江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2022-2023学年高一下学期第一次质量调研数学试题 Word版含解析

2022-2023学年第二学期泗阳县实验高级中学高一年级第一次质量调研

数学试卷

分值：150分； 时长：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知向量，，若与方向相反，则等于（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量共线可求出，再根据方向相反判断即可得出答案.

【详解】因为向量，，

若与共线，则，

解得；

当时，，，，两向量同向，不合题意；

当时，，，，两向量反向，满足题意.

故选：C.

2. 在中，，，，则此三角形（    ）

A. 无解 B. 一解

C. 两解 D. 解的个数不确定

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.

【详解】在中，，，，

由正弦定理得，而为锐角，且，

则或，

所以有两解．

故选：C

3. 设为所在平面内一点，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由，结合得出.

【详解】由题意可知，为所在平面内一点，，如下图所示

①；②

因为，代入①中可得③

由②③可得，

故选：B

4. 已知函数的部分函数值如下表所示：

那么函数的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（    ）

A. 0.55 B. 0.57 C. 0.65 D. 0.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.

【详解】函数在R上单调递增，

由数表知：，

由零点存在性定义知，函数零点在区间内，

所以函数的一个零点的近似值为.

故选：B

5. 求值：（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】由为特殊角，

根据和差化积代入原式即可求解．

【详解】

.

故选C

【点睛】本题考查了三角函数化简求值，要掌握住和差化积公式．

6. 设为锐角，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二倍角的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】因为为锐角，所以，因此，

所以，于是有：

.

故选：B

7. 在中，，则此三角形的形状是（    ）

A. 等边三角形 B. 钝角三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角恒等变换公式将公式变形，转化方向是变成简单的三角方程求角的值，通过角的值来确定的形状．

【详解】，

，

，

，即，

，.

故此三角形为直角三角形.

故选C

【点睛】考查利用三角恒等变换公式进行灵活变形的能力，此题训练掌握相关公式的熟练程度以及选择变形方向的能力，属于基础题．

8. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可.

【详解】由题知，

因为函数（其中且）恰有个不同的零点，

所以，即，恰有个不同的解，

令

因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称，

由，

所以函数是周期函数，且最小正周期，

因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称，

当时，由函数的图象与函数的图象知，

函数的图象与函数的图象有且只有2个交点，

即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去；

当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象，

如图所示，由图知，函数图象与函数的图象有6个不同交点，

即方程有6个不相等的实数根，

所以，解得，

故选：B.

二、选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列等式成立的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】AD

【解析】

【详解】利用两角和差公式和二倍角公式依次判断各个选项即可．

【解答过程】对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：AD.

10. 已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（    ）

A.

B. 若，则；

C. 非零向量和，满足，则与的夹角为；

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，根据数量积的运算推导即可；

对B，举反例推导即可；

对C，根据画图分析即可；

对D，根据平面向量满足的运算律求解判断即可

【详解】对A，，因为，故成立，A正确；

对B，当为零向量时，可以不为相等向量，故B错误；

对C，因为，易得可构成正三角形，由平行四边形法则可知与的夹角为，故C正确；

对D，，故D正确

故选：ACD

【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的理解与运算律、数形结合解决平面向量的问题，属于基础题

11. 对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A. 若，则是等腰三角形

B. 若，则一定为直角三角形

C. 若，则为锐角三角形

D. 若，则一定是等边三角形

【答案】BCD

【解析】

【分析】直接利用三角函数关系式恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状判定的应用判断选项即可.

【详解】A：由，得或，得或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误；

B：由得，

整理得，有，

又，所以，故，得，

所以一定是直角三角形，故B正确；

C：由于，整理得，

有，又，

所以，所以，

所以是锐角三角形，故C正确；

D：，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，

当且仅当时关系式成立，所以一定等边三角形，故D正确.

故选：BCD

12. 已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（    ）

A. 实数的取值范围为

B.

