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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品课件ppt
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椭圆是圆锥曲线的一种,具有丰富的几何性质,在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用,那么椭圆到底有怎样的几何特征呢?
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫椭圆.这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
要点诠释:(1)F1、F2是椭圆上不同的两个定点;(2)若P 是椭圆上任意一点,则| PF1| + |PF2|=常数;(3)当 常数>|F1F2|时,轨迹为椭圆; 当 常数= |F1F2| ,则轨迹为线段F1F2; 当 常数<|F1F2| ,则轨迹不存在.
【例】 若动点M 到两个定点F1,F2的距离的和为定值 m,则M 的轨迹是( ) A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 以上都不对
解: 由于m 与 |F1F2| 大小关系不能确定,因此M 的轨迹可能是椭圆,也可能是线段,还有可能不存在,故选D.
要点诠释: 1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2. 在椭圆的两种标准方程中,都有 a>b>0 和 c2= a2-b2; 3. 椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在 x 轴上时,椭圆的焦点坐标为(c,0),(-c,0);当焦点在 y 轴上时,椭圆的焦点坐标为 (0,c),(0,-c) ; 4. 在两种标准方程中,∵a2>b2,∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
【例】方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则m的取值范围是____________.
解:因为焦点在 y 轴上,所以16+m > 25-m,即 ,又因为b2=25-m > 0,故m < 25,所以m的取值范围为 .
(1)待定系数法: ①若能够根据题目中条件确定焦点位置,可先设出标准方程,再由题设确定方程中的参数a,b,即:“先定型,再定量”. ②由题目中条件不能确定焦点位置,一般需分类讨论;有时也可设其方程的一般式:mx2 + ny2 = 1(m, n>0且m ≠ n).
(2)定义法: 先分析题设条件,判断出动点的轨迹,然后根据椭圆的定义确定方程,即“先定型,再定量”.利用该方法求标准方程时,要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
(1)因为焦点在 x 轴上,即设椭圆的标准方程为 ,∵椭圆经过点 ,∴ ①,由已知 即 ②,把②代入①,得 ,解得 ∴椭圆的标准方程为 .
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