高中数学3.3 二项式定理与杨辉三角多媒体教学课件ppt

www.ks5u.com3.2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略)

3.3　二项式定理与杨辉三角

第1课时　二项式定理

二项式定理及相关的概念

思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？

[提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．

二项式系数是指C，C，…，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．

思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？

[提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．  (　　)

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)

(3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项． (　　)

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于(　　)

A．9　　　 B．10　　　

C．11 D．12

B　[由n＋1＝11，可知n＝10.]

3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　)

A．C B．C(－2)5

C．C D．C(－2)6

C　[由题意可知第6项的二项式系数为C.]

4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________．

160　[法一：设含x3的项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx6－r2r，令6－r＝3，则r＝3.

故x3的系数为C·23＝160.

法二：(x＋2)6表示6个括号相乘，要得到含x3的项，只需选出3个括号出x，另三个括号出2即可，即C·x3·23＝160x3.]

【例1】　(1)用二项式定理展开；

(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.

[思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．

[解]　(1)＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C

＝32x5－120x2＋－＋－.

(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.

1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．

2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．

3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．

1．(1)求的展开式；

(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.

[解]　(1)法一：＝C(3)4＋C(3)3

·＋C(3)2·＋C(3)＋C

＝81x2＋108x＋54＋＋.

法二：＝

＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)

＝81x2＋108x＋54＋＋.

(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.

【例2】　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

(2)(教材P33习题3­3AT2改编)求的展开式中x3的系数．

[思路点拨]　利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．

[解]　(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1

＝C(2)6－r·

＝(－1)rC·26－r·x，

∴T6＝－12x.

∴第6项的二项式系数为C＝6，

第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.

(2)Tr＋1＝Cx9－r·＝(－1)r·C·x9－2r，

令9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.

1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.

2．求的展开式的第三项的系数和常数项．

[解]　T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.

通项Tr＋1＝C(x3)5－r＝·Cx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2＝.

[探究问题]

1．如何求展开式中的常数项？

[提示]　利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以展开式中的常数项为C＝＝6.

2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？

[提示]　(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项再把积相加而得到．

3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？

[提示]　(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.

【例3】　已知在的展开式中，第6项为常数项．

(1)求n；

(2)求含x2项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

[思路点拨]　→

→→→

→→

→

[解]　通项公式为：

Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.

(1)∵第6项为常数项，

∴r＝5时，有＝0，即n＝10.

(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，

∴所求的系数为C(－3)2＝405.

(3)由题意得，

令＝k(k∈Z)，

则10－2r＝3k，即r＝5－k.

∵r∈Z，∴k应为偶数，

k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，

所以第3项，第6项与第9项为有理项，

它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.

1．求二项展开式的特定项的常见题型

(1)求第k项，Tr＝Can－r＋1br－1；

(2)求含xr的项(或xpyq的项)；

(3)求常数项；

(4)求有理项．

2．求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．

(2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

(1)207　(2)4　[(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、

含x2项分别与1，－x3相乘的结果，

∴其系数为C＋C(－1)＝207.

(2)的展开式的通项是

Tr＋1＝Cx6－r·(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，

令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，

Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，

根据已知得Ca＝60，解得a＝4.]

1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅指C，C，…，C，…，而后者指的是除字母以外的所有系数(包括符号)．

2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项．

3．对于非二项式展开式的求解可借助二项式定理的原理求解．

1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　)

A．－27C　　　 B．27C　　　

C．－9C D．9C

D　[含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.]

2．在的展开式中常数项是(　　)

A．－28 B．－7 

C．7 D．28

C　[Tr＋1＝C··＝(－1)r·C··x，当8－r＝0，即r＝6时，T7＝(－1)6·C·＝7.]

3．(1－x)10的展开式中第7项为________．

210x6　[T7＝C(－x)6＝210x6.]

4．化简：C2n＋C2n－1＋…＋C2n－k＋…＋C＝________.

3n　[原式＝(1＋2)n＝3n.]

5．设(x－)n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．

[解]　(x－)n的展开式中第二项和第四项分别为：

T2＝C·xn－1(－)＝－nxn－1，

T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.

由题意可知＝，即n2－3n－4＝0，

又n∈N＋，解得n＝4.

设(x－)4的展开式中含x2的项为第k＋1项，

则Tk＋1＝C·x4－k·(－)k(k＝0,1,2,3,4)

根据题意可知4－k＝2，解得k＝2.

所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.