2022年广东省惠州市惠东县中考一模数学试题

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2022年广东省惠州市惠东县中考一模数学试题
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）2021年我省粮食总产量695.2亿斤，居历史第二高位，695.2亿用科学记数法表示为（　　）
A．695.2×108 B．6.952×109 C．6.952×1010 D．6.952×1011
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a﹣a＝1 B．﹣2a3÷（﹣a）＝a2
C．a2•a3＝a6 D．（a3）2＝a6
4．（3分）下列立体图形中，左视图是圆的为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）一组数据1，3，4，4，4，5，5，6的众数和中位数分别是（　　）
A．4，1 B．5，5 C．4，4 D．4，5
7．（3分）关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数a的值可能为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．（3分）如图，是一张长方形纸片（其中AB∥CD），点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为（　　）

A．108° B．120° C．136° D．144°
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF．其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3a2﹣12ab+12b2＝　 　．
12．（3分）一个六边形的外角和为 　 　°．
13．（3分）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则另一个根为 　 　．
14．（3分）已知：点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝图象上（k＞0），用“＜”表示y1、y2、y3的大小关系是 　 　．
15．（3分）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：（π﹣）0+﹣9tan30°．
17．（8分）先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝，b＝1．
18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠B的平分线BD交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若DC＝2，求AC的长．

19．（9分）某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　 　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　 　%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　 　人喜欢篮球项目．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
20．（9分）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
21．（9分）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（﹣3，﹣2）两点．
（1）求m的值；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；
（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1＞y2，求实数p的取值范围．

22．（12分）如图，点O在∠MPN的平分线上，⊙O与PO相交于点C．与PO的延长线相交于点D，与PM相切于点A．
（1）求证：直线PN是⊙O的切线；
（2）若PA＝4，PC＝2，求⊙O的半径；
（3）点G是劣弧AC上一点，过点G作⊙O的切线分别交PM，PN于点E，F，若△PEF的周长是⊙O半径的3倍，求tan∠EPF的值．

23．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若∠PDC＝45°，求点P的坐标；
（3）如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值．


2022年广东省惠州市惠东县中考一模数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2． 解：695.2亿＝6.952×1010．
故选：C．
3． 解：A、2a﹣a＝a，故本选项错误；
B、﹣2a3÷（﹣a）＝2a2，故本选项错误；
C、a2•a3＝a5，故本选项错误；
D、（a3）2＝a6，故本选项正确；
故选：D．
4． 解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故A错误，不符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故 B错误，不符合题意；
C、圆台的左视图是梯形，故C错误，不符合题意；
D、球的左视图是圆，故D正确，符合题意；
故选：D．
5． 解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，
∴S△ABC：S△ADE＝1：4，
∵△ABC∽△ADE，
∴，
∴或（不符合题意，舍去）
∵，
∴．
故选：B．
6． 解：这组数据的众数为4，中位数为＝4，
故选：C．
7． 解：∵关于x的方程x2﹣x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝12﹣4×（a﹣2）＞0，
解得a＜．
观察选项，只有A选项符合题意．
故选：A．
8． 解：由折叠的性质，可知：∠AEF＝∠FEH．
∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF+∠FEH+∠BEH＝180°，
∴∠AEF＝×180°＝30°，∠BEH＝4∠AEF＝120°．
∵AB∥CD，
∴∠DHE＝∠BEH＝120°，
∴∠CHG＝∠DHE＝120°．
故选：B．
9． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵BA＝BE＝2，BC＝，
∴cos∠CBE＝＝，
∴∠CBE＝30°，
∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，
∴S扇形BAE＝＝，
故选：C．
10． 解：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴＝，
∴＝，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF中，OC＝EF＝x，
△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝＝AO+OC，
∴1+x＝，
x＝2﹣，
∴＝＝，故③正确，
③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故④正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：3a2﹣12ab+12b2＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
12． 解：六边形的外角和是360°．
故答案为：360．
13． 解：方程的另一个根是﹣12÷3＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14． 解：∵反比例函数中k＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，
∴点A（﹣2，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∵0＜2＜3，
∴点B（2，y2），C（3，y3）位于第一象限，
∴y2＞y3＞0．
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
15． 解：作MH⊥DE于H，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，
∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠2＝60°，
∴△AED为等边三角形，
∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，
∴∠5＝∠6＝30°，
∴△MDE为等腰三角形，
∴DH＝EH＝，
在Rt△MDH中，MH＝DH＝，
∴S△MDE＝×1×＝．
故答案为：．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝1+9+3﹣9×＝10．
17． 解：（a﹣）÷
＝
＝
＝a﹣b，
当a＝，b＝1时，原式＝＝﹣．
18． 解：（1）如图射线BD即为所求；


（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝4，
∴AD＝4，
∴AC＝AD+CD＝4+2＝6．
19． 解：（1）调查的总人数为20÷40%＝50（人），
所以喜欢篮球项目的同学的人数＝50﹣20﹣10﹣15＝5（人）；
“乒乓球”的百分比＝×100%＝20%，
因为800××100%＝80，
所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；
故答案为5，20，80；
（2）如图，

