2023年安徽省合肥五十中中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省合肥五十中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，该几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，正方形和等边三角形均内接于，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某社区要从、、三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者和的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于的方程有且仅有两个不同的实数解，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，是线段上的动点且于，，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

9.  不等式组的解集是        ．

10.  在半径为的圆中，圆心角所对的弧长是        ．

11.  如图，矩形中，点在双曲线上，点、在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，已知的面积为，则        ．

12.  已知点是抛物线上一动点．
当点到轴的距离不大于时，的取值范围是        ；
当点到直线的距离不大于时，的取值范围是，则的值为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
如图，网格中小正方形的边长均为，是格点三角形即三角形的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．

在图中作出的中线；
请在图中找一格点，使得．

15.  本小题分
如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为，若梯子底端向右水平移动至点，此时梯子顶端向上移动至点，此时，求长度参考数据：，，

16.  本小题分
观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
；
；
；
       ；
       ；
       ．

17.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点．
求和的值；
如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求．

18.  本小题分
已知等腰，，且，连接交于点，以为直径的上有一点，使得，连接交于点，若．
判断与的关系，并说明理由；
若，求的值．

19.  本小题分
年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了名学生的成绩，整理并制成了如不完整的频数分布表和频数分布直方图．

其中这一组的数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，根据以上提供的信息，解答下列问题：
表格中        ，        ，        ；
抽取的名学生竞赛成绩的众数是        ；
若以组中值每组正中间数值为本组数据的平均数，全校共有名学生参与竞赛，试估计所有学生成绩的平均分．

20.  本小题分
已知四边形，，，相交于点，且，，设，，．

如图，当时，时，        ；        ；
如图，当时，时，        ；        ；
观察中的计算结果，利用图证明，，三者关系．
如图，在平行四边形中，点，，分别是，，的中点，，，，求的长．

21.  本小题分

已知抛物线：．

若抛物线的顶点坐标为，求，的值；

当，时，抛物线的最小值是，求的值；

当，时，恒成立，则的最大值为_____．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
选项A符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，该几何体的俯视图是．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：直线经过一、二、四象限，
，，
，
直线的图象经过一、二、三象限，
选项B中图象符合题意．
故选：．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接、、、，过点作于点，如图，

设的半径，则，
正方形和等边三角形均内接于，
，，
，，，
，
，
．
故选：．
构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形来解决问题．
此题主要考查了正多边形和圆，能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中恰好抽到志愿者和的有种结果，
所以恰好抽到志愿者和的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，列出表格．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，方程无解，
当时，方程的解为，不合题意．
当时，原方程化为：．
或．
方程的判别式，
方程有两个不等实数根．
原方程有且仅有两个不同的实数解，
方程没有实数根．
．

故选：．
先去绝对值符号，再求的范围．
本题考查分式方程的解，去绝对值和分母是求解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：取中点，连接，，如图：

，
是直角三角形，
是中点，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的弧，
，，
，
当，，构成三角形时，，即，
当，，共线时，取最小值，最小值即为．
故选：．
取中点，连接，，由是直角三角形，是中点，可得，故G的轨迹是以为圆心，为半径的弧，而，当，，构成三角形时，，从而可得，，共线时，最小值为．
本题考查直角三角形中的动点问题，解题的关键是求出的运动轨迹．
 

9.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为，由此即可计算．
本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，设交轴于，交于，设，则，设则，

，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
的面积为，
，
．
故答案为：．
设交轴于，交于，设，则，设利用平行线分线段成比例定理求出，即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

12.【答案】  或 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
函数有最小值，
点是抛物线上，且点到轴的距离不大于，
，
时，；时，，
．
故答案为：；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或；
的取值范围是，
或，
点到直线的距离不大于，
，
或，
，
的值为或．
故答案为：或．
由解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，求得点到轴的距离为时的函数值，即可根据二次函数的性质求得符合题意的的取值；
由点到直线的距离不大于即可得到，解得，根据的取值范围是得到或，即可求得的值为或．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式

