2023年山东省聊城市冠县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省聊城市冠县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一组数据：，，，，若添加一个数据，则不发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

6.  若是方程的一个根，则此方程的另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，是由个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，，是上的三点，若，则的度数是  (    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是关于的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是(    )

A. 该函数的最大值为
B. 当时，随的增大而增大
C. 当时，对应的函数值
D. 当和时，对应的函数值相等
 

11.  有一个正边形旋转后与自身重合，则为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在一个单位面积为的方格纸上，，，，是斜边在轴上，且斜边长分别为，，，的等腰直角三角形若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，则的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  因式分解：______．

14.  如图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳定的城市是______选填“甲”或“乙”

15.  如图，边长为的正方形内接于，则的长是______结果保留．

16.  一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．

17.  如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于          ．
 

三、解答题（本大题共7小题，共59.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：并写出它的正整数解．

19.  本小题分
如图，点，分别在边，上，且，连接，求证：是等腰三角形．

20.  本小题分
某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

频数分布表

请根据图表中的信息解答下列问题：
频数分布表中的______，______，______；
请补全频数分布直方图；
若该校九年级共有名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数．

21.  本小题分
如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．参考数据：，，，，，

22.  本小题分
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．
求甲乙两种类型笔记本的单价．
该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共件，且购买的乙的数量不超过甲的倍，则购买的最低费用是多少．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
求点的坐标和反比例函数的解析式
点是反比例函数图象上一点且纵坐标是，连接，，求的面积．

24.  本小题分
已知函数为常数的图象经过点，．
求，的值．
当时，求的最大值．
当时，若的最大值与最小值之和为，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是有限小数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：．
无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义选择即可．
本题考查无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据整式的加减运算中合并同类项计算即可．
本题考查了整式的加减法中的合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，，
．
故选：．
根据平行线的性质求解即可．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故符合题意；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数为和，故不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入方程，
得，
解得：，
方程为，
解得：，，
故选：．
把代入方程求出，得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，主要考查学生的计算能力，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从正面看，只有一层，共有四个小正方形，．
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
 

8.【答案】 

【解析】解：先设每个小等边三角的面积为，
则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故选：．
先设每个小等边三角的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
，
．
故选：．
由圆周角定理，即可求得的度数，又由，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：
A.该函数的最大值为，原说法错误，故本选项不合题意；
B.当时，随的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C.当时，对应的函数值，原说法错误，故本选项不合题意；
D.设时，，则，
解得，
，
当时，；
设时，，
则，
解得，
，
当时，，
当和时，对应的函数值都等于，
当和时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
本题考查了一次函数的应用，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键．
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角的求法进而得出答案．
【解答】
解：正六边形旋转后不能与自身重合，不合题意；
B.正九边形旋转后不能与自身重合，不合题意；
C.正十二边形旋转后能与自身重合，符合题意；
D.正十五边形旋转后不能与自身重合，不合题意，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：观察图形可以看出---；---；每个为一组，
，
在轴负半轴上，纵坐标为，
、、、的横坐标分别为，，，
的横坐标为．
的坐标为．
故选：．
观察图形可以看出---；---；每个为一组，由于，在轴负半轴上，纵坐标为，再根据横坐标变化找到规律即可解答．
本题考查了等腰直角三角形的性质，坐标的规律，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确寻找规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再套用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
 

14.【答案】乙 

【解析】解：由图知，乙的气温波动较小，故本周的日平均气温稳定的是乙城市．
故答案为：乙．
根据方差的性质：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．据此判断即可．
本题主要考查了方差的性质，掌握利用方差判断稳定性是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、．

正方形内接于，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
的长，
故答案为：
连接、，可证，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出即可．
本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出的度数和的长是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
，，，
，
，


，
故答案为：．
根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换折叠问题、平行四边形的性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
由折叠可知，，，如图，当与重合时，最短，可得．
【解答】
解：由折叠可知，，，如图，当与重合时，最短．
，，
，
，
即长的最小值为．
故答案为：．  

18.【答案】解：解不等式得．
解不等式得，
不等式组的解集为：．
不等式组的正整数解为：，，． 

【解析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形． 

【解析】利用证明≌可推出，即可证明结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：；；；
补全频数分布直方图如下：

人，
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于的学生人数为人． 

【解析】

【分析】
本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法以及用样本估计总体．
根据“总数频数频率”可得的值，进而得出、的值；
根据的值即可补全频数分布直方图；
利用样本估计总体解答即可．
【解答】
解：由题意可知，，
，，
故答案为：；；；
见答案．  

21.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，

在中，
，米，
，，
米，
米，
在中，
，米，
，
米，
米．
答：、两点之间的距离约为米． 

【解析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数，是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
 

22.【答案】解：设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为元，
答：甲类型的笔记本单价为元，乙类型的笔记本单价为元；
设甲类型笔记本购买了件，则乙类型的笔记本购买了件，购买总费用为元，
由题意得，，且
，
，
，
随的增大而减小，
时，最小，最小值为元，
答：最低费用为元． 

【解析】设甲类型的笔记本单价为元，则乙类型的笔记本单价为元，列出分式方程，从而解决问题；
设甲类型笔记本购买了件，总费用为元，则乙类型的笔记本购买了件，列出关于的函数解析式，再根据的范围可得答案．
本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：一次函数的图象过点，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
点是反比例函数图象上一点且纵坐标是，
，
作轴，交直线于点，则点的纵坐标为，
代入得，，解得，
，
，
． 

【解析】由一次函数的解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
作轴，交直线于点，则点的纵坐标为，利用函数解析式求得、的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，本题具有一定的代表性，是一道不错的题目，数形结合思想的运用．
 

24.【答案】解：把，代入，
得，．
，
又，
当时，有最大值为．
当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
，
或舍去．
当时，
当时有最大值为，
的最大值与最小值之和为，
最小值为，
，
或舍去．
综上所述，或． 

【解析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出的取值范围是解题关键．
将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；
根据的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定的最大值即可；
根据对称轴为，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出的取值范围即可．