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率＝＝．
20． 解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得：＝，
解得：x＝35，
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣9＝26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）＝6280，
解得：a＝80．
答：购买了80条A型芯片．
21． 解（1）把B（﹣3，﹣2）代入y＝得：k2＝6，
即反比例函数的解析式是y＝；
又点A（2，m）在反比例函数y＝ 图象上，
∴m＝3；
（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）分为两种情况：
当点P在第三象限时，要使y1＞y2，实数p的取值范围是p＜﹣2，
当点P在第一象限时，要使y1＞y2，实数p的取值范围是p＞0．

22． （1）证明：如图1，连接OA，过O作OB⊥PN于B，

∵⊙O与PM相切于点A，
∴OA⊥PM，
∵点O在∠MPN的平分线上，
∴OB＝OA，
∴直线PN是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径是x，
则（x+2）2＝x2+42，
解得：x＝3，
所以⊙O的半径为3；
（3）解：如图2，延长BO交PM于点H，
设⊙O的半径为r，

∵PA，PB，EF是⊙O的切线，
∴BF＝FG，AE＝EG，PA＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+EF+PE
＝PF+BF+PE+AE
＝PA+PB
＝2PA＝3r，
∴＝，
设PA＝3a，r＝2a，
∵∠PBH＝∠OAH＝90°，
∴∠BPH+∠BHP＝∠OHA+∠AOH，
∴∠AOH＝∠BPH，
∴tan∠AOH＝tan∠EPF，
∴＝，即＝，
∴OH＝，
∵OH2＝OA2+AH2，
∴（）2＝（2a）2+AH2，
∴5AH2＝24AH•a，
∴AH＝a，
∴tan∠EPF＝tan∠AOH＝＝＝．
23． 解：（1）∵点A（2，0），在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解法一：
如图，过点P作PE⊥PD交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作DF⊥PF于点F，过点E作EG⊥PF于点G，
∴∠DPE＝90°，∠DFP＝∠PGE＝90°，
又∵∠PDC＝45°，
∴△PDE为等腰直角三角形，PE＝PD，
设点P坐标为（0，m），
∵点D坐标为，
∴，PF＝3，
∵DF⊥PF，EG⊥PG，
又∵∠DPE＝90°
∴∠FDP+∠DPF＝90°，∠EPG+∠DPF＝90°
∴∠FDP＝∠EPG，
在△DFP和△PGE中，
，
∴△DFP≌△PGE（AAS），
∴，EG＝PF＝3，
∴，
∵C为抛物线与y轴交点，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
又∵点D坐标为，
设直线CD的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CD的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴点P的坐标为．
解法二：
把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CF，连接DF，

∴△CDF为等腰直角三角形，CD＝CF，∠CDF＝45°，
∴DF与y轴的交点即为P点，
作DG⊥y轴于G，作FH⊥y轴于H，
∴∠DGC＝∠CHF＝90°，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DCG+∠HCF＝90°，
∴∠CDG＝∠HCF．
在△CDG和△FCH中，
，
∴△CDG≌△FCH（AAS），
∴GC＝HF，DG＝CH，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为，
∴DG＝3，，
∴，CH＝DG＝3，
∴OH＝4﹣3＝1，
∴F坐标为，
设直线CF的表达式为y＝k1x+b1，
∴，
解得：，，
∴直线CF的表达式为，
当x＝0时，，
∴点P的坐标为．
解法三：
过P作PE⊥CD于点E，过点D作DF⊥OC于F，

∴∠PEC＝∠DFC＝90°，
∵C为抛物线与y轴交点，
∴C（0，4），
∵点D坐标为（﹣3，），
∴，
∴DF＝3，，
∴，
∵∠DFC＝∠PEC＝90°，
又∵∠FCD＝∠ECP，
∴△DCF∽△PCE，
∴，
∴，
∴PE＝2CE．
∵PE⊥CD，∠PDC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDC＝45°，
∴PE＝DE，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
（3）解法一：
过点N作NH∥y轴，交直线AD于点H，则∠HNO＝∠QOM，

又∵∠NMH＝∠OMQ，
∴△MNH∽△MOQ，
∴，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
当x＝0时，y＝1，
∴直线AD与y轴的交点坐标为Q（0，1），
∴OQ＝1，
设，
∴N的坐标为，其中﹣3≤t≤0，
∴，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为．
解法二：
过点N作NQ∥x轴，交直线AD于点Q，则∠NQA＝∠QAB，
又∵∠NMQ＝∠OMA，
∴△MNQ∽△MOA，
∴，
由点A坐标为（2，0），点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
设点N坐标为，
∴点Q坐标为，其中﹣3≤t≤0，
∴NQ＝t﹣（t2+2t﹣6）＝﹣t2﹣t+6，
∴，
∵，，
∴时，取最大值，最大值为