． 

【解析】分别根据绝对值的性质，零指数幂的计算法则，数的开方法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质，零指数幂的计算法则，数的开方法则及特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

14.【答案】解：如下图：

线段即为所求；
点即为所求． 

【解析】根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再连线即可；
根据网格线的特征，，根据等底同高面积相等，点即为所求．
本题考查了作图的应用与设计，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】解：，，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
即长度为 

【解析】由题意可知是等腰直角三角形，所以，设，则，，在中，利用即可解答．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握各个锐角三角函数的定义并灵活运用．
 

16.【答案】   

【解析】解：


，
，
故答案为：；
，
，
故答案为：；


，
故答案为：．
根据题目信息列出算式，然后提取，进行计算即可得解；
观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的，然后列出算式进行计算即可得解；
根据中规律列算式计算即可．
本题是对数字变化规律的考查，难度较大，利用类比的思想求解即可，观察出的变化规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：把点坐标代入一次函数解析式可得：
，
，
点在反比例函数图象上，
；

过点作垂足为，连接，

一次函数的图象与轴相交于点，
点的坐标为，
，
四边形是菱形，
，，
． 

【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得，则可求得点坐标，代入反比例函数解析式则可求得的值；
根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据两点间距离公式，可得，根据菱形的性质，可得的长，根据平行线间的距离相等，可得．
本题考查了反比例函数综合题，解的关键是待定系数法，解的关键是利用平行线间的距离都相等得出是解题关键．
 

18.【答案】解：与相切，理由：
连接，如图，

，
．
，
．
，
．
，
，
，
，
为的半径，
与相切；
连接，交于点，连接，，如图，
为的直径，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
，
，
．
为的直径，
．
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
，
．
为的直径，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】连接，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
连接，交于点，连接，，利用圆周角定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质得到，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系定理，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

19.【答案】       

【解析】解：，，
，
故答案为：，，；
根据这一组的数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，可知众数为；
分，
答：估计所有学生成绩的平均分为分．
根据频数频率总数及各组频数之和等于总数求解即可；
根据众数的定义求解即可；
利用加权平均数的定义及样本估计总体求解即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】    

【解析】解：，，
，
，，
，，
，
，，
故答案为：，；
，
∽，
，
在中，，，
，，
，，
，，
故答案为：，；
．
证明：设，，则，．
根据勾股定理得：，
同理，
，
又，
；
如图，连接，交于，与交于点，设与的交点为，

点、分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，分别是的中线，
由的结论得：，
，
，
．
由等腰直角三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再由勾股定理得到结果；证明∽，由相似三角形的性质得出，求出和的长，由勾股定理可得出答案；
设，，则，根据勾股定理得出，，类比即可证得结论；
连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线于是证出，由四边形是平行四边形，得到，根据，分别是，的中点，得到，证出四边形是平行四边形，证得，由的结论得即可得到结果．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，注意类比思想在本题中的应用．
 

21.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
，
，
，；

，对称轴为，
当时，由题意可知，解得，符合题意；
当时，，解得，，不合题意舍去；
当时，根据题意可知，解得，符合题意；
综上所述，所求的值为或．
． 

【解析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质与图象，函数的对称轴，关键要熟练二次函数待定系数法求解析式，二次函数的图象以及性质．
根据顶点坐标，列出函数解析式，即可得出，的值．
先根据已知条件确定抛物线的对称轴直线，再分三种情况讨论函数取最小值时的值．
通过抛物线的移动范围确定当恒成立时，的值，进一步确定最大值．
【解答】
解：见答案；
见答案
当时，抛物线的解析式为，
如图所示，抛物线的顶点在直线上移动，

当时，恒成立，
则可知抛物线的顶点坐标为，
设抛物线与直线除顶点外的另一个交点为，
此时点的横坐标即为的最大值，
由解得，，
的最大值为．
故答案为：．