高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量精品课件ppt

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1.2.1 空间中的点、直线与空间向量      本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学空间中的点、直线与空间向量。在向量坐标化的基础上，将空间中点、直线的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。课程目标学科素养A. 理解位置向量、方向向量的概念B.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.C.初步了解两条异面直线的距离的定义.1.数学抽象：点的位置向量、直线的方向向量2.逻辑推理：用直线的方向向量解决两条直线所成的角 3.直观想象：点的位置向量、直线的方向向量4.数学运算：求解异面直线所成的角，直线的平行与垂直判断  1.教学重点：点的位置向量与直线的方向向量的概念及其应用2.教学难点：用直线的方向向量解决两条直线所成的角，判断两直线平行与垂直多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学在交通繁忙的路口，交警常常借助专用的手势，作为 “语言” 来指挥交通。在不同领域有不同的“语言”,研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行。同学们,你们知道是如何提炼的吗?提炼出来后又将如何运用呢?二、探究新知问题1：（1）如图所示的，四面体A-BCD中，怎样借助空间向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？（2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？      一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以有向量 唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量。特别地，空间直角坐标系中的任意一点都有它的位置向量唯一确定，从而也就有它的坐标唯一确定。问题2：（1）如图所示的长方体中,设 = ，如果只借助能不能确定直线AB在空间中的位置？
（2）一般地,怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？  一般地如果是空间中的一条直线，空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与 平行或重合，则称 为直线L的一个方向向量，此时也称 与直线 平行，记作 1.点的位置向量、直线的方向向量 位置向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量方向向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l思考：空间一条直线的方向向量唯一吗?提示:不唯一.2.空间中两条直线所成的角设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|;l1⊥l2⇔<v1,v2>=   ⇔v1·v2=0. 1.已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,则k=　　　　. 解析:∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.答案:-1或-23.两条异面直线的距离     一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,A∈l1,B∈l2,AB⊥l1,AB⊥l2,则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.思考：怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度?提示:利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂线段的长度. 例1.已知正方体中，E为的中点，求证:直线与直线不平行证明：以为原点，，，的方向分别为轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则（0,0,1）, 所以= =又因为所以与不平行，因为为直线的一个方向，向量为直线的一个方向，向量,当时 必有 由上可知直线与直线不平行         解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R).1.如果l1∥l2,那么u1∥u2⇔u1=λu2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2⇔u1·u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.跟踪训练1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(　　)A.a∥c,  b∥c            B.a∥b, a⊥cC.a∥c, a⊥b             D.以上都不对答案:C例2  如图,在三棱锥O-ABC中,OA, OB,OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2, 求直线AE与BC所成角的余弦值的大小.解：（方法一）  根据已知可得，， 不共面，且=1, =2= = =0又因为= =, =所以=()()=2， =()()=8，所以==因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为.解：（方法二）因为OA，OB,OC两两互相垂直，所以能以O为原点, ，，的方向分别为轴正方向，建立如图所示直角坐标系，由OB=OC=2OA=2,可知A（0,0,1）, ，所以=(-1,0,1), =(0,0,1) ,    因此所以===因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为.解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为OBC的中位线，从而EF BC，因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.又易知OA=OE=OF=1，而且OA,OE,OF两两垂直，因此AE=EF=AF= 所以是等边三角形,从而,因此直线AE与BC所成角的大小为     求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘. (2)向量法:在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则可分别为a,b的方向向量,则cos θ=.这一方法思路简单,不需构造,但计算量一般较大.运用向量法常用两种途径:①基底法在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cos<a,b>=求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.跟踪训练2  如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=     ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解:以O为坐标原点,的方向为x轴,y轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),∴=(-,1,-),=(,-1,-).∴|cos<>|==.∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.例3 如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A0,-1,,D(,-1,0),C(0,2,0),因而E0,,F,0,，所以=,0,-,=(0,2,0),则=0,所以,即EF⊥BC.               证明两直线垂直的基本步骤     建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.跟踪训练3  已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=  CC1.求证:AB1⊥MN. 证明:设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由已知得A-,0,0,B,0,0,C0,,0,N0,,B1,0,1,∵M为BC中点,∴M,0.∴=-,=(1,0,1),∴=-+0+=0,∴,即AB1⊥MN. 金题典例：如图,已知▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.错解: 如图,因为∠ACD=90°,所以=0,同理=0.因为AB与CD的夹角为60°,所以的夹角为60°.因为,所以||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2cos<>=4.所以||=2,即B,D间的距离为2. 错因分析： 由异面直线AB与CD成60°角得到所成的角为60°,这是错误的.混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义,从而致误.向量的夹角与向量的方向有关系,且向量的夹角的范围为0≤θ≤π;异面直线的夹角与直线的方向没有关系,异面直线的夹角的范围是0<θ≤.两者的范围不一样.正解:因为∠ACD=90°,所以=0,同理=0.因为AB与CD的夹角为60°,所以的夹角为60°或120°,因为,所以||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2cos<>.当所成的角为60°时,||2=3+2cos<>=4,所以||=2,即B、D间的距离为2;当所成的角为120°时,||2=3+2cos<>=2,所以||=.综上可得,B,D间的距离为2或. 创设问题情境，引导学生体会运用向量语言，实现将空间几何问题转化为向量语言，进而实现代数化的基本思想，提升数形结合思想。                        由问题引导，让学生感受到运用向量语言表示立体几何要素，实现立体几何向量化。                                    通过对立体几何的向量表示的学习，进而使向量坐标化，让学生感受，用代数方法解决立体几何问题。发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养。                                          通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。                                                   通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。 三、达标检测1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　)A.(2,2,6)    B.(-1,1,3)     C.(3,1,1)     D.(-3,0,1)解析:∵A,B在直线l上,∴=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.答案:A2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于(　　)A.-2 B.2 C.10   D.6解析:因为a⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.答案:C3.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是　　　　. 解析:∵=()·=||2=1,∴cos<>=.所以<>=.答案:4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,求证:A1E⊥BD.证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a,b)(0≤b≤a),=(-a,a,b-a),=(-a,-a,0),=a2-a2+(b-a)·0=0,∴,即A1E⊥BD. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。    四、小结五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 教学中主要突出创设问题情景和问题引导，通过生活中的手势语言类比运用向量语言表示立体几何要素，进而在将向量坐标化，让学生初步体会空间向量坐标化的基本思想，并以此来激发学生的探究心理。教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。