人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.2 乘法公式与全概率公式多媒体教学ppt课件

www.ks5u.com第2课时　全概率公式、贝叶斯公式

1．全概率公式

(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；

(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：

①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；

②A1＋A2＋…＋An＝Ω；

③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.

则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且

P(B)＝＝.

思考：全概率公式体现了哪种数学思想？

[提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．

2．贝叶斯公式

(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有

P(A|B)＝

＝.

(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：

①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；

②A1＋A2＋…＋An＝Ω；

③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.

则对Ω中的任意概率非零的事件B，有

P(Aj|B)＝＝.

拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)． (　　)

(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)． (　　)

(3)P(A|B)＝＝.  (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

＝×＋×＝.故选C.]

3．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．

　[设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝.

则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)

＝×＋×

＝.]

4．对以往数据分析结果表明， 当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为55%. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概率约是________．

0.97　[设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”．

P(A|B)＝0.98，P(A|)＝0.55，

P(B)＝0.95，P()＝0.05，

所求的概率为

P(B|A)＝≈0.97.]

【例1】　甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

[解]　(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为

C＝＝28，

这2个产品都是次品的事件数为C＝3.

∴这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．

P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，

P(B3)＝＝，

P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，

∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.

通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.

1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？

(2)从2号箱取出红球的概率是多少？

[解]　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；

事件B：从1号箱中取出的是红球．

P(B)＝＝，P()＝1－＝.

(1)P(A|B)＝＝.

(2)∵P(A|)＝＝，

 ∴P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.

【例2】　一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？

[解]　设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P()·P(A|)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.

所以P(B|A)＝＝＝32.3%.

利用贝叶斯公式求概率的步骤

第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；

第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；

第三步：代入P(B|A)＝求解．

2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？

[解]　设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，

∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35.

∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02，

(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315.

(2)P(A4|B)＝≈0.222 2.

[探究问题]　

贝叶斯公式的实质是什么？

[提示]　贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)的综合应用．

【例3】　假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20 000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

[解]　以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，

D i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知

P(D1)＝＝0.387 5，P(D2)＝＝0.262 5，

P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967 7，

P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5.

从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.

由贝叶斯公式得

P(D1|A)＝＝≈0.493 4，

P(D2|A)＝＝≈0.276 3，

P(D3|A)＝＝≈0.230 3，

从而推测病人患有疾病d1较为合理．

若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.

3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．

(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；

(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？

[解]　设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，

由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，

P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.

(1)由全概率公式得：

P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.

(2)由贝叶斯公式得

P(B1|A)＝＝≈0.220 9，

P(B2|A)＝＝≈0.314 0，

P(B3|A)＝＝≈0.465 1.

由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．

1．全概率公式P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想．

2．贝叶斯概率公式反映了条件概率P(B|A)＝，全概率公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)及乘法公式P(AB)＝P(B)P(A|B)之间的关系．

即P(Bj|A)＝＝＝.

1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为(　　)

A．0.65　　　　 B．0.075

C．0.145 D．0

C　[设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．

易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得

P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)

＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0

＝0.145.]

2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　)

A．0.21 B．0.06

C．0.94 D．0.95

D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2.由全概率公式得：

P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)

＝×0.96＋×0.93＝0.95.故选D.]

3．某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．

0.527 5　[设B＝{该小组在比赛中射中目标}，

Ai＝{选i级射手参加比赛}，(i＝1,2,3,4)．

由全概率公式，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)

＝×0.85＋×0.64＋×0.45＋×0.32＝0.527 5.]

4．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．

0.04835　[设B＝{取出的球全是白球}，

Ai＝{掷出i点}(i＝1,2，…，6)，则由贝叶斯公式，得

P(A3|B)＝＝＝0.048 35.]

5．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任抽取一个人．

(1)求此人感染此病的概率；

(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．

[解]　设Ai＝第i个地区，i＝1,2,3；B＝感染此病

∴P(A1)＝；P(A2)＝；P(A3)＝.

∴P(B|A1)＝；P(B|A2)＝；P(B|A3)＝.

(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝≈0.198，

(2)P(A2|B)＝＝≈0.337.