C.

D. 的最大值为1

【答案】AD

【解析】

【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.

【详解】由函数可知其图象如下图所示，

又因为存在，使得，

所以函数与有三个不同的交点，

根据图象可知，故A错误；

根据函数图像可知，所以

得，即，故B正确；

显然，且关于对称，所以，故C正确；

因为，且，所以，

，当且仅当时，等号成立；

又因为，所以，故D错误；

故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数的零点在区间内，则_______．

【答案】2

【解析】

【详解】 ， ，且函数在定义域内递增，所以函数零点所在的区间为 ，所以 ，故答案为 .

14. 已知向量，，，则在上的投影向量的坐标为__________

【答案】

【解析】

【分析】利用向量的投影向量公式即可直接求出结果.

【详解】因为，，所以，又，

所以在上的投影向量的坐标为，

故答案为：.

15. 若，则实数的值为_________

【答案】2

【解析】

【分析】由已知解得，然后分子分母同乘以，再由两角差的正弦公式、诱导公式、二倍角公式变形后可得．

【详解】由已知

，

故答案为：2.

16. 在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的最小值为____________

【答案】##

【解析】

【分析】利用正弦定理，同角三角函数的基本关系和基本不等式即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可得，

又因为，所以，

整理可得，因为，

所以，且，

，

则

，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知都是锐角，且，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解.

试题解析：（1）因为，所以，

又因为，所以.

利用同角三角函数的基本关系可得，且，

解得.

（2）由（1）可得，.

因为为锐角，，所以.

所以

.

18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值；

(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值.

【详解】（1）因为，

由余弦定理，得，即.

所以.

（2）因为，

由正弦定理，得，所以.

从而，即，故.

因为，所以，从而.

因此.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.

19. 已知向量.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，然后由化简可求出，再利用两向量的夹角公式可求得结果；

（2）由，得，化简后可求出的值.

【详解】解：（1）由，得，

由，得，，所以，

设向量与夹角为，则；

（2）因为，

所以，即，

所以，解得.

20. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：在中，角A、、对应的边分别为、、，若，___________，

（1）求角的值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①，由诱导公式，两角和的余弦公式展开后求得，从而得角；

选择②，由二倍角公式、诱导公式变形求得，从而得角；

选择③，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简后求得，从而得角；

（2）由余弦定理交代入已知条件，利用二次函数知识得最小值．

【小问1详解】

若选择①：（1）在中，有，

则由题可得：，

， 

，，

又，所以，，则.  

又，所以；

若选择②：（1）在中，有，

则由题可得，

解得或（舍去），

又，所以；

若选择③：（1）由正弦定理可将已知条件转化为，

，

代入上式得，       

又，所以，，，

又，所以．

【小问2详解】

因为，所以，.

由余弦定理可得：

，

，又，

所以，当时，，即的最小值为；

21. 北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：

已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：

①，②，③

（1）选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

（2）根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．

【答案】（1）模型③最合适，理由见解析；   

（2）第天达到最低.

【解析】

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幂函数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的模型和中的参数，代入，化简后使用基本不等式求解.

【小问1详解】

模型③最合适，理由如下：

对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应数据递增的速度较慢，故模型①不合适；

对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有

，解得，

∴，

经验证，均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

【小问2详解】

∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），

∴第天的日销售收入为（元），

∴，

∴，

由（1）所选模型③，当且时，

（元）

当且仅当，即时，等号成立，

∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.

22. 在△中，满足：，M是的中点.

（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值；

（2）若点P是内一点，且，，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据分配律化简，结合二次函数的性质求得最小值.

（2）设，求得、，进而求得的表达式，结合基本不等式求得最小值.

【详解】（1），，

设，则，而，

，

当且仅当时，的最小值是.

（2）设，

，，，

，

同理：，

当且仅当时，

所以.

【点睛】求向量的模时，可考虑使用来进行求解.