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    人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列精品ppt课件

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    这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.1 等差数列精品ppt课件,文件包含人教B版高二数学选择性必修第三册521《等差数列1》课件pptx、人教B版高二数学选择性必修第三册521《等差数列1》教学设计docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共33页, 欢迎下载使用。

    5.2.1 等差数列(1)      

            

     

    本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修》第章《数列》,本节课主要学习

    等差数列

    数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广。

    课程目标

    学科素养

    A. 理解等差数列的概念,并能利用等差数列的定义判断或证明一个数列是否为等差数列.

    B.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.

    C.掌握等差数列的性质,并能在具体问题中正确应用.

    D.了解等差数列与一次函数的关系.

    1.数学抽象等差数列的概念

    2.逻辑推理:等差数列通项公式及其性质的推导

    3.数学运算:通项公式应用

    4.数学建模:等差数列应用

     

    重点:等差数列概念理解通项公式应用

    难点:等差数列通项公式的推导等差数列的函数特征

    多媒体

     

    教学过程

    教学设计意图

    核心素养目标

    一、    情景导学

    观察下列现实生活中的数列,回答后面的问题。
         我国有用12生肖纪年的习惯,例如.2017年是鸡年,从2017年开始,鸡年的年份为2017 2029 204120532065 2077
          我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示,常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275270265260255250
    20191月中,每个星期日的日期为

    613 20 27.
    1)数列①②③在数学中都称为等差数列,它们有什么共同点?你能给等差数列下一个定义吗?
    2)你能总结出数列①②③的通项公式并得出一般等差数列的通项公式吗?

        不难看出,上述数列①②③的共同特点是 :从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于同一个常数.具体地,

    数列 从第2项起每一项与它前一项之差都等于12

    数列 从第2项起每一项与它前一项之差都等于-5

    数列 从第2项起每一项与它前一项之差都等于7.

    1.等差数列的概念

    文字语言

    如果一个数列从第__项起,每一项与它的______的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列,这个____叫做等差数列的公差,公差通常用字母__表示

    符号语言

    an1and(d为常数,nN*)

    2 前一项 同一个常数 常数 d

    探究1.你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗?

    设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义,

    可得=

    所以= , = , = ,…

    于是  + ,

    + =(+ ) + + 2,

    + =(+ ) + + 3,……

    归纳可得+() (n)

    n时,上式为+() ,这就是说,上式当时也成立。

    因此,首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()

    另外根据等差数列的定义可得:

    a2a1d

    a3a2d

    a4a3d

    anan1d(n≥2)

    将上述(n1)个式子相加得

    ana1(n1)d(n≥2)

    ana1(n1)d(n≥2)

    n1时,a1a1(11)d,符合上式,

    ana1(n1)d(nN*)

    2.等差数列的通项公式

    一般地,若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为:an=a1+(n-1)d.

    点睛: 等差数列的通项公式an中共含有四个变量,a1,d,n,an,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.

    典例解析

    1.判断以下数列是否是等差数列?如果是,指出公差;如果不是,说明理由.

    17,13,19,25,31

    22,4,7,11

    3-1,-3,-5,-7.

    解:(1)因为13-7=19-13=25-19=31-25=6

    所以是等差数列,且公差为6.

    2)因为4-2=217-4=3,所以4-217-4

    因此不是等差数列.

    3)因为-3--1=-5--3=-7--5=2

    所以是等差数列,且公差为6.

    2.已知等差数列10,7,4

    1)求这个数列的第10项;

    2-56是不是这个数列中的项?-40呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.

    解:(1)记数列{an},则由题意知,

    因此数列的通项公式为

    因此第10项为.
    2)设-56是数列中的第 项,则

    解得所以-56是数列的第23项。

    -40是数列中的第 项,则

    解得所以-40不是数列中的项.

    1.等差数列通项公式的求法

    (1)等差数列的通项公式有两个基本量:首项a1和公差d,故求通项公式主要是利用方程思想解a1,d.

    (2)等差数列通项公式的另两种形式:

    an=am+(n-m)d;

    an=kn+b(k,b是常数).

    2.方程思想的应用

    等差数列的通项公式是一个等式,且含有a1,an,n,d四个字母,当把任何一个字母看作未知数时,就构成一个方程,从而可以通过解方程的方法求出这四个字母中的任何一个.

    跟踪训练2.已知数列{an}为等差数列,a158a6020,求a75.

    解: 法一:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d

    则由题意得解得

    a75a174d74×24.

    法二:a60a15(6015)dd

    a75a60(7560)d2015×24.

    法三:已知数列{an}是等差数列,可设anknb.

    a158a6020解得

    a7575×424.

    探究2.在等差数列的通项公式中, an的关系与以前学过的什么函数有关?

