人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.1 圆的标准方程一等奖课件ppt

课程目标

学科素养

A. 掌握圆的定义及标准方程.

B.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,并能解决一些简单的实际问题.

C.会用待定系数法求圆的标准方程

D.能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.

1.数学抽象：圆的定义及标准方程

2.逻辑推理：圆的标准方程的推导

3.数学运算：待定系数法求圆的标准方程  

4.数学建模：由圆的几何条件写出圆的标准方程

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题导学

我们知道，平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径，在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，平面直角坐标系中的一个圆，是否也可以用方程来表示呢？

如图所示，设平面直角坐标系中的☉C的圆心坐标为C（1,2）,且半径为2

（1）判断点A（3,2） 是否在圆☉C上；

（2）设M（x , y）是平面坐标系中任意一点，那么M在在☉C上的主要条件是什么？此时是x，y要满足什么关系式？

二、探究新知

1.圆的标准方程

一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),设M(x,y)为平面直角坐标系中任意一点,则点M在☉C上的充要条件是|CM|=r,即=r,两边平方,得(x-a)2+(y-b)2=r2,通常称为圆的标准方程.

1.判断

(1)(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圆的方程.(　　)

(2)函数y=b-(r>0)的图像是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.(　　)

答案:(1)×　(2)√

2.在平面直角坐标系中,圆是函数的图像吗?

提示:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图像,否则,不是函数的图像.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图像.

2.点与圆的位置关系

点M(x0,y0)与☉C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断方法

3.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)

A.在圆外            B.在圆内

C.在圆上            D.不确定

答案:B

三、典例解析

例1(1)圆心在点C(2,1),半径长是的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 

(2)圆心在点C(8,-3),且过点P(5,1)的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 

(3)已知两点A(-1,-3),B(3,a),以线段AB为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为　　　　　　　. 

解析:(3)∵A(-1,-3),B(3,a),则以线段AB为直径的圆的圆心C,半径r=,故圆的方程为(x-1)2+, ①

因为以线段AB为直径的圆经过原点,

故(0,0)代入①成立,解得a=-1.

故圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.

答案:(1)(x-2)2+(y-1)2=3；(2)(x-8)2+(y+3)2=25

(3)(x-1)2+(y+2)2=5

1.确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,因此用直接法求圆的标准方程时,要首先求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程.

2.确定圆心和半径时,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”,“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.

跟踪训练1 (1)以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)

A.(x+1)2+(y+2)2=100             B.(x-1)2+(y-2)2=100

C.(x+1)2+(y+2)2=25              D.(x-1)2+(y-2)2=25

(2)与y轴相切,且圆心坐标为(-5,-3)的圆的标准方程为　　　　　　　　　　. 

解析:(1)∵AB为直径,

∴AB的中点(1,2)为圆心,|AB|==5为半径,

∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.

(2)∵圆心坐标为(-5,-3),又与y轴相切,

∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.

答案:(1)D　(2)(x+5)2+(y+3)2=25

例2 已知在平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,

这四点能否在同一个圆上,为什么?

分析先确定出过其中三点的一个圆的方程,再验证第四个点是否在这个圆上,即可得出答案.

解:能.设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-=r2.①

把A,B,C的坐标分别代入①,得

解此方程组,得

变式   试求过三点A(0,1),B(2,1),C(3,4)的圆的方程,并且判断点(3,6)与所求圆的关系.

解:所求方程同例题中的结论(x-1)2+(y-3)2=5.

经判断,因为点(3,6)代入圆方程左边可得(3-1)2+(6-3)2=13>5,

因此点(3,6)在该圆外.

判断点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有几何法和代数法两种:

(1)对于几何法,主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小;

(2)对于代数法,主要把点的坐标代入圆的标准方程,左端与r2比较.

例3. 赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早保存最好的巨大石拱桥，如图所示，赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，利用解析结合的方法，用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径。

解：作出示意图，如图所示，其中AB表示跨度，O为AB中点,OC为圆拱高，

以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

根据已知条件有

可以看出圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上，因此可设圆心的坐标为半径为，则因为都在圆上，

所以

由此可解得
感兴趣的同学可以从网上查得a与b的值，然后算出

金题典例  求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.

解:方法一:待定系数法

设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则有解得

∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

方法二:几何法

由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为x+y-1=0.

∵弦的垂直平分线过圆心,

∴由

即圆心坐标为(4,-3),半径为r==5.

∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.

(3)有时待定系数法和几何法交叉使用,体现数形结合的数学思想.

归纳总结

通过对初中平面几何圆的定义的回顾，类比直线方程，开门见山，提出建立圆的方程问题。

通过对圆的方程的推导，让学生进一步熟悉坐标法的基本思想，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉圆的标准方程的基本方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

在典例分析和练习中让学生掌握运用圆的方程解决综合问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

三、达标检测

1.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程是(　　)

A.(x+3)2+(y+1)2=5  B.(x+3)2+(y+1)2=25

C.(x-3)2+(y-1)2=5  D.(x-3)2+(y-1)2=25

答案:D

2.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a满足(　　)

A.|a|<1 B.a<

C.|a|< D.|a|<

解析:依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1,

所以a2<,即|a|<,故选D.

答案:D

3.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)

A.x2+(y-2)2=1  B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1  D.x2+(y-3)2=1

解析:方法一:直接法

设圆的圆心为C(0,b),则=1,

∴b=2,∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.

方法二:数形结合法

作图(如图),根据点(1,2)到圆心的距离为1易知,

圆心为(0,2),故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.

答案:A

4.圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+y-3=0对称的圆的标准方程是　　　　　　　　. 

解析:设圆心A(3,-1)关于直线x+y-3=0对称的点B的坐标为(a,b),

则解得

故所求圆的标准方程为(x-4)2+y2=1.

答案:(x-4)2+y2=1

5.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.

解:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

根据已知条件可得

解此方程组得

所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。