2023年广东省河源市龙川县中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省河源市龙川县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年，广东省外贸进出口总值再创新高，达到亿元，那么“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，则的余角为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一组数据为，，，，，这组数据的平均数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图是一个正八边形，则它(    )
 

A. 只是轴对称图形 B. 只是中心对称图形
C. 既是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

7.  下列式子中，是它的解的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于二次函数的最值，说法正确的是(    )

A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最大值为 D. 最大值为

9.  如图，四边形为菱形，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，为上任意一点，分别以，为边在同侧作正方形、正方形，连接，，设，，则与的关系为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  ______ ．

12.  一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中红球个，白球个，从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为        ．

13.  不等式：的解集是______．

14.  如图，在中，，，平分的外角，则        ．

15.  如图，扇形的面积为，半径，则的长为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
解分式方程：．

18.  本小题分
某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为元件，售价为元件；乙种商品进价为元件，售价为元件现商场用元购进这两种商品并全部售出，两种商品的总利润为元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

19.  本小题分
如图，的两条弦，分别连接，，交点为．
求证：≌；
连接，若为的直径，，，求的长．

20.  本小题分
某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛百分制，从中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：，，，，其中八年级名学生的成绩分别是，，，，，，，，，；九年级学生的成绩在组中的数据是，，．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述，，的值：        ，        ，        ；
你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？
若该校九年级共人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀的九年级学生有多少人？

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求一次函数的表达式；
连接，，求的面积．

22.  本小题分
如图，在矩形中，，，点是边上一点点不与，重合，过点作交于点，连接．
当时，求的值；
当时，求的度数；
若点为的中点，求的长．

23.  本小题分
如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求点的坐标；
点为轴上一点，且存在点使得为直角三角形，求出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义乘积为的两个数互为倒数解决此题．
本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：的余角．
故选：．
根据互余的两角之和为，即可得出答案．
本题考查了余角的知识，解答本题需要用到：互余的两角之和为．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据零指数幂的定义可得：任何非零的数的零次幂为，即．
故选：．
根据零指数幂的定义解答即可．
本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
故选：．
根据平均数的计算公式即可求出．
本题考查了平均数的概念．熟记公式是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、将代入原方程，左边右边，
选项符合题意；
B、将代入原方程，左边右边，
选项不符合题意；
C、不是不等式的解，
选项不符合题意；
D、不是不等式组的解，
选项不符合题意．
综上所述，选项符合题意．
故选：．
根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可．
本题主要考查了方程的解和不等式的解集．正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数中，
，
函数图象开口向下，
函数有最大值，
函数图象的顶点坐标为，
二次函数的最大值为．
故选：．
根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论．
本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出函数的顶点坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：．
根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
．
故选：．
根据正方形的性质，利用“”证明≌，证得即可求得答案．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值即可求解．
考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个不透明布袋中装有除颜色外其余均相同的个小球，其中红球个，白球个，
从中随机摸出一球，颜色为红色的概率为．
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：移项得：，
合并得：，
系数化为得：．
故答案为：．
不等式移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
平分的外角，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设的长为，
扇形的面积为，半径，
，
解得：，
即的长是．
故答案为：．
设的长为，根据扇形面积公式和弧长公式得出，再求出即可．
本题考查了扇形的面积的和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键，扇形的圆心角为，半径为，那么扇形的面积等于，扇形所对的弧的长度是．
 

16.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则按原式化简，把的值代入计算得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
即分式方程的解是． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：设购进甲种商品件，乙种商品件，
根据题意，得，
解得，
答：该商场购进甲种商品件，乙种商品件． 

【解析】设购进甲种商品件，乙种商品件，根据现商场用元购进这两种商品，销售完后获得总利润元，列二元一次方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，，
≌；
解：如图，为的直径，
，
，
设，，
≌，
，
在中，
根据勾股定理得：，
即，
解得或不符合题意，舍去，
，，
，
即的长为． 

【解析】首先根据圆周角定理证得，，再根据即可证明≌；
若为的直径，则，根据，可设，，则由可知，在中根据勾股定理可求出，则．
本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
 

20.【答案】     

【解析】解：由题意可知，，故；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是分，故众数；
九年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故中位数为，
故答案为：；；；
九年级成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的中位数和众数大于八年级；九年级测试成绩的方差小于八年级；
人．
答：估计竞赛成绩优秀的九年级学生大约有人．
用分别减去其它三组所占百分比即可得出的值，根据众数和中位数的定义即可得出、的值；
可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
利用样本估计总体即可．
本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
 

21.【答案】解：点和点都在反比例函数的图象上，
，
，，
点坐标为，点坐标为，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
设直线交轴于，
当时，，
点坐标，
．
． 

【解析】根据点和点都在反比例函数的图象上即可求出和的值，进而利用待定系数法求出一次函数的解析式；
利用求解即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
．
四边形为矩形，，，
，
，
，
∽，
．
，
；
四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，．
在中，
，
．
，
，
；
点为的中点，
．
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
，
∽，
，
，
解得：．
的长为或． 

【解析】利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；
利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质和平行线的性质解答即可；
利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质列出关于的比例式解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
，
抛物线顶点的坐标为；
在中，令得，
，
设，
又，
，，，
当为斜边时，如图：

，
解得，
；
当为斜边时，如图：

，
解得或，
或；
当为斜边时，

，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】用待定系数法求出抛物线解析式为，化为顶点式即可得抛物线顶点的坐标为；
在中，得，设，故C，，，分三种情况：当为斜边时，，当为斜边时，，当为斜边时，，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形等知识，解题的关键是利用勾股定理逆定理列方程解决问题．