求出总人数；
首先求出方案所占的百分比，然后乘以即可求出方案的圆心角的度数，用总数乘以方案所占的百分比即可求出方案的人数，用总人数减去方案，，的人数即可求出方案的人数；
用乘以方案所占的百分比求解即可．
考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键．
 21.【答案】连接、、、，

根据题意可得：，
平行四边形的对角线、相交于点，
，，
当点在上，点在上，
，即，
四边形是平行四边形，
当点在上，点在上，
，即，
四边形是平行四边形，
所以当、运动过程中不与点重合时，四边形是平行四边形；
当点在上，点在上，且，
四边形为矩形，
运动时间为，
，
，
，
，
当点在上，点在上，且，四边形为矩形，
，
，
，
所以当或时，四边形为矩形，
即动点、运动时间为或． 【解析】连接、、、，根据平行四边形的判定与性质，分两种情况进行解答：当点在上，点在上，当点在上，点在上；
分两种情况：当点在上，点在上，且，四边形为矩形；当点在上，点在上，且，四边形为矩形，利用矩形的性质进行解答即可．
此题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质，能够进行正确分类是解决此题的关键．
 22.【答案】证明：如图所示，连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
又点在上，
直线是的切线；
解：如图所示，连接，

由得，
，
，
是直径，
，
，，
∽，
，即，
，
，，
． 【解析】如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；
先求出，利用勾股定理求出，证明∽求出，利用勾股定理求出，，则．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
 23.【答案】解：根据题意得：；
由题意得，，
又，
当时，，
当售价为多少元时，月利润最大，最大月利润是元；
当时，，
解得，，
，
，
的取值范围是． 【解析】根据题意得出月销售量为；
根据每件利润为元，即可得出月销售利润元与售价元件的函数关系式，再二次函数的性质可得最大值；
根据题意列一元二次方程再结合二次函数的性质可得答案．
本题考查了二次函数的解析式的确定以及运用；根据题意得出与的函数关系式是解决问题的关键．
 24.【答案】   【解析】解：延长交于点，如图，

，，
为等腰直角三角形，
，
是的中线，
，
，，
≌，
，，
，
．
，
在中，，
，
故答案为：，；
，
理由如下：延长交于点，

，，
为等腰直角三角形，
，
，
根据旋转可知，
，
，
，，
≌，
，，
，
．
，
，
在中，，
；
，，
为等腰直角三角形．
，，
，
．
，以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，
当点在上时，点在上时，四边形是平行四边形，

，．
；
当点在上时，四边形是平行四边形，连接，

，
；
当点在外，点在上时，四边形是平行四边形，

，．
，，
，
，
，
四边形是正方形，
．
综上所述，的长度为或．
延长交于点，先证明为等腰直角三角形，再证明≌，问题随之得解；
延长交于点，同，先证明为等腰直角三角形，再证明≌，问题随之得解；
先根据等腰直角三角形的性质求得，再由勾股定理求出的长度，分三种情况：当点在上时，点在上时，四边形是平行四边形；
当点在上时，四边形是平行四边形；当点在外，点在上时，四边形是平行四边形，分别利用勾股定理和平行四边形的性质求解．
本题主要考查了旋转的性质，平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．理解相关知识，作出辅助线，构建三角形是解答关键．
 25.【答案】解：抛物线过点，，，
代入得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
设，则，
设直线解析式为，
直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
当时，即当时，；
存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，则，．
，
如图，过点作轴于点，则，

由可得：，，，
，
是等腰直角三角形，

当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点，
当∽时，，即，
解得：或舍去，
；
当∽时，，即，
解得：或舍去，
．
综上所述，或． 【解析】将，，三点的坐标代入，得到关于，，的三元一次方程组，解方程组即可；
设，则，求得直线的解析式为，即可得到，根据三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得结论；
分∽和∽两种情况列式求解即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质以及坐标系中面积的求法，其中第小问，要注意分类求解，避免遗漏．