    因为+()

    所以如果记

    则可以看出,而且;

    1)当公差时, 是常数函数,此时数列{an}是常数列(因此,公差为0的等差数列是常数列);
    2)公差时,是一次函数,而且的增减性依赖于公差的符号,因此,当时, {an}是递增数列,当时, {an}是递减数列.

    从函数角度认识等差数列{an}

    若数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d

    anf (n)a1(n1)dnd(a1d)

    (1)(nan)落在直线ydx(a1d)上;

    (2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d

    3.已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等差数列,如果是求出公差,如果不是说明理由.

    解:因为

    所以数列{an}是等差数列,且公差为3.

    事实上,可以证明数列{an}是等差数列的充要条件是其中是常数.

    4.已知等差数列{an}的公差为求证:对于任意的正整数

    :设等差数列的首项为,

    两式相减,整理可得

    5.已知等差数列{an}中,, .
    :设等差数列的首项为,

    解得 , 3,因此

    探究3.如果A的等差中项,那么A能用表示出来吗

    根据等差中项与等差数列的定义可知A,因此

    6.已知数列{an}中,

    时恒成立,求证: {an}是等差数列.

    解:因为

    ,所以

    .

    因此,从第2项起,每一项与它的前一项的差都相等,所以{an}是等差数列.

    探究4.设数列{an}的通项公式为,求出 并比较它们的大小。你能由此总结出一个一般的结论并给出证明吗?

    因为

    一般地,如果{an}是等差数列, 而且正整数+t=p+q

    as+at=ap+aq.

    特别地,如果2=p+q,则2as=ap+aq.

    7.如图所示,已知某梯子共有5级,从上往下数,第1级的宽为35cm,第5级的宽为43cm,且各级的宽度从小到大构成等差数列,求其余三级的宽度.

    解:(方法一)依题意,,

    设公差为,则解得

    因此

    因此其余三级的宽度分别为37cm39cm41cm.
    (方法二)因为等差数列为5项,

    又因为所以

    类似地,有

    所以

    因此,其余三级的宽度分别为37cm39cm41cm.

    等差数列的常用性质

    等差数列有很多条性质,但常用的主要有两条:{an}为等差数列,

    (1)m+n=p+q(m,n,p,qN+),总有am+an=ap+aq.

    (2)m+n=2k(m,n,kN+),总有am+an=2ak.

    跟踪训练4. (1)在等差数列{an},已知a1,a2 021为方程x2-10x+21=0的两根,a2+a2 020等于(  )

    A.10 B.15       C.20           D.40

    (2)在等差数列{an},已知a3+a8=10,3a5+a7=     . 

    解析:(1)根据根与系数的关系及等差数列的性质可得a2+a2 020

    =a1+a2 021=10.

    (2)因为数列{an}是等差数列,

    所以由等差数列的性质,a3+a8=a5+a6=a4+a7=10,a4+a6=2a5,

    所以3a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20.

    答案:(1)A (2)20

     

     

     

    通过具体问题的思考和分析,归纳总结,抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过等差数列通项公式的推导发展学生数学抽象逻辑推理和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典型例题,加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过典型例题,加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用,发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

     

     

    三、达标检测

    1.数列{an}的通项公式为an53n,则此数列(  )

    A.是公差为-3的等差数列

    B.是公差为5的等差数列

    C.是首项为5的等差数列

    D.是公差为n的等差数列

    A [等差数列的通项公式ana1(n1)d可以化成andn(a1d).对比an=-3n5.故公差为-3.故选A.]

    2.等差数列{an}中,已知a22a58,则a9(  )

    A8     B12   C16   D24

    C [设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由a22a58,得

    解得a10d2,所以a9a18d16.故选C.]

    3.已知m2n的等差中项是4,2mn的等差中项是5,mn的等差中项是(  )

    A.2   B.3      C.6         D.9

    解析:由题意,解得m+n=6.

    mn的等差中项是3.

    答案:B

    4.在等差数列{an},a3=7,a5=a2+6,a6=    . 

    解析:在等差数列{an},a3=7,a5-a2=6,

    3d=6.a6=a3+3d=7+6=13.

    答案:13

    5.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为     . 

    解析:设这三个数为a-d,a,a+d,

    解得

    这三个数为-1,3,77,3,-1.

    它们的积为-21.

    答案:-21

    6.若等差数列{an}的公差d≠0a1a2是关于x的方程

    x2a3xa40的两根,求数列{an}的通项公式.

    [] 由题意得

    解得an2(n1)×22n.

    故数列{an}的通项公式为an2n.

     

    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

     

     

     

     

    四、小结

    五、课时练

    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。

     

    普通高中学生经过一年的高中的学习生活,已经慢慢习惯的高中的学习氛围,大部分学生知识经验已较为丰富,且对数列的知识有了初步的接触和认识,已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程,对函数、方程思想体会逐渐深刻,应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱,学习数学的兴趣还不是很浓,所以我在授课时注重从具体的生活实例出发,注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点,从而促进思维能力的进一步发展。

     

     

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