高中数学2.8 直线与圆锥曲线的位置关系公开课ppt课件

课程目标

学科素养

A.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.

B.掌握中点弦问题及设而不求的算法

C.加强数形结合思想的训练与应用.

1.数学抽象：直线与圆锥曲线位置关系的判定

2.逻辑推理：直线与圆锥曲线位置关系的判定

3.数学运算：坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.

4.直观想象： 数形结合思想的运用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    创设问题情境

1.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.

(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.

如消去y后得ax2+bx+c=0.由消元,

①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).

②若a≠0,设Δ=b2-4ac.

Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;

Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;

Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长

|P1P2|=或

|P1P2|=(k≠0).

(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.

二、典例解析

例1  已知椭圆=1,求:

分析:可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.

解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.

又A,B两点均在椭圆上,

故有+4=16,+4=16.

两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).

故kAB==-=-.

(1)由kAB=-,得所求轨迹方程为x-2y-4=0.

(2)由kAB=-=2,得所求轨迹方程为x+8y=0(-4≤x≤4).

(3)由kAB=-,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4).

对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:

(1)设点,即设出弦的两端点坐标;

(2)代入,即代入圆锥曲线方程;

(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.

跟踪训练1 已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(　　)

A.3 B.2 C. D.

解析:依题设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,

又+2=4,+2=4,

∴=-2(),

此弦的斜率k==-=-,

∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),

即y=-x+.

代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,∴x1x2=,

∴|AB|==.

答案:C

例2. 判断直线 与抛物线C:

;

（2）判断

解：设A ,B

则=+

因为A ,B 都是直线上的点，

所以

第二式减去

=2

中消去，整理可得

所以=-=

因此 ，从而可知=

（2）设A ,B 则, ,

因此=

将, 代入上式可得

=-2()+4

又因为

所以=

所以不成立

跟踪训练2. 已知抛物线，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点.

（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；

（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【解析】

（Ⅰ）如图，设.

把代入得，由韦达定理得.

∴，∴点的坐标为.

设抛物线在点处得切线的方程为，

将代入上式得，

∵直线与抛物线相切，

∴，∴，即.

（Ⅱ）假设存在实数，使，则.

又∵是的中点，∴.

由（Ⅰ）知.∵轴，∴.

又

.

∴，解得，即存在，使.

跟踪训练3  已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,

且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.

解:设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲线上的两点,

则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,

由

两式相减并变形得=2,

若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1,

联立得2x2-4x+3=0,

而Δ=-8<0,方程无实根,

即直线与双曲线无交点,

故不存在满足条件的直线.

温习直线与圆的位置关系，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过中点弦问题的探究，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，掌握直线与圆锥曲线中的定值及存在性问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是

A.           B.

C.           D.

解析　联立得x2＋2(x＋1)2－4＝0，即3x2＋4x－2＝0，

则弦的中点的横坐标为×＝－，

纵坐标为－＋1＝，即，故选B.

2.已知双曲线 y2－＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于

A.                B.－     C.2       D.－2

解析　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，

则y－＝1，y－＝1，根据点差法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝，

所以直线l的斜率为k1＝＝＝，

直线OP的斜率为k2＝，k1k2＝×＝，故选A.

3．（2019·全国高考）已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．

【解析】（1）在直线上  

 设，则

又    ，解得：

过点，    圆心必在直线上

设，圆的半径为

与相切   

又，即

，解得：或

当时，；当时，

的半径为：或

（2）存在定点，使得

说明如下：，关于原点对称且

直线必为过原点的直线，且

①     当直线斜率存在时，设方程为：

则的圆心必在直线上

设，的半径为

与相切   

又

，整理可得：

即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点，即抛物线上点到的距离    ，

当与重合，即点坐标为时，

②当直线斜率不存在时，则直线方程为：

在轴上，设

，解得：，即

若，则

综上所述，存在定点，使得为定值.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。