高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质优质ppt课件

课程目标

学科素养

A. 掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系.

B.椭圆的几何性质的综合运用

C.椭圆离心率的求解问题.

1.数学抽象：椭圆的几何性质

2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

3.数学运算：椭圆离心率的求解问题

4.数学建模：求解椭圆离心率的基本思路

5.直观想象：离心率的几何意义

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

2.离心率

(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比    称为椭圆的         ．

(2)性质：离心率e的范围是    ．当e越接近于1时，椭圆      ；当e越接近于   时，椭圆就越接近于圆．

;离心率;(0,1); 越扁;0

1．（2014·全国高考）已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为(    )

A．    B．  C．       D．

【答案】A

【解析】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,

,,,，

所以方程为，故选A.

2．（2016·全国高考）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)

A．     B．            C．           D．

【答案】B

【解析】不妨设直线，

即椭圆中心到的距离，故选B.

3．（2012·全国高考）设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（   ）

A．       B．        C．       D．

【答案】C

【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有,

所以，

所以

又因为，所以，，所以

二、典例解析

例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；

(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程.

[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，

∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.

∴椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，

∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.

∴椭圆的方程为＋＝1.

∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

典(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，

OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，

∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，

故所求椭圆的方程为＋＝1.

(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2

设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

将点M(1,2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1

解得b2＝或b2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，

将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，

故＋＝或＋＝，

即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

利用椭圆的几何性质求标准方程的思路

1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：

(1)确定焦点位置；

(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；

(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等

2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．

提醒：与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＋＝k2(k2>0，焦点在y轴上)．

跟踪训练1．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1　　            B.＋＝1

C.＋＝1              D.＋＝1

B　[由题意，得解得

因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.]

(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．

答案：＋＝1或＋＝1　

[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.]

类型二     求椭圆的离心率

例2、（1）已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？

解：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．

∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，

∴＝，          ①

又P(－c，m)在椭圆上，

∴＋＝1.     ②

将①代入②，得＝1，即e2＝，∴e＝.

（2）．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.

解：由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝，故AB所在的直线方程为y－b＝x，即bx－ay＋ab＝0.又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝＝，∴·(a－c)＝.又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8－14＋5＝0.

∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝或e＝(舍去)．

综上可知，椭圆的离心率e＝.

例3、已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________.

 [思路探究]　△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|用C表示．

解：　不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝＝x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，

所以e＝＝＝.[答案]　

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．

(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．

跟踪训练2．(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是(　　)

A.－1　　B．2－　　C.－1　　D．2－

(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

(1)A　(2)－1　

[(1)如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，

得A，因为点A在椭圆上，所以有＋＝1　①，

在椭圆中有a2＝b2＋c2　②，联立①②，得c2＝(4－2)a2，

即c＝(－1)a，则其离心率e＝＝－1.

(2)法一　如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，

∵|NF2|＝c，∴|NF1|＝＝＝c，

由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，

∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.

法二　注意到焦点三角形NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，则由离心率的三角形式，可得e＝＝＝＝－1.]

通过知识回顾，和高考真题的解析，帮助学生归纳题型，形成基本解题思路。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。

通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，掌握求解椭圆离心率的基本方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

.1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的短轴长与＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a2＝15，b2＝16                     B．a2＝9，b2＝25

C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25       D．a2＝25，b2＝9

【答案】D　

[由题意得，椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9.]

2．（2018·全国高考）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（  ）

A． B．    C．      D．

【答案】C

【解析】根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.

3．（2019·全国高考）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B．C．  D．

【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，

两式消去，得，解得

所求椭圆方程为，故选B．

4．（2017·全国高考）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为(    )

A．           B．       C．        D．

【答案】A

【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.

5．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为     ．

【答案】

【解析】设A，B，则①，②，∵M是线段AB的中点，∴，

∵直线AB的方程是，∴，

∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质．

2.椭圆离心率的求解问题.

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。