高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.2 直线及其方程2.2.4 点到直线的距离精品课件ppt

课程目标

学科素养

A. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.

B.掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式.

C.能应用两个距离公式解决有关距离问题.

D.不断体会教材中构造出(x1-x0)2+(y1-y0)2=的绝妙思路.

1.数学抽象：点到直线、两条平行直线之间的距离公式

2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导

3.数学运算：求解有关距离问题.

4.数学建模：距离问题的综合运用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题导学

    我们知道，平面内点到直线的距离，等于过这个点做直线的垂线所得垂线段的程度。那么，如果已知平面直角坐标系中点的坐标以及直线的方程，能不能快速的求出点到直线的距离呢？

二、    探究新知

   你能想办法求出P（-1,2）到直线l1：2x+y-5=0的距离吗？用你的方法能得出一般的结论吗？

思考：最容易想到的方法是什么？

思路1.  定义法,其步骤为：

求l 的垂线l PQ的方程-----解方程组，得交点Q的坐标-----求|P Q|的长

反思：这种解法的优缺点是什么？

思路2.我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 

如图，点P到直线l的距离，就是向量的模，设是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量, =。

思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量？

设    直线l：上的任意两点，则是直线l的方向向量。把,     两式相减，得 ，由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量 就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取 ，

从而= =

因为点在直线l上所以代入上式，

得=

因此=

思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？

1.点到直线的距离

(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.

(2)图示:

(3)公式:d=.

点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.

(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.

1.判断:

点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. (　　)

答案:×

2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　　)

A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.

解析:由点到直线的距离公式可得. 答案:C

3.你能说出代数式的几何意义吗?

提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线x+y+1=0的距离.

2.两条平行直线之间的距离

(1)定义:两条平行线之间的距离,等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

(2)图示:

(3)求法:可以转化为点到直线的距离,也可以直接套用公式.

(4)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d= .

点睛： (1)把直线方程化为直线的一般式方程;

(2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等.

4.判断

(1)一条直线被两条平行线所截,截得的线段的长为这两条平行线间的距离.(　　)

(2)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(　　)

答案:(1)×　(2)√

5.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为2,则C的值为(　　)

A.9　　　　B.11或-9　　　　C.-11　　　　D.9或-11

解析:两平行线间的距离为d==2,解得C=-9或11.

答案:B

三、典例解析

例1(1)求点P(2,-3)到下列直线的距离.

①y=x+;②3y=4;③x=3.

解:①y=x+可化为4x-3y+1=0,

则点P(2,-3)到该直线的距离为.

②3y=4可化为3y-4=0,

则点P(2,-3)到该直线的距离为.

③x=3可化为x-3=0,

则点P(2,-3)到该直线的距离为=1.

(2)已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.

解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,

恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;

当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,

设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,

由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.

综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.

,解得k=-,

此时l的方程为y-2=-(x+1),

(方法二)由题意得l∥AB或l过AB的中点.

当l∥AB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.

当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.

综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.

直线l的斜率为kl,则kAB=kl==-,

此时直线l的方程为y-2=-(x+1),

变式 若将本例(2)改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相等”,则所求l的方程为　　　　　. 

解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,

也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.

答案:x+3y-5=0

1.应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式.

(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用.

(3)直线方程Ax+By+C=0,当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.

2.用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.

例2(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为　　　　　. 

(2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　　. 

(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为　　　　　. 

解析:(1)l2:6x+10y+5=0可以化为3x+5y+=0,

∴l1与l2间的距离d=.

(2)由题意,得,∴m=2,

将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式,

得.

(3)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意,得,解得C=1,

∴直线l的方程为2x-y+1=0.

答案:(1)　(2)　(3)2x-y+1=0

求两条平行直线之间的距离,

一般是直接利用两条平行直线之间的距离公式,当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2时,d=;

当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,且C1≠C2时,d= .

但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.

跟踪训练(1)直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离为(　　)

A. B.     C. D.

(2)已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是(　　)

A.1 B.2 C. D.4

(3)已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是　　　　　. 

解析:(1)直接利用平行线之间距离公式,d=.

(2)由两条直线平行可得-=-,解得m=8.

由两条平行线间的距离公式得d==2.

(3)当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,

两条平行直线间的距离最大.

因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB==2,

所以两条平行直线的斜率为-,所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),

即x+2y-3=0.

答案:(1)A　(2)B　(3)x+2y-3=0

金题典例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.

错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),

所以原点到该直线的距离d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.

故直线l的方程为-x-y+3×+5=0,整理,得kx-y+3k+5=0.

错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设,为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.

正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.

即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.

所以原点到该直线的距离d==3.

所以15k+8=0.所以k=-.故所求直线方程为y-5=-(x+3),

防范措施：在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.

通过对初中平面几何点到直线距离问题的回顾，开门见山，提出直角坐标系下点到直线距离问题。

通过对点到直线距离公式的推导，启发学生多角度思考，

同时注意运用向量方法，从而获得点到直线的距离公式。发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

从点到直线距离公式出发，引导学生推出两平行线间的距离公式，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

在典例分析和练习中让学生熟悉求距离的基本问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

在典例分析和练习中让学生掌握求解距离中的综合问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

三、达标检测

1.点(1,-1)到直线y=1的距离是(　　)

A. B. C.3 D.2

解析:d==2,故选D.  答案:D

2.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　)

A.1 B. C. D.2

解析:d=.  答案:B

3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　)

A. B.-            C.-或- D.-

解析:由点到直线的距离公式可得,

化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.故选C.

答案:C

4.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是　　　　　. 

解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,

设垂足为M,则|MP|最小,

直线MP的方程为y-1=-(x-2),

解方程组∴所求点的坐标为(5,-3).

答案:(5,-3)

5.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为　　　　　,它们之间的距离为　　　　　. 

解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1.

直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0

分别化为x-y+6=0,x-y+=0.

∴它们之间的距离为.

答案:-1　

6.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.

解:(方法一)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设为k.

又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.

由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,

∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.

得,解得k=0或k=1.

(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.

∵AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),

∴直线l的方程是x-y+2=0.

当直线l∥AB时,A,B两点到直线l的距离相等.

∵直线AB的斜率为0,∴直线l的斜率为0,

∴直线l的方程为y=2.

综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。